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新的課程標準中強調過程與方法，把知識產生的過程和解決問題的方法提到了一個新的高度。因此，數學教學中大力加強數學思想的教學勢在必行。某種意義上來說，不教思想的課不能算是好課，這不僅是一個思想教學問題，更是一個教學思想的問題。因此，亟待弄清數學思想與數學教學思想之間的關系，以利于更好地指導中學數學教學的改革。

一、數學思想與數學教學思想的區別

首先是概括的對象不同。數學思想是對數學規律的本質認識，它是數學科學與數學學科固有的，它是數學的靈魂。而數學教學思想是對數學教學規律的本質認識，它既是數學教學實踐活動的產物，又是其指南。它是人們觀察、處理數學教學問題，進行教學工作的指導思想，它能經常直接地對數學教學活動發揮定向、控制、執行和反饋的功能，指導數學教學工作正常有效地進行；其次是結構的不同，數學思想包括數學觀、認識論、方法論以及滲透在數學知識結構（概念、判斷、推理等）的各個層次中的思想火花，而數學教學思想涉及到多學科，尤其與數學、教育學、心理學、哲學、邏輯學等都有緊密的聯系；再次是功能的不同。數學教學從外顯的知識到內隱的思想，既意味著內涵深化，又意味著功能擴展。有調查資料表明，我國的中學生畢業后，直接用到的數學知識并不太多，更多的是受到數學思想的熏陶與啟迪。數學思想在優化學生所學知識的組成方式，發展數學思維，提高問題解決能力等方面有著廣泛而重大的作用。而數學教學思想是決定教師進行的教學活動效果的核心因素。不管怎么說，對數學教學總的看法，肯定會自覺地或不自覺地在教學中反映出來，它制約著教學方法的運用，直接影響著數學教學目標的選擇與實現；最后是發展特點不同。數學史可以看作一部思想斗爭史，數學思想是數學發展的歷史長河中積淀下來的精華，它是數學對象及其關系結構反映在人們的意識中經過思維活動而得到的結晶。隨著數學的發展，數學思想日益豐富，而數學教學思想是教學論知識的活化和數學教學實踐經驗類化的結果，其主要來源是數學教學經驗的科學總結，對我國古代教學思想的批判繼承，從外域的教學思想中取得借鑒，隨著時代的進步，社會的發展，數學教學思想也是不斷發展的。

二、數學思想和數學教學思想的聯系

數學教學思想指導數學教學的外在組織形式，而數學思想指導教學的內在組織形式，它們都是數學教學理論的重要組成部分。

第一，數學思想是數學教學思想的內核。數學思想與數學教學思想都具內隱性，數學學科有著豐富的思想，以數學思想為內核的數學教學思想更科學，優選教學方法更有效。如在方程（組）教學中，強化消元與降次的思想，可采用很普通的單元教學法。這樣，能充分體現充滿在整個數學中的“思想經濟化”的精神，變“板塊式”教材為“螺旋式”教學，斯托利亞爾在他所著的《數學教育學》中指出：“實際上，與其說是在中學教學現代數學，倒不如說是數學的現代教學”。波利亞也強調把數學中“有益的思考方式，應有的思維習慣”放在教學的首位，把“數學教給所有的人”。這些名家的論述都說明了數學思想應作為數學教學思想的內核。

第二，數學思想能活化數學教學思想。這里的活化指對數學思想的消化、驗證、概括和具體遷移。教學的基本要求是重點突出，難點分散，重點往往要運用數學思想或揭示新的數學思想，數學思想史上的里程碑常常都是教學的難點。數學思想表現為一種意識或觀念，很容易遷移到對象情景相似的場合中去。F.克萊因曾提出“用函數來思考”，奧加涅相提出“函數思維”，都強調了函數思想能活化為一種教學思想，這種函數教學思想能有效地幫助學生理解代數式、方程、曲線、函數、圖象、不等式、數列等的內在聯系，并且是一種“技術性”的教學思想，具有一般性、程序性和構造性的特征，有章可循，對數學教學有著直接而現實的指導意義。數形結合思想貫穿中學數學與數學教學的始終，它在我國從古至今一直是一種教學思想，強調數學應用的“培利運動”，強化現代數學思想教學的“新數運動”，波利亞的“合情推理”的教學思想，漢斯.弗賴登塔爾的“數學現實”、“數學再創造”的教學思想，本質上都是某種數學思想活化的結果。

第三，數學教學思想體現著數學教學規律的本質要求，教學過程的基本程序是：感知―理解―鞏固―應用，而要領悟數學思想，則更需要滲透、提煉與反思。數學學科經過了教學法加工，數學教學思想必須充分反映數學的特點，沒有數學思想的數學教學思想，是一碗“沒有肉的淡湯”，沒有先進的數學教學思想指導數學教學，數學思想可能會成為一塊“嚼不動的牛肉”，目前的數學教學中，有人在苦口婆心地灌輸大量公式和呆板的例題，有人依循一種有條不紊卻異常乏味的“定義―公理―定理”的方式進行馬拉松式地講授，也有人特別偏愛魔術般地板演刁鉆難題而忽視基礎知識與技能，淡化數學思想的教學，不盡快克服這些弊端，后果實在堪憂。

三、數學思想向數學教學思想遷移的條件

數學思想向數學教學思想遷移的問題也即轉變數學教學思想的問題。

第一，充分發掘教材內潛在的思想是遷移的前提。巧婦難為無米之炊。首先要發掘教材內蘊含那些思想，構成怎樣的體系，教學價值各是什么，認識到數學思想的存在，才有可能根據它來指導數學教學。

第二，進行有效的教學實踐活動是更新數學教學思想的基礎。教學實踐是檢驗數學教學思想正誤、優劣的唯一標準。就目前研究看，數學思想在完善學生數學認識結構過程中起著核心的作用，如波利亞主張的讓學生主動探索、猜測、修正結論的合情推理的數學，奧蘇伯爾的先行組織者教學，刺激――反應――強化機制的教學思想都具有操作性特點，需要大力實踐，摸索經驗，積淀出數學教學思想。

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（一）單元總體闡述

本單元內容是在學生認識了自然數、分數和小數的基礎上，結合學生熟悉的生活情境認識正負數。

（二）與原教材相比的變化

[實驗教材＼&修訂教材＼&例2 生活中的正負數例3數軸上的正負數＼&例2、例3新教材更加強調結合具體的量認識正、負數的現實含義，減少抽象的概念。＼&例4 比較數的大小＼&例4刪除正數、0、負數比較大小的內容，降低難度。＼&]

（三）整個單元的具體編排

選取學生熟悉的生活情境，加深對正負數意義的理解，初步建立了數軸的模型，滲透了數形結合的思想。

例1溫度中的負數，實驗教材只出現16℃和-16℃兩個數，新教材用六個城市的天氣預報這一素材，出現12個數，這12個數中，有正數，有0，有負數，一開始出現0℃，表示正負數的分界點，并結合小精靈提出的問題“-3℃和3℃各表示什么意思？”來認識正負數的現實含義，使學生對正負數的現實意義理解得更加深入。

例2收支中的負數，通過呈現存折上的明細讓學生進一步體會正負數的含義，認識怎樣用正負數來表示收入或者支出。

例3數軸上的負數，素材與實驗教材相同，通過東西向認識數軸上的正數、負數。借助具體情境引出數軸的概念，幫助學生建立直觀模型。初步滲透數軸的概念，使學生初步體會數軸上正負數的排列規律，從而形成比較完整的認知結構。

（四）單元教學的建議

1.教學時一定要在實際的生活情境中認識負數。

2.結合現實素材對正、負號所表示的含義加以區分。

第二單元  百分數（二）

（一）單元總體闡述

本單元在學生已掌握百分數意義的基礎上，編排了解決百分數實際問題的例題，具體內容為：折扣、成數、稅率、利率。

（二）與原教材相比的變化

[實驗教材＼&修訂教材＼&例4折扣

例5稅率

例6利率＼&1.“成數”的內容原為六年級上冊的“你知道嗎”，新教材變成正式教學內容（例2）。

2.新編了例5“購物中的實際問題”。＼&]

（三）整個單元的具體編排

新教材把實驗教材六年級上冊的百分數分成兩段（百分數的意義的理解和百分數的具體應用），把有關百分數的具體應用移至本冊。

例1折扣，與人們的生活聯系密切，教學中使學生理解“打幾折”實質上是求一個數的百分之幾是多少的問題。可適當補充對比，如：生活中出現的“OFF，70%”和“打七折”表示的意思有什么不同等。

例2成數，表示方法要重點講解，溝通成數和折扣之間的關系，比如說“三成五”如果用折扣怎么表示。

例5解決實際問題。編排了一個生活中購物的實際問題，一個是商場打五折，這個比較好理解，另一個商場“滿100元減50元”也是學生在實際生活中經常碰到的促銷方式，這需要學生去理解。還可適當補充一些問題讓學生思考：不計算，知道哪個商場的折扣多嗎？在B商場，相當于打了幾折？什么時候兩個商場折扣差別最小？什么時候差別最大？

（四）單元教學的建議

1.加強數學與實際生活的聯系，培養學生應用數學的意識。

2.開放教學過程，培養學生綜合應用數學知識解決問題的能力。

第三單元  圓柱與圓錐

（一）單元總體闡述

學習本單元內容有利于發展學生的空間觀念，為進一步應用幾何知識解決實際問題打下基礎。

（二）與原教材相比的變化

[實驗教材＼&修訂教材＼&例5圓柱的體積公式推導

例6圓柱的體積的應用＼&1.圓柱的體積略微調整，刪除“什么叫物體體積？”這一問題。

2.增加例7，新編了一道“解決實際問題”的例題;增加“你知道嗎？”關于圓柱容球的知識。＼&]

（三）整個單元的具體編排

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(3)運用化歸與歸納的思想方法。化歸,是指將有待解決或未解決的問題,通過轉化過程,歸結為一類放入已經解決或較易解決的問題中去,以求得解決。如:小數除法通過“商不變性質”劃歸為除數是整數的除法;異分母分數加減法劃歸為同分母分數加減法;異分母分數比較大小通過“通分”劃歸為同分母分數比較大小等。在教學平面圖形求積公式中,就以化歸思想、轉化思想等為理論武器,實現長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形的面積計算公式間的“同化”,從而構建和完善了學生的認知結構。在研究一般性問題之前,先研究幾個簡單的、個別的、特殊的情況,從而歸納出一般的規律和性質,這種從特殊到一般的思維方式稱為歸納思想。如:在教學“三角形內角和”時,先由直角三角形、等邊三角形算出其內角和度數,再用猜測、操作、驗證等方法推導一般三角形的內角和,最后歸納得出所有三角形的內角和為180度。這就是運用歸納的思想方法。

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（一）方程思想

用方程思想解決實際問題時，應把握實際問題中的數量關系，抓住等量關系，運用方程的數學模型把等量關系轉化為用數學符號表示的方程，并通過對方程的解進行討論，使問題得以解決。

（二）函數思想

在問題中如果存在兩個相關聯的變量，則可以利用函數思想得到一個關系，再通過對兩變量間的關系式或根據圖象的觀察得出問題的結論。

（三）分類思想

當問題中含有參數或圖形，存在多種可能因素而使問題很難一次性完整解決時，就要考慮把問題按一個標準進行分類，并分別得出不同情況下的相應結論，最后把結論綜合起來進行總結。分類問題在數學中非常常見，因此分類是一個重要而又普遍使用的數學方法和思想。

（四）數形結合思想

每個數學對象都是在研究某種空間形式或某種數量關系，有時有些關系可以通過圖形直觀地反映出來，它們是對立的，但又是統一的。數形結合使代數和幾何有機、自然地結合在一起，也使數學方法更加多樣和豐富。正確理解和巧妙運用數形結合思想，可以使學生體會到數學的無窮樂趣。

在初中數學學習中，所涉及的數學思想還有很多，如集合對應思想、等量和不等量思想、整體和局部思想、等效應思想、轉化思想等。但數學思想的培養不是孤立的，它與數學知識、數學方法的掌握相輔相承，三者之間相互聯系、相互依存、協同發展，關系密不可分。從解決問題的過程來看，總要經歷“問題――思想――方法”的過程，也就是說數學思想的產生源于數學問題，但光有數學思想并不能解決問題，還需要根據數學思想產生出有利于解決問題的相應方法，并把得到的成果總結成理論，用演譯的形式化的方法表現出來。如果我們的數學教學是結論式的教學、就題論題式的教學，那么就會丟棄數學中的精華――數學思想，這樣學生學到的只是一些沒有數學思想支撐的枯燥的知識。因此，教師在數學教學過程中，應把上述解決問題的過程復現出來，即在概念的形成過程，公式、法則、性質、定理等結論的推導過程，解題方法的思考過程，知識的小結過程中，注意給學生整理和歸納數學思想。

二、數學能力的培養

數學能力主要包括：1.使數學材料形式化的能力，即從內容中抽出形式，從具體的數量關系和空間形式中進行抽象，以及運用形式結構（即關系和聯系的結構）進行分析的能力。2.概括數學材料的能力，即從不相關的材料中抽出最重要的信息，以及從外表不同的材料中總結出共同點的能力。3.運用數學和其他運算符號進行運算的能力。4.連續而有節奏的邏輯推理能力。5.逆轉思維心理過程的能力，即從正方向思維轉到逆向思維的能力。6.空間概括能力。

新的數學課程以“問題情景――建立模型――解釋、應用與拓展”的基本敘述模式為呈現方式，特別注重過程與方法，提倡在學習過程中引導學生自主活動，培養發現規律、探求模式的能力。因此，要讓學生親自經歷將一些實際問題抽象為數與代數問題的過程，經歷探究物體與圖形的形狀大小、位置關系等活動過程，加深對觀察、猜想、證明等學習環節的體會。學生在數學學習活動中去經歷過程，以認知主體的身份親自參加豐富生動的活動，在情景交互的作用下，可以加深對學習內容的理解。例如，用一張正方形的紙制作一個無蓋的長方形，怎樣能使體積較大？對此問題學生可能從幾個方面入手思考：無蓋的長方形是什么樣子的？展開后又是什么樣子的？用一張正方形的紙怎樣才能制作一個無蓋的長方形？……解決問題后，再對學習過程進行反思和總結，長此以往就會逐步形成數學能力。

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所謂數學思維就是學生在學習的過程中經由老師的講授、自己的理解和思考，以及對數學各種理論的認知從而形成的一種對待問題的看法。學生的數學思維一旦形成就能夠在學習過程中進行研究和創新。數學思維不是通過死記硬背的方式去熟記所有的公式和法則，而是對數學理論產生的一種科學的認知。如果學生在學習的過程中思維模式是固定的，那么培養靈活的思維重要性不言而喻。

怎樣才能夠培養學生的數學思維，可以從以下兩個方面入手：（1）增加教學互動。以往的教學方式老師講學生聽，教學活動的全程幾乎不會出現互動情況；所以需要從教學方式進行改變，以學生作為課堂的主體，讓學生參與到課堂的互動，積極地進行數學問題的溝通，在交流中了解到老師的思維方式，并將這種方式逐漸轉化成自己的方式。（2）引導學生形成自己的思維模式。思維模式的形成和知識熟練程度和思考習慣有關，所以一方面要幫助學生掌握基本知識，然后針對其缺點進行針對性引導。比如某些同學不能通過抓住題目重要的要點，經常出現審題不清的情況，所以就該引導他們不斷的去閱讀題目，盡量理解每一句話表達的意思，確定全部理解之后再行做題。比如，在學習了“連加連減運算”之后，可以通過舉例子的方式來讓空洞的概念更加具體：今天上學校車到圖書館站時車上一共13人，上來了19人，在經過電影院站時又上來14人，現在車上一共多少人？這是個典型的連加應用題，通過這樣的距離能夠讓學生在腦海中形成一種連貫的圖畫，在以后遇到該類問題時，腦子里瞬間顯現出這個模式，從而輕而易舉的解決問題。

二、數學活動經驗

數學的學習是一個創造性的過程，新時期的數學教學需要培養學生的活動經驗，通過實踐活動來提升自己的學習能力，掌握更加高效的學習方式，只有在這樣不斷進步的過程中才能體會到學習的美好，繼而對數學這門學科產生興趣，隨之全面發展自身的各種能力。估算是小學數學教學中常見的數學活動，估算教學不僅是教授給學生一種算法，更重要的是培養學生近似意識，然后通過估算來豐富自己的生活經驗。

在教學的過程中老師可以出一道題讓孩子們進行估算，但是數學活動題目的選擇必須合理，比如讓同學A扮演購物者，學生B扮演售貨員，A去超市買了一個文具盒、一盒彩筆、一個書包，它們的價格分別是12元、23元和78元，估算一下小兔子給售貨員100元夠不夠，這就需要孩子迅速進行估算，即10+20+70=100，那么明顯3件物品的價格明顯高于100元所以不夠，通過親身參與這樣的數學活動能夠讓學生的估算意識更加深刻。

三、數學思想和數學活動相結合的教學方式

1.備課時明確需要灌輸的數學思想。數學思想是學生對知識的升華狀態，是一種無形的且包含在數學知識體系之中，作為數學老師應該將其挖掘出來，然后在課堂上使用恰當的方式進行傳授，不同的學生對于數學思想的要求是存在差異的，所以在備課階段就應該了解班級學生的知識掌握情況，再結合具體的教學情況選擇最為合適的數學思想，提升教學效果。

2.數學思想和數學活動相結合。在課堂上老師應該有意識地去引導學生找尋數學的學習方法和規律，幫助學生去搭建穩定和清晰的數學結構，并將這一數學結構應用到創設的數學活動之中。比如有這樣一道數學題：某班學生有45人，周末要去參加一個活動需要租汽車，大汽車每輛坐8人，小汽車每輛能坐6人，那么需要租幾輛車？首先需要告訴學生解決問題的思維方式，即我們可以先全部一種車，比如說大汽車那么得出：45÷8=5……5（人），則5+1=6輛；然后如果只租小汽車需要租多少輛，可以將整個班級以6個人分成一個小組，然后直觀的進行展示，這樣學生就能清楚地知道應該需要7+1=8輛。通過數學思維的灌輸和數學活動實踐的應用，學生的感受到了數學的奇妙，因而興趣被激發學習的效率也會明顯提升。

課堂的總結也非常的關鍵，總結是對這節課所學的內容進行梳理，同時對于難點和重點進行解疑答惑，除了總結知識和存在的問題以外還應該加強對數學思維的提煉，有效地提升自身的教學效果和學生的學習質量。

四、結束語

小學數學教學是數學學科的初級階段，也是以后理科各個學科的基礎，數學思維的培養不僅有利于學生數學的發展，還有利于其他學科的發展。隨著課程改革的不斷深入，作為學校需要積極的相應教育部門的相關政策和要求，轉變傳統的教學觀念，不斷創新和開拓豐富教學方式。另外，需要加強教師素質建設，通過培訓等方式培養教師的教學能力，或者引進新型的教育人才。在教學活動中有意識地去培養學生的數學思想，多進行數學活動實踐，提升學生的理解能力和動手能力，將掌握的數學知識很好地應用到生活之中，實現新課標全面提升學生素質的終極目標。

參考文獻：

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第二，在解題中滲透數學思想。數學離不開解題，但是解題的方法不止一種，多一種方法就可能多一種數學思想。如蘇教版的練習冊中有這樣一道題：1998×3.14＋199.8×31.4＋19.98×314。先讓學生觀察數字的關聯性，學生會很容易看出數值1998小數點在往左移動，3.14的小數點在往右移動，兩個數值相乘，根據小數點移動的知識，學生能夠推斷出三個乘積是相等的，無論它們怎么變動，小數點后面一共是兩位，只要算出1998×3.14再乘以3就可以了。這個解題思路實際上滲透了劃歸的數學思想。教師要在解題之前就開始向學生滲透，解題之后還要進行深化點睛，久而久之，學生就掌握了這種方法。

第三，經常講，反復講。數學思想滲透是需要潛移默化的，教師要堅持這一過程，在講課時不斷舉一反三，幫助學生深刻領會。

第四，要引導學生從生活中發現數學思想，鼓勵學生將課堂中學到的思想運用到生活中，將生活中的問題帶到課堂上。

篇7

1、數學思想是數學教材體系的靈魂

任何一冊數學教材的編寫，都要表達一定的思想，教材的前后邏輯是一個原則，更深層次的研究是概念和例題的本質是什么，從怎樣的材料出發，經過怎樣的過程而概括出來的，最終要形成怎樣的數學結構，組成怎樣的體系，要學生形成怎樣的數學思想方法。

2、數學思想是教學設計指導思想

教學設計是構思學生認識數學、建立概念的教學活動過程。它不僅是對歷史上數學發展的濃縮或再現數學家的思維活動過程，而且還是滲透數學思想，實現再創造的過程。

二、學生要用數學思想引領學習

陶行知先生曾說過：“我以為好的先生不是教書，不是教學生，乃是教學生學?！比~圣陶先生也曾說過，教任何功課最終的目的就是需要達到不需要教。要學生學會學習，需要有會學習的能力、會學習的方法、會學習的思想。有了深刻的數學思想，就會產生好的方法，就會提高學習的能力，就會為不教奠定基礎。

1、數學思想是解題思路的導航燈

解數學題，需要有一定的思路和方法，而思路和方法的背后是數學思想，正如愛因斯坦所說：“在一切方法的背后，如果沒有一種生氣勃勃的精神，它們到頭來，不過是笨拙的工具。

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“雞兔同籠”是小學數學學習中的難點內容，在蘇教版和人教版教材中均有體現?！半u兔同籠”主要是讓學生感悟“假設思想”，積累用“假設思想”解決問題的活動經驗，使學生在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果。在此，筆者結合具體教學談談自己的幾點思考。

【片段一】假設思維的產生

1. 假設驗證，體驗過程

籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭；從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？

師：讓我們先來猜測一下，有幾只雞，幾只兔？

生1：4只雞，4只兔。

師：可以嗎？

生：可以。

生2：3只雞，5只兔。

師：可以嗎？

生：可以。

一生頓悟：只要雞兔合起來是8只就可以了。（其余學生會意地點頭默許?。?/p>

師引導：大家很善于思考，你們根據“雞兔的總只數是8只”可以進行任意假設。

（根據學生回答板書）

師：究竟哪一種假設符合題意呢？讓我們任選一種算一算。

（根據學生回答板書）

生：

師：看來只有3只雞5只兔的假設是符合題意的。誰假設對了，恭喜你，運氣真好！對雞兔只數的假設就是對答案可能性的一種預設。

2. 嘗試調整，總結規律

（1）探究調整的方向。

師：任意假設可能符合題意，也可能不符合題意。像7只雞和1只兔，假設不符合題意的，能不能通過調整使腿數是26只呢？

請仔細觀察：7雞1兔，總腳數18只，比26只少，雞兔只數應該向什么方向調整？你是怎么想的？在小組里交流。

生1：一只兔比一只u多2只腳，如果雞兔的總只數不變，腳的只數比26少，那一定得減少雞增加兔。

生2：如果6只兔2只雞，那么一只兔比一只雞多2只腳，如果雞兔的總數不變，腳的只數比26多了，就減少兔增加雞。

師：大家同意他們的想法嗎？

生齊：同意。

師：大家能根據數量關系進行分析并找到調整的方向，很棒！

（2）探究調整的方法。

師：7雞1兔18條腿，怎樣調整雞兔的只數才能符合26只腳呢？

生1：7雞1兔18條腿，比26少，必須增加兔減少雞。嘗試6雞2兔20條腿，5雞3兔22條腿……3雞5兔26條腿，成功啦！

師：我發現你的調整速度越來越快，是你發現了什么嗎？

生：對，我發現每減少一只雞，增加一只兔，總腳數就會增加2只。

師：聰明，這位同學是根據雞兔只數和腳的只數變化的關系，一步一步調整得到符合題意的答案。

生2：7雞1兔18條腿，題目要求26只腳，少了8只腳，每增加1只兔減少1只雞腳就增加2只腳，8里面有4個2，增加4只兔減少4只雞就符合題意了。

師：這位同學是在剛才認識的基礎上一步到位，復雜問題簡單化，祝賀你！不論是一步一步調整，還是一步調整到位，都是抓住了雞兔只數變化引起腳的只數變化的關系。它的規律是什么呢？

生3：一只雞有2只腳，一只兔有4只腳，當把一只雞換成一只兔，總腳數會減少2只；反過來，把一只兔換成一只雞，總腳數會增加2只。

師（驚訝）：這是我們解決“雞兔同籠”問題的規律。我們利用這個規律，就能把假設的結果通過調整得到符合題意的只數。剛才大家經歷的這個感悟“假設”思維的過程就是學會數學思維、學會創造（再創造）的過程。

【片段二】假設思維的運用

1. 任意假設，列式計算

師：任意假設雞兔的只數，能根據規律一步到位，調整到符合題意的只數嗎？

生1：可以。如假設4只雞，4只兔，共24條腿，題目要求26只腳，少了2只腳，每增加1只兔減少1只雞腳就增加2只腳，2里面有1個2，增加1只兔減少1只雞就符合題意了。

生2：如假設5只雞，3只兔……也可以一步到位，調整到符合題意的只數。

生3：……我也可以。

2. 極端假設，列式計算

師：發現這個規律，無論怎樣假設，都能通過調整一步到位得到符合題意的只數。我們甚至可以假設全部是雞，也就是從8雞0兔開始假設；或者假設全部是兔，也就是從0雞8兔開始假設?？梢詥?？

生（齊）：可以。

師：你們能用算式把調整的過程表示出來嗎？

生：假設全是雞或假設全是兔列式解答。（略）

師：這叫極端假設。任意假設和極端假設列式計算，你更喜歡哪種？

生1：任意假設、極端假設雞、兔的只數都要調整。

生2：任意假設雞、兔的只數可能都要調整。

生3：極端假設只用調整其中一種就行。

生4：極端假設比任意假設解決問題更簡便，因此我選擇極端假設。

……

師：選擇是智慧，這就是假設的意義、價值。

【反思】

1. 準確挖掘“雞兔同籠”教學中的數學思想

利用“數學廣角”有意義地滲透數學思維方法到學生學習過程中，使學生通過觀察、嘗試、假設、推理與交流，感受數學思維的奇妙、嚴謹，使他們逐步形成探索數學的興趣，感受數學的美。傳統的“雞兔同籠”教學往往將其定位為“解決問題”的專題講座，用列表法、算術法、方程法等解決“雞兔同籠”問題。教學目標是培養學生學會解“雞兔同籠”問題，僅僅停留在知識、技能層面，未能很好地挖掘“數學廣角”背景下 “雞兔同籠” 教學的數學核心素養。

筆者認為，“雞兔同籠”應定位為：借“雞兔同籠”素材讓學生經歷體悟“假設思維”的產生、應用及拓展過程，是學生學會思考、學會創造、理解數學的美、培養他們數學興趣的活動。數學的生命力就在于它能夠有效地解決現實世界向我們提出的各種問題，數學模型正是聯系數學與現實世界的橋梁。學生在自主探索中建構“假設”的數學模型，將現實問題轉化成數學模型是對學生解決問題能力的檢驗，也是培養學生數學核心素養的重要途徑。

2. 切實讓學生在經歷“假設”的過程中積淀數學素養

本課筆者設計了這樣的一條主線：

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由于數學思想的存在，使得數學知識不是孤立的學術知識點，不能用刻板的套路解決各種不同的數學問題，只有充分理解掌握數學思想在各種問題上的運用，才能更有效地把知識運用得靈活。由此可見，要培養學生的數學能力，就必須重視數學思想和方法的訓練培養自主學習的能力，使得學生更容易理解和更容易記憶數學知識，讓學生領會特定的事物本質屬性，借助于基本的數學思想和方法理解可能遇到的其他類似問題，有效促進學生數學思維能力的發展。

現代數學教育理論認為，數學不是教出來的，更不是簡單地模仿出來的，而是靠學生自主探索研究出來的。要讓學生掌握數學思想和方法，應將數學思想和方法的訓練視作教學內容的一個有機組成部分，而且不能脫離內容形式去進行孤立地傳授。在數學課上要充分發揮學生的主體作用，讓學生自己主動地去建構數學知識。初中數學教學的目的不僅要求學生掌握數學的基礎知識和基本技能，更重要的是發展學生的能力，使學生形成優良思維素質。這對激發學生的創造思維，形成數學思想，掌握數學方法的作用是不可低估的。

二、函數思想的應用

古典函數概念的定義由德國數學家迪里赫勒1873 年提出。函數就是一門研究兩個變量之間相互依賴、相互制約的規律。在初中數學教學中，函數的思想是數學中處理常量與變量的最常見也是最重要的思想之一，可以說是一項極為重要的內容。

對―個較為復雜的問題，常常只需尋找等量關系，列出―個或幾個函數關系式，就能很好地得到解決。例如，當矩形周長為20cm 時，長和寬可以如何取值?面積各是多少?其中哪個面積最大?可以設矩形的長為x，寬為y。面積為S，然后慢慢尋找規律。得出矩形周長一定時，矩形的長是寬的一次函數，面積是長的二次函數，當長與寬相等時矩形就變成了正方形，而此時面積最大為16cm2。三、數形結合思想的應用

數形結合不僅使幾何問題獲得了有力的代數工具，同時也使許多代數問題具有了顯明的直觀性。把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結合，使代數與幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合，是初中數學中十分重要的思想。應用數形結合思想，就是將數量關系和空間形式巧妙結合在數學問題的解決中，具有數學獨特的策略指導與調節作用。數是形的抽象概括，形是數的幾何表現，兩者其實緊密結合，以此來尋找解題思路，可以使問題得到更完善的解決。

例如，二元一次方程組的圖像解法，把數量關系問題轉化為圖形性質：A，B 兩地之間修建一條l 千米長的公路，C 處是以C點為中心，方圓50 千米的自然保護區，A 在C 西南方向，B在C的南偏東30 度方向，問公路AB 是否會經過自然保護區?

三、化歸轉換思想的應用

篇10

我國的中學數學教學大綱，對于數學思想和數學方法的重要性的認識也有一個從低到高的過程。

由中華人民共和國教育部制訂、1978年2月第1版的《全日制十年制學校中學數學教學大綱(試行草案)》，在第2頁“教學內容的確定”的第(三)條中首次指出：“把集合、對應等思想適當滲透到教材中去，這樣，有利于加深理解有關教材，同時也為進一步學習作準備?！边@一大綱在1980年5月第2版時維持了上述規定。

由中華人民共和國國家教育委員會制訂、1986年12月第1版的《全日制中學數學教學大綱》，在第2頁“教學內容的確定”的第(三)條中，把上述大綱的有關文字改成一句話：“適當滲透集合、對應等數學思想”。1990年修訂此大綱時，維持了這一規定。

由中華人民共和國國家教育委員會制訂、1992年6月第1版的《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱(試用)》，在第1頁“教學目的”中規定：“初中數學的基礎知識主要是初中代數、幾何中的概念、法則、性質、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學思想和方法?！边@份大綱還第一次把資深的數學工作者們熟知的提法“數學，它的內容、方法和意義”改為數學的“內容、思想、方法和語言已廣泛滲入自然科學和社會科學，成為現代文化的重要組成部分”，并把這段話放入總論的第一段。在第9頁上又指出，要“使學生掌握消元、降次、配方、換元等常用的數學方法，解決某些數學問題，理解‘特殊棗一般棗特殊’、‘未知棗已知’、用字母表示數、數形結合和把復雜問題轉化成簡單問題等基本的思想方法”；在第6頁上還指出，“要注意充分發揮練習的作用，加強對解題的正確指導，應注意引導學生從解題的思想方法上作必要的概括?！豹?/p>

由國家教育委員會基礎教育司編訂、1996年5月第1版的《全日制普通高級中學數學教學大綱(供試驗用)》，在第2頁“教學目的”中也規定：“高中數學的基礎知識是指：高中數學中的概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容反映出來的數學思想和方法?！痹诮缍ā八季S能力”一詞的四個主要層面時，指出第三層面是“會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點”；第四層面是“能運用數學概念、思想和方法，辨明數學關系，形成良好的思維品質”。這份大綱維持了數學的“內容、思想、方法和語言已成為現代文化的重要組成部分”的提法(第1頁)；并指出數學規律“包括公理、性質、法則、公式、定理及其聯系，數學思想、方法和語言”(第24頁)；堅持在對解題進行指導時，應該“對解題的思想方法作必要的概括”(第25頁)。這是建國以來對數學思想和數學方法關注最多的一份中學數學教學大綱，充分體現了數學教育工作者對于數學課程發展的一些共識。

二、數學思想方法

(一)思想、科學思想和數學思想

思想是客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果。它是從大量的思維活動中獲得的產物，經過反復提煉和實踐，如果一再被證明為正確，就可以反復被應用到新的思維活動中，并產生出新的結果。本文所指的思想，都是那些顛撲不破、屢試不爽的思維產物。因此，對于學習者來說，思想就成為他們進行思維活動的細胞和基礎；思想和下面述及的方法都是他們的思維活動的載體。每門科學都逐漸形成了它自己的思想，而科學法則概括出各門科學共同遵循和運用的一些科學思想。

所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論的本質認識。首先，數學思想比一般說的數學概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質、更深刻。其次，數學思想、數學觀點、數學方法三者密不可分：如果人們站在某個位置、從某個角度并運用數學去觀察和思考問題，那么數學思想也就成了一種觀點。而對于數學方法來說，思想是其相應的方法的精神實質和理論基礎，方法則是實施有關思想的技術手段。中學數學中出現的數學觀點(例如方程觀點、函數觀點、統計觀點、向量觀點、幾何變換觀點等)和各種數學方法，都體現著一定的數學思想。

數學思想是一類科學思想，但科學思想未必就單單是數學思想。例如，分類思想是各門科學都要運用的思想(比方語文分為文學、語言和寫作，外語分為聽、說、讀、寫和譯，物理學分為力學、熱學、聲學、電學、光學和原子核物理學，化學分為無機化學和有機化學，生物學分為植物學、動物學和人類學等；中學生見到的最漂亮的分類應該是在學習哺乳綱動物時所出現的門(亞門)、綱(亞綱)、目(亞目)、屬、科、種的分類表，它不是單由數學給予的。只有將分類思想應用于空間形式和數量關系時，才能成為數學思想。如果用一個詞語“邏輯劃分”作為標準，那么，當該邏輯劃分與數理有關時(可稱之為“數理邏輯劃分”)，可以說是運用數學思想；當該邏輯劃分與數理無直接關系時(例如把社會中的各行各業分為工、農、兵、學、商等)，不應該說是運用數學思想。同樣地，當且僅當哲學思想(例如一分為二的思想、量質互變的思想和肯定否定的思想)在數學中予以大量運用并且被“數學化”了時，它們也可以稱之為數學思想。

(二)數學思想中的基本數學思想

在數學思想中，有一類思想是體現或應該體現于基礎數學中的具有奠基性和總結性的思維成果，這些思想可以稱之為基本數學思想。基本數學思想含有傳統數學思想的精華和近現代數學思想的基本特征，并且也是歷史地形成和發展著的。

基本數學思想包括：符號與變元表示的思想，集合思想，對應思想，公理化與結構思想，數形結合的思想，化歸的思想，對立統一的思想，整體思想，函數與方程的思想，抽樣統計思想，極限思想(或說無限逼近思想)等。它有兩大“基石”棗符號與變元表示的思想和集合思想，又有兩大“支柱”棗對應思想和公理化與結構思想。有些基本數學思想是從“基石”和“支柱”衍生出來的，例如“函數與方程的思想”衍生于符號與變元表示的思想(函數式或方程式)、集合思想(函數的定義域或方程中字母的取值范圍)和對應思想(函數的對應法則或方程中已知數、未知數的值的對應關系)。所以我們說基本數學思想是體現或應該體現于“基礎數學”(而不是說“初等數學”)的具有奠基性和總結性的思維成果?；緮祵W思想及其衍生的數學思想，形成了一個結構性很強的網絡。中學數學教育、教學中傳授的數學思想，應該都是基本數學思想。

非科學思想當然也是大量存在的。例如，“崇洋媚外”的思想就是一種非科學思想。

中學數學教科書中處處滲透著基本數學思想。如果能使它落實到學生學習和運用數學的思維活動上，它就能在發展學生的數學能力方面發揮出一種方法論的功能。

(三)思路、思緒和思考

我們在中學數學教育、教學中，還經常使用著“思路”和“思緒”這兩個詞語。一般說來，“思路”是指思維活動的線索，可視為以串聯、并聯或網絡形狀出現的思想和方法的載體，而“思緒”是指思想的頭緒?！八悸贰焙汀八季w”實際上是同義詞，并且它們都是名詞。

那么，另一個詞語“思考”又是什么意思呢?“思考”就是進行比較深刻、周到的思維活動。作為動詞，它反映了主體把思想、方法、串聯、并聯或用網絡組織起來以解決問題的思維過程。由此可見，“思考”所產生的有效途徑就是“思路”或“思緒”；“思路”或“思緒”是“思考”的結果，是思想、方法的某種選擇和組織，且明顯帶有程序性。對思路及其所含思想、方法的選擇和組織的水平，反映了學習者能力的差異。

(四)方法和數學方法

所謂方法，是指人們為了達到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規則或模式。人們通過長期的實踐，發現了許多運用數學思想的手段、門路或程序。同一手段、門路或程序被重復運用了多次，并且都達到了預期的目的，便成為數學方法。數學方法是以數學為工具進行科學研究的方法，即用數學語言表達事物的狀態、關系和過程，經過推導、運算和分析，以形成解釋、判斷和預言的方法。

數學方法具有以下三個基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精確性，即邏輯的嚴密性及結論的確定性；三是應用的普遍性和可操作性。

數學方法在科學技術研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡潔精確的形式化語言，二是提供數量分析及計算的方法，三是提供邏輯推理的工具。現代科學技術特別是電腦的發展，與數學方法的地位和作用的強化正好是相輔相成。

宏觀的數學方法包括：模型方法，變換方法，對稱方法，無窮小方法，公理化方法，結構方法，實驗方法。微觀的且在中學數學中常用的基本數學方法大致可以分為以下三類：

(1)邏輯學中的方法。例如分析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法(要求分類討論)等。這些方法既要遵從邏輯學中的基本規律和法則，又因運用于數學之中而具有數學的特色。

(2)數學中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法(也稱坐標法。代數中常用圖象法，解析幾何中常用坐標法)、向量法、比較法(數學中主要是指比較大小，這與邏輯學中的多方位比較不同)、放縮法、同一法、數學歸納法(這與邏輯學中的不完全歸納法不同)等。這些方法極為重要，應用也很廣泛。

(3)數學中的特殊方法。例如配方法、待定系數法、加減法、公式法、換元法(也稱之為中間變量法)、拆項補項法(含有添加輔助元素實現化歸的數學思想)、因式分解諸方法，以及平行移動法、翻折法等。這些方法在解決某些數學問題時起著重要作用，不可等閑視之。

(五)方法和招術

如上所述，方法是解決思想、行為等問題的門路和程序，是思想的產物，是包含或體現著思想的一套程序，它既可操作又可仿效。在選擇并實施方法的前期過程中，反映了學習者的能力和技能的高低；而在后期過程中，只反映了學習者的技能的差異。

所謂“招術”“招”字應正為“著”字，本文仍用傳統的“一招一式”的說法。是指解決特殊問題的專用計策或手段，純屬于技能而不屬于能力。“招”的教育價值遠低于“法”(這里的“法”指“通法”)的價值?！胺ā钡目煞滦詭в休^為“普適”的意義，而“招”的“普適”要差得多；實施“招”要以能實施管著它的“法”為前提。

例如，待定系數法是一種特別有用的“法”。求二次函數的解析式時，用待定系數法根據圖象上三個點的坐標求出解析式可看作第一“招”；根據頂點和另一點的坐標求出解析式可看作第二“招”；根據與x軸交點和另一點的坐標求出解析式可看作第三“招”。這三“招”各有奇妙之處。哪一“招”更好使用，要看條件和管著它們的“法”而定。教師授予學生“用待定系數法求二次函數的解析式”，最根本、最要緊的“法旨”就在于讓學生明確二次函數的解析式中自變量、函數值和圖象上點的橫、縱坐標的對應關系；對于一般的點和特殊的點(例如頂點及與x軸的交點)，解析式可以有什么不同的反映。而這樣的“法旨”，恰恰體現了對應思想和數形結合的思想。由此看來，我國古代傳說中經常提到的某些師傅對待弟子“給‘招’不給‘法’”的現象，在現代的數學教育、教學中應該盡量避免。

三、中學數學教科書中應該傳授的基本數學思想和方法

(一)中學數學教科書中應該傳授的基本數學思想

中學數學教科書擔負著向學生傳授基本數學思想的責任，在程度上有“滲透”、“介紹”和“突出”之分。　 1.滲透?！皾B透”就是把某些抽象的數學思想逐漸“融進”具體的、實在的數學知識中，使學生對這些思想有一些初步的感知或直覺，但還沒有從理性上開始認識它們。要滲透的有集合思想、對應思想、公理化與結構思想、抽樣統計思想、極限思想等。前三種基本數學思想從初中一年級就開始滲透了，并貫徹于整個中學階段；抽樣統計思想可從初中三年級開始滲透，極限思想也可從初中三年級的教科書中安排類似于“關于圓周率π”這樣的閱讀材料開始滲透。至于公理化與結構思想，要注意根據人類的認識規律，一開始就采取擴大的公理體系。例如，教科書既可以把“同位角相等，兩直線平行”和它的逆命題都當作公理，也可以把判定兩個三角形全等的三個命題“邊角邊”、“角邊角”和“邊邊邊”都當作公理。

這種滲透是隨年級逐步深入的。例如集合思想，初中是用文氏圖或列舉法來表示集合，不等式(組)的解集可以用數軸表示或用不等式(組)表示；高中則是列舉法、描述法、文氏圖三者并舉，并同時允許用不等式(組)、區間或集合的描述法來表示實數集的某些子集。又如對應思想，初中只用文字、數軸或平面直角坐標系來講對應；高中則在此基礎上引入了使用符號語言的對應法則。至于公理化與結構思想、抽樣統計思想和極限思想在初、高中階段的不同滲透水平，則是眾所周知的。“滲透”到一定程度，就是“介紹”的前奏了。

2.介紹?！敖榻B”就是把某些數學思想在適當時候明確“引進”到數學知識中，使學生對這些思想有初步理解，這是理性認識的開始。要介紹的有符號與變元表示的思想、數形結合的思想、化歸的思想、函數與方程的思想、抽樣統計思想、極限思想等。這種介紹也是隨年級逐步增加的。有的思想從初中一年級起就開始介紹(例如前四種基本數學思想)，有的則是先滲透后介紹(例如后兩種基本數學思想)。“介紹”與“滲透”的基本區別在于：“滲透”只要求學生知道有什么思想和是什么思想，而“介紹”則要求學生在此基礎上進而知道為什么叫做思想(含思想的要素和特征)、用什么思想(含思想的用途)并學會運用。作為補充，也可以就問題適時地向學生介紹如何運用一分為二的思想和整體思想。

3.突出。“突出”就是把某些數學思想經常性地予以強調，并通過大量的綜合訓練而達到靈活運用。它是在介紹的基礎上進行的，目的在于最大限度地發揮這些數學思想的功能。要突出的有數形結合的思想、化歸的思想、函數與方程的思想等。這些基本數學思想貫穿于整個中學階段，最重要、最常用，是中學數學的精髓，也最能長久保存在人一生的記憶之中?！敖榻B”與“突出”的基本區別在于：“介紹”只要求學生知道用什么和會用，而“突出”則要求學生在此基礎上進而知道選用和善用。作為補充，也可以就數學問題經常向學生突出分類思想的運用。

(二)中學數學教科書中應該傳授的基本數學方法

篇11

中圖分類號：G623.5文獻標識碼：B文章編號：1006-5962（2013）03-0228-02

《義務教育數學課程標準2011年版》總體目標提出："獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。"。古人云："授人以魚，只供一飯之需；授人以漁，則一生受用無窮。"在數學學習中，學生要學會的不是一道題，而是一種分析的方法；要學會的不是一類題，而是一種思想；要學會的并不是怎樣會做這道題，而是怎樣去分析、理解這類題，使之能力真正得到提高。因此，在數學學習活動中，應讓學生通過觀察、操作、實驗、猜測、推理與交流等活動，初步感受數學思想方法的奇妙與作用，受到數學思維的訓練，逐步形成有序地、嚴密地思考問題的意識。在多年的教學實踐中，我的感悟頗多：

1滲透化歸思想

1.1等量代換。 教學《平行四邊形面積的計算》時，課前2分鐘我播放了"曹沖稱象"的視頻動畫，引導學生明白這個故事給我們一個啟發：某些數學問題若直接考慮有困難，可以把原有的條件或問題用等價的量去代換，從而找到解題的線索。教學開始時，我通過創設"幫老師計算平行四邊形停車位的面積"這一生活情境，讓學生先猜想，再通過動手剪、拼等活動，把平行四邊形轉化成長方形；然后引導學生觀察、比較拼出來的長方形的長、寬分別與平行四邊形的關系，使學生理解平行四邊形的底相當于長方形的長，平行四邊形的高相當于長方形的寬，由此引導學生由長方形的面積=長×寬推導出平行四邊形的面積=底×高。

1.2化繁為簡。楊振寧先生曾經說過："過去的學習方法是人家指出路你去走，新的學習方法是要自己找路去走。"為使學生對"簡化"思想和"轉化"策略體驗得更深刻，在教學《植樹問題》時，我把教材原題的"100米"改為1000米[同學們在全長1000米的小路一旁植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共需要多少棵樹？ ]。我讓學生先進行猜想：一共需要多少棵樹呢？然后讓學生想想有沒有比較簡單的方法來驗證自己的答案？大部分學生說可用畫線段圖的方法，但一個學生提出質疑："1000米要畫到什么時候？"這樣做更能突出"繁"，讓生感受到"繁"，才有"化繁"的觀念。待猜想答案呈現不一致后，引導學生得出需要取小單位量來研究，可以先從30米開始研究，這樣讓學生領悟到"解決復雜問題從簡單例子入手"的方法，體驗轉化思想。

在數學教學中，我們還可以充分挖掘教材，有意識地進行化歸思想的滲透，如：小數除法通過"商不變性質"化歸為除數是整數的除法；異分母分數加減法化歸為同分母分數加減法；異分母分數比較大小通過"通分"化歸為同分母分數比較大小等；在教學平面圖形求積公式中，就以化歸思想、轉化思想等為理論武器，實現長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形的面積計算公式間的同化和順應，從而構建和完善了學生的認知結構。在教學中，如果我們不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利于強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。

2滲透數形結合思想

華羅庚先生說過："數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。"教學時，可以借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖，促進學生形象思維和抽象思維的協調發展，溝通數學知識之間的聯系，從復雜的數量關系中凸顯最本質的特征。例如在《教學乘法分配律》時，如何讓學生理解這一公式呢？突破這個難點的關鍵就是要處理好數學知識的抽象性與小學生思維的具體形象性之間的矛盾。在教學中，我用數學結合的方式幫助學生理解。教學開始時，我在黑板上畫出了下圖：

畫完圖后，我讓學生求圖中大長方形的面積。有學生想到：（5+3）×2=8×2=16（c）我接著問：" 還有其他的方法嗎？"有學生想到：5×2+3×2 =10+6=16（cm2）這時，我啟發學生思考：用兩種方法求同一個大長方形的面積，結果相同，這時我們可以把這兩個算式合并起來，該怎么寫呢？學生就說（5+3）×2=5×2+3×2，這就自然而然地引出了乘法分配律。通過滲透"數形結合"的數學思想方法，由數想形、以形輔數，使抽象的數學定律直觀化、形象化 、簡單化，為具體形象思維向抽象邏輯思維過渡搭建了橋梁。

3滲透數學模型思想

所謂數學模型思想是指對于現實世界的某一特定對象，從它特定的生活原型出發，充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析綜合概括等所謂過程，得到簡化和假設，它是把生活中實際問題轉化為數學問題模型的一種思想方法。

篇12

美國心理學家布魯納認為，“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構。”所謂基本結構就是指，“基本的、統一的觀點，或者是一般的、基本的原理?！薄皩W習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的。”數學思想與方法為數學學科的一般原理的重要組成部分，下面從布魯納的基本結構學說中來看數學思想、方法教學所具有的重要意義。

1.“懂得基本原理使得學科更容易理解”。心理學認為“由于認知結構中原有的有關觀念在包攝和概括水平上高于新學習的知識，因而新知識與舊知識所構成的這種類屬關系又可稱為下位關系，這種學習便稱為下位學習?！碑攲W生掌握了一些數學思想、方法，再去學習相關的數學知識，就屬于下位學習了。下位學習所學知識“具有足夠的穩定性，有利于牢固地固定新學習的意義，”即使新知識能夠較順利地納入到學生已有的認知結構中去，學生學習了數學思想、方法就能夠更好地理解和掌握數學內容。

2.有利于記憶。布魯納認為，“除非把一件件事情放進構造得好的模型里面，否則很快就會忘記?！薄皩W習基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們在需要的時候得以把一件件事情重新構思起來。高明的理論不僅是現在用以理解現象的工具，而且也是明天用以回憶那個現象的工具?！庇纱丝梢?，數學思想、方法作為數學學科的“一般原理”，在數學學習中是至關重要的，無怪乎有人認為，對于中學生“不管他們將來從事什么業務工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終生。”

3.學習基本原理有利于“原理和態度的遷移”。布魯納認為，“這種類型的遷移應該是教育過程的核心——用基本的和一般的觀念來不斷擴大和加深知識?！辈懿藕步淌谝舱J為，“如果學生認知結構中具有較高抽象、概括水平的觀念，對于新學習是有利的，”“只有概括的、鞏固的和清晰的知識才能實現遷移?！泵绹睦韺W家賈德通過實驗證明，“學習遷移的發生應有一個先決條件，就是學生需先掌握原理，形成類比，才能遷移到具體的類似學習中。”學生學習數學思想、方法有利于實現學習遷移，特別是原理和態度的遷移，從而可以較快地提高學習質量和數學能力。

4.強調結構和原理的學習，“能夠縮挾‘高級’知識和‘初級’知識之間的間隙。”一般地講，初等數學與高等數學的界限還是比較清楚的，特別是中學數學的許多具體內容在高等數學中不再出現了，有些術語如方程、函數等在高等數學中要賦予它們以新的涵義。而在高等數學中幾乎全部保留下來的只有中學數學思想和方法以及與其關系密切的內容，如集合、對應等。因此，數學思想、方法是聯結中學數學與高等數學的一條紅線。

二、中學數學教學內容的層次

中學數學教學內容從總體上可以分為兩個層次：一個稱為表層知識，另一個稱為深層知識。表層知識包括概念、性質、法則、公式、公理、定理等數學的基本知識和基本技能，深層知識主要指數學思想和數學方法。

表層知識是深層知識的基礎，是教學大綱中明確規定的，教材中明確給出的，以及具有較強操作性的知識。學生只有通過對教材的學習，在掌握和理解了一定的表層知識后，才能進一步的學習和領悟相關的深層知識。

深層知識蘊含于表層知識之中，是數學的精髓，它支撐和統帥著表層知識。教師必須在講授表層知識的過程中不斷地滲透相關的深層知識，讓學生在掌握表層知識的同時，領悟到深層知識，才能使學生的表層知識達到一個質的“飛躍”，從而使數學教學超脫“題?！敝啵蛊涓挥谐瘹夂蛣撛煨?。

那種只重視講授表層知識，而不注重滲透數學思想、方法的教學，是不完備的教學，它不利于學生對所學知識的真正理解和掌握，使學生的知識水平永遠停留在一個初級階段，難以提高；反之，如果單純強調數學思想和方法，而忽略表層知識的教學，就會使教學流于形式，成為無源之水，無本之木，學生也難以領略到深層知識的真諦。因此，數學思想、方法的教學應與整個表層知識的講授融為一體，使學生逐步掌握有關的深層知識，提高數學能力，形成良好的數學素質。

三、中學數學中的主要數學思想和方法

數學思想是分析、處理和解決數學問題的根本想法，是對數學規律的理性認識。由于中學生認知能力和中學數學教學內容的限制，只能將部分重要的數學思想落實到數學教學過程中，而對有些數學思想不宜要求過高。我們認為，在中學數學中應予以重視的數學思想主要有三個：集合思想、化歸思想和對應思想。其理由是：（1）這三個思想幾乎包攝了全部中學數學內容。（2）符合中學生的思維能力及他們的實際生活經驗，易于被他們理解和掌握。（3）在中學數學教學中，運用這些思想分析、處理和解決數學問題的機會比較多。（4）掌握這些思想可以為進一步學習高等數學打下較好的基礎。

此外，符號化思想、公理化思想以及極限思想等在中學數學中也不同程度地有所體現，應依據具體情況在教學中予以滲透。數學方法是分析、處理和解決數學問題的策略，這些策略與人們的數學知識、經驗以及數學思想掌握情況密切相關。從有利于中學數學教學出發，本著數量不宜過多原則，我們認為目前應予以重視的數學方法有：數學模型法，數形結合法，變換法，函數法和類分法等。一般講，中學數學中分析、處理和解決數學問題的活動是在數學思想指導下，運用數學方法，通過一系列數學技能操作來完成的。

四、數學思想方法的教學模式

數學表層知識與深層知識具有相輔相成的關系，這就決定了他們在教學中的辯證統一性。基于上述認識，我們給出數學思想方法教學的一個教學模式：操作—掌握—領悟。

對此模式作如下說明：（1）數學思想、方法教學要求教師較好地掌握有關的深層知識，以保證在教學過程中有明確的教學目的。（2）“操作”是指表層知識教學，即基本知識與技能的教學。“操作”是數學思想、方法教學的基礎。（3）“掌握”是指在表層知識教學過程中，學生對表層知識的掌握。學生掌握了一定量的數學表層知識，是學生能夠接受相關深層知識的前提。（4）“領悟”是指在教師引導下，學生對掌握的有關表層知識的認識深化，即對蘊于其中的數學思想、方法有所悟，有所體會。數學思想、方法教學是循環往復、螺旋上升的過程，往往是幾種數學思想、方法交織在一起，在教學過程中依據具體情況在一段時間內突出滲透與明確一種數學思想或方法，效果可能更好些。

參考文獻：

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在大學教數學,我們應該教學生什么?本人認為,最重要的是介紹數學的思想。數學最富有、最本質的就是它的思想。數學思想是數學的靈魂,古往今來,很多數學工作者,數學教師和數學愛好者都在關注數學思想的來源與發展,其中著名的《古今數學思想》這本書就重點闡述了重要數學思想的來源和發展,可見數學思想的重要性。我們還知道,問題是數學的心臟,方法是數學的行為,思想是數學的靈魂。不管是數學概念的建立,數學規律的發現,還是數學問題的解決,乃至整個“數學大廈”的構建,核心問題在于數學思想方法的培養和建立?！皵祵W科學”之所以從自然科學領域中分離出來,成為現代科學的十大部門之一,其實不是因為數學知識本身,而是因為數學思想與數學意識的重要作用。在一個人的一生中,最有用的不僅是數學知識,更重要的是數學的思想和數學的意識。因此我們應當在數學教學中不失時機地進行思想方法的滲透。對數學思想方法的研究,不僅有利于指導學生將知識通過概括和比較上升為能力,且對培養思維素質有著不可替代的作用。數學思想方法應從“隱含、滲透”階段進入第二輪的“介紹、運用”階段。因此,本文主要論述大學數學中數學思想的運用和如何較好地把數學思想傳授給學生。

大學數學的主要內容是微積分,首先介紹微積分中所用到的幾個數學思想。

1極限的思想

極限思想是微積分中最基本的數學思想。早在公元3世紀,我國杰出數學家劉徽在創立割圓術的過程中就豐富和發展了極限思想,割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣。這就是對極限思想的精辟論述,很多問題用常量數學的方法無法解決,卻可用極限思想來解決。在微積分中體現在求曲邊梯形面積中,通過分割,代替,求和,取極限的思想解決曲邊梯形面積的問題。事實上,利用極限思想是人們能夠從有限中認識

無限,從近似中認識精確,從量變中認識質變成為可能。

2函數和方程的思想

函數和方程的思想是對于數學問題要學會用變量和函數來思考,會轉化未知和已知的關系,它是永恒的好數學。如在證明方程根的存在性時,用到閉區間上連續函數的零點定理,需要通過構造一個函數,并滿足零點定理的條件,由此,把方程問題轉化成函數問題,并進一步說明了微積分所研究的主要對象就是函數。

3歸納概括的思想

歸納概括是把問題間共同的屬性概括成一種具體的概念,產生一種新的概念。在數學概念教學中,有許多概念都不是孤立產生的,如導數概念的產生,它是通過解決實際問題:變速直線運動的速度和曲線的切線問題,得到二者在數量關系上的共性,即有關變化率的念都可以歸結為的形式,得出函數導數的概念。如何較好地把數學思想介紹給學生? 這依賴于許多方面,如課程設計、教材編寫、教學形式、教學內容等等。數學思想是不可能填鴨那樣灌輸給學生的。能否較好地把數學思想介紹給學生,要求是雙向的。既要求老師善于講,也要求學生有積極的態度和學習的動機,培養學習數學的興趣和思考的能力,從而使學生易于理解數學思想,達到運用的目的,適用于未來。下面具體說明這幾個方面。

3.1態度和動機

“態度”是指一個人做事的細節精神,它能以周密、踏實的方式成就別人不能成就的事情。態度決定一切成為許多成功人的座右銘。對學生而言,擁有積極的態度必不可少,是因為他們肯定“今天”的無窮價值。動機包括愿意學習數學,感覺到學習的需要,有目的的學習,致力于數學。

3.2興趣

興趣是學習最有效的動力。我們常常教育學生要明確學習目的,端正學習態度,刻苦努力,等等。這些雖然必要,但是,單純地把學習當成任務會給學生帶來太大的壓力。有了興趣,學習就如燃燒,可謂“星星之火,可以燎原”。正像燃燒產生的熱加快燃燒過程本身一樣,只要有興趣,學到的知識能擴大我們對學習的興趣,誘使我們主動地去學習新的東西。興趣不僅對學習重要,對事業上的努力同樣是重要的。數學家韋爾斯(An2drewWiles)十年磨一劍攻克費爾馬大定理,就是從小就迷上了這個世界難題。物理學家弗里希(O. R. Frisch) “科學家必定有孩童般的好奇心。

在大學期間培養學生對數學的興趣的有利的條件有三:一是數學本身的確有趣; 二是年輕人容易來興趣; 三是學生們暫時還沒太多其它的興趣。什么最能引發學生對數學的興趣? 是數學的美,學科的重要,還是教材的生動? 無疑這些都是重要的因素,但我認為,最最重要的還是老師。一堂課,一個定理,乃至一句話都可能使得學生對數學終身的愛。例如,數學家哈代(G. H. Hardy)說到: “My eyes were first opened by Prof Love,who first taught me a fewterms and gave me my first serious concep tion of analysis.”使學生對數學感興趣有時要因人而異,所以老師必須了解學生。

3.3思考

從笛卡爾(Descartes)的名言“我思,故我在”可知,思考的重要性是不容置疑的?？鬃诱f過: “學而不思則罔,思而不學則殆。”如果不思考,就不是真正意義上的學習?？茖W的學習方法必定不能缺少思考。著名科學家牛頓在被問到是什么使得他發現了萬有引力定律時,其回答非常簡單: “By thinking on it continually”。這看似簡單的回答卻給出了一個真理: 幾乎所有的偉大發現都歸功于不斷的思考。所以,學習的目的是為了提高自己的創新能力,只有創新才是推動社會進步的動力。而創新需要想像力。愛因斯坦說過: “Imagination ismore important thanknowledge.”但人不思考腦袋就會生銹,又哪來想像力呢?所以,大學里一定要從學生從繁忙的課時中解脫出來,多有時間思考。我相信,人就像愛做夢一樣,是天生就愛思考。而年輕學生們的想像力更為豐富。要讓他們這一特長得以發揮。我們一定讓學生敢于提問題,善于提問題,勤于提問題。大學如何較好地把數學思想介紹給學生及數學中數學思想的運用成為大學數學教學中值得思考,重視的問題,這也是素質教育所提出的要求。