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高中數學知識內容中，包含著較多的數學公式和定理。這些公式和定理，解釋了數學知識的基本規律，概括了相關的數學知識，是學生在學習過程中必須深入理解和掌握的內容。眾所周知，數學公式和定理，一般來說具有一定的形式符號化的特點，并且其所表述的內容較為抽象，學生在記憶起來，相對比較困難。但是公式和定理又是提高學生學習效果的關鍵，是數學知識的主要載體。只有認真理解了數學公式和定理，才能夠學好數學。如何開展數學公式和定理教學，是眾教師廣泛關注的問題。筆者將結合自己的教學經驗，來談談我的一些體會。

一、知識引入多樣化，激發學生求知欲

在高中數學教學過程中，最簡單的知識導入方式就是開門見山，“今天我要學習的內容是……，請大家翻開教材……”這樣的教學方式雖然簡單，省時省力，但是根據我多年的教學經驗來看，這樣的方法學生并不感興趣，長久以來還會使學生喪失對數學知識的熱情。數學知識雖然邏輯性嚴謹，知識體系復雜，但是并不代表它沒有趣味，沒有新意所言。因此，我們在教學過程中，為了使學生更加牢固的掌握數學公式和定理，要在知識引入環節多花些心思，精心設計課堂教學過程，激發學生的求知欲，讓學生從原來的“要我學”學習狀態改變為“我要學”的主動狀態。

在進行數學公式或定理引入時，有許多有效的教學方式。例如利用實踐進行引入，利用類比進行引入，利用發現進行引入，甚至是利用幽默的數學故事進行引入。只要能為學生學習數學公式和定理打好基礎，并有效調動起學生的求知欲望，就是合適的、良好的引入方式。無論是怎樣的引入形式，都要先對數學公式、定理進行分析，再結合高中生的基本學情進行設計。在學習線面垂直判斷時，有這樣的數學定理：一條直線和平面內的任意一條直線都垂直，稱直線和平面垂直。如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。單純理解這兩句話可能有些抽象，于是我在教學時讓學生進行實踐，拿出一張矩形的紙片進行對折，并略微展開，使矩形被折的側面放置于桌面，并告訴學生，折痕和桌面垂直。從這個小實驗引導學生對線面垂直定理進行思考，將抽象的知識化為現實，更能夠幫助學生深刻理解這個定理的含義。

二、重視推導和證明，弄清楚來龍去脈

公式和定理都有推導和正面，在開展高中數學公式和定理教學時，帶領學生對公式進行推導，對定理進行正面，讓學生全面掌握公式和定理的來龍去脈，有助于激發學生的學習興趣，使學生對正面和推導產生迫切想要了解的感覺。在教W過程中，教師要重視推導和證明，力求讓學生掌握數學知識之間的關系和數學的精髓。對公式定理進行推導證明時，也要讓學生占據主體地位，發揮學生的主動性，幫助學生完成整個過程。

每一個數學知識點，都有獨特的來源。我在教學時，對推導和正面非常重視，我的學生對知識的來龍去脈掌握的也非常清晰。舉一個簡單的例子，比如說直角三角形斜邊中線定理，如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。這個定理是怎么來的呢？如何證明呢？如圖：

過點B作CB的垂線與CE的延長線交于D點；∠ACB=∠DBC=90°；AC∥BD（同旁內角互補，兩直線平行）；∠CAB=∠ABD；在

ACE和BDE中，∠CAB=∠ABD，AE=EB，∠AEC=∠DEB；

ACE≌BDE（A.S.A）；AC=DB，CE=DE；在ACB和DBC中，AC=DB，∠ACB=∠DBC，CB=BC；ACB≌DBC（S.A.S）；∠ECB=∠ABC；CE=BE=AE。當學生對這些知識掌握的更清楚后，運用起來也會更加高效。這就是重視證明和推導的作用，在教學過程中，引導學生掌握這些內容，對學生的學習效率的提高有很大的幫助。

三、強調條件特例，注重靈活運用

在整個高中數學教學的內容中，往往會出現許多“萬能公式”。教學期間，學生最容易發生的運用錯誤就是將萬能公式隨意套用。因此，在教學過程中，教師要強調數學公式和定理的條件和特例，引導學生在運用萬能公式時要注重條件和特例，掌握運用范圍和方法。只有這樣，才能夠讓學生在學習過程中提高對數學知識的實際運用能力。

我在教學過程中，經常會指導學生注意公式及定理的運用注意事項，例如含有正切的三角公式的角的范圍是有限制的。這個事情有許多同學在做題時不注意，很容易在這里摔跟頭。我在教會學生公式推導之后，讓學生做一道小小的練習，從中發現學生容易犯錯的地方，將它們找出來并提示學生進行思考和改正。這樣一來，學生在我的指點下，就明白了任何公式和定理的成立，都需要特定的條件。還有些公式和定理，存在特殊案例，例如三角誘導公式及倍角公式是兩角和與差公式的特例。這些都是學生在學習的過程中需要注意的事情。學習數學公式和定理的目的在于能夠靈活運用，快速解決相關的數學問題。因此，在開展公式及定理教學時，學生的運用能力是最需要注重的地方。如果學生能夠靈活掌握并運用這些公式及定理去解決數學問題，那么就說明教學是有效果的。反之，則需要教師繼續努力，培養學生的知識運用能力。

在高中教學過程中，數學教學有著較大的難度，數學知識復雜抽象，但是數學這個學科又極其重要。因此，教師需要打起十二分的精神，對教學方案方式進行精心設計，幫助學生提高學習水平。

【參考文獻】

[1]孫磊麗.高中數學概念教學研究[D].聊城大學 2014

[2]黃麗.高中函數單調性的概念教學研究[D].四川師范大學 2014

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1.數學理解的作用

1.1理解可以促進記憶

由于學生將數學知識形成記憶的過程是一個建構和再建構的過程，因此記憶并不是將知識直接原封不動地接收然后儲存的過程，而是要理解要不斷做一些建構的工作，這些工作主要涉及三個方面:把原有知識變成更容易記和提取的知識;新舊知識盡量聯系更多;新舊知識本質屬性聯系數量越多，就越容易提取。因此，在記憶知識時，個體會主動去理解，加強知識聯系的廣度和深度，由此提高新知識的記憶程度。

1.2理解能降低知識的記憶量

沒有理解，知識就是孤立存在，各種知識分別占用記憶單位;如果理解，新舊知識之間有聯系，構成一些有機組成部分，那么需要單獨記憶的東西變少，這樣，記憶量就減少了[2]。

1.3理解將推動遷移

遷移是指一種學習對另一種學習的影響，有正遷移和負遷移之分。由于建構性的理解活動能突破限制，組建表象與表象之間豐富的聯系，在結構內部或更大范圍以及結構之間尋找更深層次的意義，因此能發揮知識方法的潛能，推動遷移的進行[3]。

1.4理解會影響信念

學生在思考和理解的過程中會漸漸地體會到數學是一個緊密的內部聯系的整體，知識網絡之間非常有條理地聯系在一起，這些聯系是學習者自己通過努力去探索和嘗試地建立起來的，這同時就建立了比較正確的數學觀、數學學習觀和數學信念等。就在學生對數學概念的本質及關聯有了理解，對數學方法的運用有體會時，學生對數學及其應用產生興趣，想學習更新更深的知識。因此，只要抓住學習的關鍵—理解，或者學生的學習達到該水平，那么就能促進學生形成正確的觀念[4]。

2.強化高中數學公式和定理教學在高二學生中的理解措施

2.1教師要增強對公式和定理證明的意識

在課堂上適時的簡單證明公式和定理，讓學生掌握公式和定理的證明，也就是把大部分學生對公式和定理的理解水平提升到領會水平，學會公式和定理的證明才能有效地提高學生的解題能力。教師的信念會直接影響學生的信念，教師如果自己覺得公式和定理只要會用就可以，那么要學生掌握公式和定理的證明這是不可能的，目前普遍認為公式和定理只要記住會用就可以了，可見教師信念對學生信念的影響很大以及學生本身對公式和定理的認識不深刻。處于公式和定理的不同理解水平的學生在解題能力上有顯著性差異，兩者成高度正相關。也就是說，掌握公式和定理的證明能有效地提高學生的解題能力。

2.2重視學生數學語言的運用和理解

讓更多的學生能正確表達數學和明白數學專用名詞的意思。在學生訪談中，當問到錯位相減法的字面意思時，所有的學生都不知如何回答，經過提示，才慢慢的能說清楚一些。因為數學名詞的命名都是有一定原因的，它跟命名的對象有關，所以教師在講解比如倒序相加法、錯位相減法時，把推導過程與名字結合在一起，學生當時理解會稍微深刻一點，以后估計看到方法的名字就能想起或知道具體的證明過程。這也讓學生慢慢形成一種意識，就是中學數學中只要從字面上簡單清晰地理解數學，不僅在以后可使回憶變得簡單，而且呈現知識的“原貌”也顯得不是那么困難了。

2.3教師本身應提高對學生數學學習能力的認識

問卷的同時，也與高中數學教師進行交流，比如問為什么公式和定理的證明一般只講一遍，對公式和定理的要求一般為什么是只要記住會用就可以?教師的回答一般是:我們學校的學生生源差，好的學生都被最好的市重點先錄取;就算講了，學生能掌握證明的也很少。事實上，分析學生測試卷可以發現，很多問題學生都有比較完美的解法，說明學生并不差，總是有很多不錯的學生存在，教師可以適當進行資優教育。如果教師因未發掘學生潛能而期望過低，使學生感受到老師認為自己不行，那么一方面教師對學生的定位就己經很低了，學生要達到更高的認知水平就非常困難，另一方面教師講得簡單，沒講一些數學深刻的地方，那學生也沒法領會數學的深奧，以及數學原來很有趣。

2.4教師有時要基于數學史作教學設計

以有趣的故事來引發學生的興趣，以一些更簡單、更巧妙、更直觀的方法讓學生明白數學可以很簡單直觀，只不過是自己沒發現而已。

2.5教師平時應多強調推理的嚴密性，少用“記住、別忘了”等詞

比如對于學生忘記分q等于1和q不等于1兩種情況，或在學生忘記a=0的情況，不要只強調下次別忘了，而應該指出這是數學推理的嚴密性，a=0時就不是等比數列了，就不能用等比數列的求和公式。這樣做可以讓學生發現數學的深刻性，可以減少認為數學只是解一些題而不存在多少思想和特點的學生的人數。

3.結論

綜上所述，對于數學公式和定理，學生不能只是簡單的“一背二套”，還要學會其證明過程，因為只有這樣，才能更好地促進記憶、知道應用條件和掌握數學思想方法，并最終達到靈活應用的目的;教師也不能注重應用，而忽略推導過程，并且推導過程中最好“藝術化”一些，更好地創設情境加以引導，多加入美的元素，激發學生思維的活力。因此，研究高中生對公式和定理的理解水平，對高中生的數學學習和中學數學教學有著重要意義。

參考文獻：

[1]黃燕玲，喻平.對數學理解的再認識[j].數學教育學報，2002，11(03):17-l9.

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如在小學數學二年級下冊就出現“數位”和“計數單位”這兩個概念，根據這些年的教學經驗，這兩個概念學生經常容易混淆，并且分不清它們之間的關系，確實這兩個概念讓低段小學生來理解很抽象，一般成人也難弄清楚，我在講授這節內容時，就將抽象概念具體化、生動化，用一個形象的比喻將計數單位“個、十、百、千、萬……”比喻成我們教室里坐的每一位同學，而“個位、十位、百位、千位、萬位……”這些數位，就比喻成好像每一個同學所坐的座位，這樣打一個比方給同學講，所有學生一下子就明白了什么是數位、什么是計數單位以及它們之間的關系。學生不但愛聽而且還能夠理解透徹，在做題過程中正確率百分之百。再如，在學習“初步認識數位順序表”這一小節內容時，由于我們這所學校是民漢合校，我這個班里的學生中少數民族學生占大多數（維吾爾族和哈薩克族近一半），它們在漢語班的學習就像我們學習英語一樣，非常困難。

漢語文字都好好記不住，再不用談他們對漢語的理解能力了。針對這部分學生教學，就要有一種特定有效的方法，我稱其為《五指記憶法》。我發明這個《五指記憶法》對小學階段學生非常適用，并且適用范圍很廣，所謂這個《五指記憶法》其實就是讓學生借助自己的五個手指來幫助記憶，將所要記的東西能很快記住，即使以后忘了也沒關系，因為只要伸出五個手指就能想起。具體應用如下：伸出左手，掌心面對自己，從小拇指開始，小拇指是個位，無名指是十位，中指是百位，食指是千位，大拇指是萬位并且讓學生按照這個順序將“個、十、百、千、萬”分別寫在小指、無名指、中指、食指、大拇指上，這樣學生比較容易記住“個、十、百、千、萬”這個數位順序表，如果讓學生抽象記憶這個數位順序表，很多學生記不住，可讓他們借助指頭來記憶會很快能記住，而且從小拇指到食指這四個指頭位置也連在一起，它們是同一級數：個級數，而大拇指離它們也比較遠，這無形當中給學生形成萬位數和前四位數不在同一級上的由抽象到形象的認識理解過程。學生非常容易記住個級數是：“個、十、百、千、”萬級數是：“萬、十萬、百萬、千萬”、很難理解和記憶的數位順序表，就這樣在輕松愉快的學習氣氛中讓學生記住了。

數學老師都知道，長度單位之間的換算關系對初學者來說能牢牢記住并不是一件很容易的事，如果同樣用這個《五指記憶法》來記住它們之間的換算關系那就很容易，如長度單位有“km、m、dm、cm、mm”，同理讓學生伸出左手，左手掌心面對自己，將“km 、m、dm、cm、mm”分別標在大拇指、食指、中指、無名指、小拇指上，這樣學生很容易記住，并且讓學生明白，除了大拇指以外其他四個指頭中每相鄰兩個指頭之間都有進率10，很容易從抽象理解到形象理解。它們之間誰和誰是相鄰的單位，誰和誰之間進率是10、誰和誰之間進率是100、誰和誰之間進率是1000，而且大拇指距離它們比較遠。大拇指上標上km，并且很好記住“1km=1000m”、特別的位置對應特殊的進率。而食指、中指、無名指、小拇指、這四個指頭之間相距一樣學生很容易記住：“1m=10dm、1m=100cm、1m=1000mm、1dm=10cm、1dm=100mm、1cm=10mm”。

在學習面積單位之間換算關系和體積單位之間換算關系的時候，老師只要點一下，學生就很容易用《五指記憶法》來記住它們之間的換算關系了。

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數學始終是大部分同學學習的重點和難點，初中數學也是一樣，很多學生對數學是"又愛又恨"，"愛"的是一旦掌握好了就能成為學生提高總體成績的法寶；"恨"的是別人會而我不會。數學作為學生求學路上的必修課程，對同學們的順利發展非常重要，初中數學不僅要求學習數學知識，更重要的是培養學生對數學的興趣。若基礎打好了，學生在數學的學習道路上就會更加順利，但若給學生留下"心理陰影"，那要想提高數學成績就是難上加難了。因此，初中階段的教學任務也是任重道遠，要學好初中數學，我們首先就得掌握數學公式。

數學公式是學習初中數學的重中之重，可以說是數學公式支撐起了整個數學課程的構架。據粗略統計，人教版的初中數學中公式就有150多條，相比于小學數學的簡單數學公式，初中數學公式在難度和量上都有一個質的提升，對于剛剛步入初中的學生來說確實存在一定難度。本文將淺論初中數學基本公式的學習，希望可以助學生一臂之力，學好數學，進而喜歡數學。

1.掌握定理公式的推導方法

一般情況下學習數學公式都是直接記住就可以了，學生不會問為什么，老師也不會講解原因，只是大家都在潛意識里默認：不要問為什么，這就是真理。因此就導致了學生死記硬背，糊里糊涂，老師"假設"學生懂得，互不溝通，互相"誤會"。學生對定理的推導知之不明，直接導致記憶困難，間接地也就是不會運用，即使背過也是紙上談兵。要做到公式在解題中的靈活運用就必須把公式掌握透徹。

首先，公式的最表象內容就是符號表達。由于數學公式繁多，數學符號也是多種多樣，很多同學分不清所以然，就容易導致出錯，其實，每個公式都是要表達一種意思的，其符號的表達也并不是隨隨便便的。比如sin、cos、tan、cot等分別表示的是正弦、余弦、正切、余切，這些符號都是有出處的，是英文單詞的縮寫，即使最簡單的三角形邊長也是有約定俗成的規范的，如最長的邊一定用c表示等等。記住繁雜的符號是記住公式的第一步，只要同學們稍微用心區別就能把握住這些符號標志，這是學好公式也是學好數學的第一步。

其次，掌握好公式的推導過程。數學課本中的公式是直接給出的，沒有詳細的推導過程，因此老師在講課的過程中就要注意講解，要讓學生了解公式的出處，這樣既可以便于記憶又能提高學生的運用效率。比如，學生都知道一元二次方程的解題公式定理，當b^2-4ac>0時，有兩個不相等的實根；當b^2-4ac=0時，有兩個相等的實根；當b^2-4ac

這就需要學生在理解一元二次方程的前提下，1.運用開平方法解形如（x+m）^2=n（n≥0）的方程。2.運用配方法解一元二次方程（本文不具體詳解）。3.一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定，因此：解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax^2+bx+c=0，當b^2-4ac≥0時，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根。詳細的講解能夠讓人一目了然，這樣同學們就比較容易理解，運用起來也就會比較靈活。

2.學一個掌握一個，切忌今日學今日忘

我們有句話叫：今日事，今日畢。學習也是這樣，今天學習的東西就要在今天充分理解掌握，不至于到最后堆積成山，困難重重，不知從何處入手。每天學習的內容及時記憶，這樣學生對老師的講解還有一定的印象，課下復習鞏固難度并不是很大。初中生學習能力快，但遺忘速度也很快，一旦耽擱下來，若沒有人輔導就很難取得突破。初中階段是每天必上數學課的，對于每天學習的知識，學生要盡量在課堂上把握本節課的定理公式，課下進行復習鞏固，這樣才能扎實掌握。

首先，學習新定理時要保持高度集中。由于數學有一定的難度，而老師講課之時也要照顧大部分同學的學習情況，不可能一一指導，因此學生學習數學一定要養成課前預習的好習慣，這樣學習起來才能跟得上課堂進度，才能得心應手。課堂上學生不僅要抓住課堂的重點，也要時刻保持精力的高度集中尤其是學習定理公式的時候。

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1．正向理解

正向理解指能由數學概念，定理，公式的條件得出結論的理解．正向理解反應了學生的正向思維，是一種初步的理解．

一看到條件，就想到相應的結論是正向理解的標志．正向理解還包括能舉出數學概念的正面例子，能學會數學定理的基本應用，能學會數學公式的正向應用等．正向理解是對學生數學理解的最基本要求，應力爭使每個學生都達到要求．

2．變式理解

變式理解指數學問題的形式雖然變化了，而數學本質仍然保持不變的一種理解．變式理解是數學理解的較高要求，力爭使較好的學生達到這一水平．通過變式教學，學生可以達到變式理解的水平；學生不但掌握數學定理的正向應用，而且還可以變化條件應用；學生不但掌握數學公式的正向應用，而且還能掌握數學公式的逆向應用；學生可對數學問題進行一題多變，一題多解等變式理解．

3．反省理解

反省理解也叫反思理解，是對數學理解的反思回顧和再理解．反省理解也可視作是透徹理解．學生達到這一理解層次后，便可知曉知識的來龍去脈，能舉一反三，觸類旁通．反省理解隨著學生的年齡增大而增強，當學生進入形式運算階段后，反省理解才有質的飛躍．培養反省理解不要急躁，要符合學生的心理規律．

二、數學知識理解的分類

只有對被理解的數學知識進行合理的分類，才能更有助于數學理解．現按最常用的方法將被理解的數學知識分類為：對數學概念的理解，對數學公式的理解，對數學定理的理解和對數學問題的理解．

1．對數學概念的理解

數學概念是構成數學知識的細胞．理解概念要充分揭示概念的本質特征，使學生確切理解所講述概念．另外，只理解概念的定義是不夠的，還要掌握概念的內涵．理解概念不僅要理解概念的內涵，還要理解概念的外延，這是概念的質與量的表現，二者是不可分割的．

2．對數學公式的理解

數學中存在大量數學公式，它們是推理和變形的工具，有著廣泛的應用．數學公式可概括為三用，即正著用、變著用、逆著用，這三用的難度是逐步增加的．如平方差公式（a+b）(a-b)=a-b，正著用就是指公式左邊符合兩項和兩項差的乘積條件就可直接應用，得出簡潔的結果．變著用：是指將暫時不能直接利用公式的變形后再利用公式．例如：（a+b-c）(a-b+c)=[a+(b-c)][a-(b-c)]后就可以利用前面的平方差公式．逆著用：是指將公式的條件和結論互換后的利用．公式是一個恒等式（在一定條件下），左右兩邊互換后仍然成立．再以平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2為例，逆著用就是指a2-b2=（a+b）(a-b)也就變成因式分解的平方差公式了，以上三種用法對應于數學理解的三個層次． 轉貼于

3．對數學定理的理解

數學定理是推理的依據，在證明中有舉足輕重的作用．數學定理的正向理解是指能正確區分定理的條件和結論，并能直接利用數學定理．數學定理的變式理解指的是能直接創造定理成立的條件來利用定理解決問題，其中創造條件包括能挖掘隱藏的條件或能推出需要的條件，并會進行一題多解，一法多用等．數學定理的反省理解指能夠解決條件開放或結論開放的開放題，提高學生的反省理解．

4．對數學問題的理解

基礎性數學問題條件和結論都比較清晰，難度系數不大，學生只要弄清題意，就可逐步解決．綜合性數學問題難度系數較大，達到變式理解的學生基本可以解決這類問題．開放式問題條件或結論部分是開放的，思維要求具有靈活性，難度系數一般很大，具備反省理解的學生較有可能解決此類問題．

三、提高學生數學理解水平的途徑

學生對數學知識的理解是逐步深入的，教師在課堂教學中要采取一定的措施促進學生的數學理解．

1．促進合作交流

新課程提倡合作學習，在合作學習中小組內可以進行有效的數學交流，然后組內選代表和老師進行數學交流．通過數學交流，學生的表達能力提高了，對知識的理解深刻了，學習的興趣也濃厚了．學生之間的數學理解水平有差異，通過數學交流可以相互取長補短，同時提高和進步．

2．變式練習

變式練習指的是保持問題的本質特征不變，通過變化問題的非本質特征進行練習的方法．變式包括概念變式、過程變式和問題變式．通過這三類變式，可使教學多變化，少重復，提高學生數學的理解水平．問題的一題多解，一法多用，一題多變，多題歸一，可以讓學生體會到數學的奧妙，從而產生濃厚的興趣和學習欲望，促進數學理解的水平的提高．在概念形成后，不要急于應用概念解決問題，而應多角度，多方位，多層次地設計變式問題，引導學生通過現象看本質．

3．指導學生進行自我提問

通過自我提問，這里的問題就變化為自己的問題，從而誘發學生進行思考，提高學生的數學理解水平．

4．進行分層教學

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重要不等式a2+b2≥2ab的直接證明：

課堂問候禮后，我直接出示問題1：如何證明基本不等式a2+b2≥2ab？看到學生迷茫狀，我補了一句：回憶一下，不等式證明有哪些常用的方法？這下立即有了反應。

生：可以用比較法證明，作差可得（a-b）2≥0。（好簡單，同學們微微點頭。）

生：也可以由（a-b）2≥0推得a2+b2≥2ab，那是……綜合法。對，還有分析法。

生：我覺得反證法也行！（真的，學生笑開了。）

學生齊答，我板書分析法：

要證a2+b2≥2ab，

即證a2+b2-2ab≥0，

只要證（a-b）2≥0，這顯然成立，

所以，a2+b2≥2ab成立。

三、分析與反思

1.數學公式、定理的教學與復習應關注哪些方面

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1、提高數學學習能力，有利于對成績的提升，提高在數學課堂上的注意力，提高對于數學的興趣，提高對于數字的學習能力以及對于數字的敏感度和記憶力，由此來提高數學成績；

2、把一些數學公式和數學定理整理出來，方便查找和溫習，背誦理解數學公式和定理，完善對于數學的理解，由此可以提高成績；

3、整理曾經的錯題，對于數學錯題反復查看和理解，對于成績提高也十分有作用；

4、樹立正確的考試觀，對于數學成績要合理對待。

（來源：文章屋網 ）

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一、數學能力培養的雛形

數學的學習其實不是簡單的公式與公式的拼湊，現在的小學老師其實都有培養學生數學能力的意向，比如在教給學生學習某一個公式的時候都會選擇先將公式的由來仔細的推理一遍，讓學生懂得其中的道理，并且知道這個公式是用來解決哪一類問題的工具，這樣學生在使用公式進行計算題、應用題的運算時，能力就會略高一些，解題的效率也會變高。例如，我們都知道在小學期間學習過許多數學定理，其中三角形的內角和為180度是我們在解決小學幾何問題時非常重要的一個定理，然而我們需要如何用通俗易懂的方法來給小學生們證明這個定理呢？

在眾多方法中，我們選擇用一個三角形平面模型，將其三個角分別用剪刀裁剪下來，然后在事先畫好的一個水平的直線上將三個角擺好，那么就非常直觀的呈現出來了一個平角的形態。當然特殊不能決定一般，但是在這個過程中我們還可以培養學生的探索精神，讓他們隨便畫三個三角形重復上述實驗，結果發現全班同學的三角形都可以拼接成一個平角，那么大家就徹底明白了“三角形的內角和是180度”這個定理。

其實這個證明定理的過程中我們也在其中滲透了“三角形的內角和是180度”@個定理的用途，就是用來求取已知三角形中兩個角的度數而求取第三個角的度數。所以我們在推理公式的過程中最好是根據其用途反推回去，讓證明的過程與應用公式原理的過程相輔相成，最后達到一石二鳥的目的。學生數學能力的培養也在這個之中發展起來。

二、如何讓學生得到數學能力

數學能力聽起來是一個極為虛幻的詞匯，但是它其實也是實實在在的東西，要說它虛幻是因為我們無從考究一個學生是否真正具備分析數學的能力，但是它實實在在的存在又是因為數學能力體現的方面多種多樣，比如日常買菜時運用到的心算口算、解答數學題時可以用已有或是已掌握的條件來推導未知，從而解答出來了一開始沒有學習過的數學難題。所以數學能力的體現不僅在生活方面也在日常的學習成績中，而現如今大多數學生不具備這種靈活的學習能力，而是一味機械地去套用公式，這就違背了數學這門課程開啟的原意了。所以學生數學能力的培養問題亟待解決，需要教師重視起來，尋找各種方法進行激發。

數學的學習多數是抽象的學習，比如現在的中學生甚至大學生都不知道1千米的概念是多少的距離，1千克放在手里大約是多少的重量。其實這些都不失為我們教育的一種失敗，小學的教育沒有特別繁重的課程壓力，所以能力培養這個時候就是最為關鍵也是最佳時刻。比如在學習到這些單位的時候，老師不妨在布置數學作業的時候少布置一些練習題，而更多的是讓學生親身去感受各個單位之間的轉換，以及這些重量或是長短給他們的最真切的主觀感受，并讓他們寫下對這些衡量單位的一種最真切的主觀感受。這是培養學生對數字敏感的第一步。

在對數字產生了一定的認知的基礎上，就需要教師對學生進行運算能力的加強，這是今后計算各種數學問題最基礎的知識，它關系到一張卷子做完之后所剩的時間和計算的對錯。心算和口算的能力是數學學習的入門基礎，這也是數學能力的一種培養，所以為了之后在每一次考試中都占有一定的優勢，學生應該具備較好的計算能力。其實計算能力并不是只為了成績而服務的，計算能力更是為了生活能力而服務的，準確的說那是一種必備的生活能力，所以滲透于生活中的數學是無處不在的。

數學公式是學生較為難以一時接受的，所以由已知推導未知是最好的方法，但是已知的方法數不勝數，所以在給學生布置數學練習的時候，教師不要急于要求學生具備應用公式的能力，那樣反而會讓學生學習數學的模式走向僵化。我們不妨暫時放下急于求成的心理，在布置課后練習時可以指定集中的數學公式或是原理來證明或者推導新的數學公式或是原理，這樣學生在認識新的數學公式或是原理的時候就變得非常容易了。

數學講求一種細心與思維能力，這種思維能力需要發揮的前提是將題目完整仔細的閱讀好，提高學生數學題目的閱讀理解能力不是語文老師的義務，而全在于數學老師的教學方式，許多老師在教授孩子公式理解的時候往往忽略了其實題目的閱讀是最為關鍵的，它取決于用什么樣子的公式與方法來解開這道題目。例如：不大于、不小于、不多于等這些用文字描述，但是數學含義極為深刻的文字需要老師不斷強化學生對它的敏感程度。

數學能力其中滲透著數學品質，一般擁有較高數學才能的名人大多都是沉靜對待世界，洞察力極強以及善于思考的人物。所以在對待數學的態度上我們應該從小培養學生探索的精神與毅力，在對待數學困難方面一定是要沉靜思考，從多個角度變換思路，尋找題目的破綻，從而掌握真正的數學品質。品質是一個人的靈魂所在，是趨勢一個人行為的重要意志，數學品質同樣是驅使我們探索數學的一個重要旗幟，所以在數學品質的培養上我們必定要讓學生有一絲不茍的品質，讓學生摒除浮躁的情緒，以認真的態度對待數學的學習。

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1.逆向思維的定義

逆向思維也即由果求因、知本求源，它是一種相反方向的思維方式，具有反向性、批判性和悖論性的特點，它與常規思維不同，是一種相反的思維方式。它引導學生在數學知識的學習過程中，從相反的角度進行問題情境的思索，從而在尋求解題路徑的過程中加深對數學概念、定律、法則的理解和記憶，這也是我們常說的“換位思考”，對于學生的數學智能提升有著極大的推動作用，可以較好地發展學生智力，培養學生創新和創造能力。

在數學教學中，通常采用“證明定理、定理的應用”方式，對學生進行數學知識的建構，而這種思維方式是正向的，我們需要對數學知識由正向轉為逆向的思維，要引導學生從反向的角度，對數學知識進行解析和理解，從實質上對數學知識加以理解。

2.初中數學教學中逆向思維能力的訓練

2.1初中數學概念、公式、定律的逆向思維訓練

在初中數學的定律和法則中，有許多“相反相成”的數學概念，它可以引導學生建立數學正反向的聯結，在知識得以聯系和補充的狀態下，提升學生的數學智能。

2.2初中數學概念的逆向思維訓練

初中數學的概念之中，涉及一個“相反數”的概念性知識，它是理解逆向思維的知識之一，根據數的概念，可以舉例進行“相反數”的理解和認知，如：8的相反數、-4的相反數、-0.8的相反數等。又如：初中數學中的“絕對值”概念，讓學生進行“絕對值”概念的逆向思維鍛煉，如：|6|=？搖？搖？搖？搖；|-6|=？搖？搖？搖？搖，將這個概念進行逆向思維的訓練，讓學生思考：某數的絕對值為6，那么這個數是多少？

2.1.2初中數學公式的逆向思維訓練

初中數學公式的理解和記憶，通常學生都是由左至右進行公式的記憶和運算，而對于由右至左的逆用方式，則感受無所適從。因而，我們要對初中數學的公式進行逆向思維訓練，使學生熟練地由右向左進行公式逆用，這需要在日常練習中加以強化訓練。例如：在初中代數公式中，就有這樣的逆向公式運用

又如：在平面之內，如果有兩條直線都與第三條直線相平行，那么這兩條直線也相互平行。對于這道習題的分析，可以采用反證的方法，從上述結論的反面“不相互平行”進行逆向思維的分析，從而得出這兩直線必須相交，而直線相交必有交點，這樣，在平面內過一個點即有兩條直線和第三條直線平行，這與數學公式相矛盾，從而得出假設不成立的推論，那么假設的反面“相互平行”就無可爭議地得出成立的結果。

3.結語

由上可知，初中數學教學過程中，教師要善于采用逆向的推導方式，引導學生對于數學概念、法則、定律等知識內容，進行逆向思考，尤其是在解題過于繁瑣或者解題思路不清晰的情況下，可以通過逆向思維的反向思考方式，降低數學解題難度，巧妙地獲取數學習題的解題結果，從而增強學生的逆向思維能力，在有意識、有目標、有步驟的初中數學學習過程中，達到提高教學效率、發展學生思維的目的。

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1.課堂教學情境創設

研究源于問題，問題源于情景，探究式教學模式的應用最重要的就是為學生提供良好的問題情景.在明確教學目標的同時，激發學生主動學習、積極探究的興趣，使學生由被動學習的態度轉換為主動學習的態度.課堂教學情境的創設要貼近學生生活，使學生在切身體驗中了解數學歷史、感受數學魅力.

2.教師提出探究問題

探究問題的提出是課堂教學的核心，也是決定教學質量好壞的直接因素.教師提出的探究問題要科學合理，同時具有一定的針對性，問題的本身也要以理論研究為依據，按照課程標準的要求設計問題.教師在選擇探究問題時要盡量選取代表性強的問題，要結合課堂教學的實際情況，綜合考慮全班學生的認知差異、興趣差異等，最終把握好探究問題提出的時間.

3.學生發散思維探究

學生發散思維進行問題探究是課堂教學的重要部分，學生在教師的引導下，充分發散自己的思維，拓展多種渠道解決實際問題.在學生發散思維、解決問題的過程中，要堅持個人獨立思考，同時不能忽略生生、師生之間的合作活動，使學生在探究活動中切身體會，達到認知目的，由此提高個人的學習能力.

4.組織開展總結評價

從教學評價主體層面上來說，既包括學生與學生之間的互評，又包括了教師對學生的總結評價.從評價對象方面來開，既包括了教師對學生探究過程的評價，也包括了對學生探究結果的評價.教學評價對于促進教師改善教學模式，提升教學質量和效果有著非常重要的作用.三、高中探究式數學命題發現教學策略的實施

數學命題教學指的是數學公式、定理的教學.數學公式、定理是數學推理的基礎，更是幫助學生構建完整數學思維的保障，學生利用數學公式、定理可以解決很多數學問題.因此，想要將探究式教學應用于高中數學教學中，教師必須加強對數學公式、定理的深入研究，發掘其與其他學科和證明、應用之間的內在聯系，使學生能夠真正掌握數學公式、定理的推導和使用方法，加強學生對其本質的理解.

案例：高中數學“等差數列性質”課堂教學.

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使學生產生規則意識

小學數學涉及很多定義和定理，教師在教學時，應充分揭示各數學定義或定理的內涵，使學生能夠對其有比較深入的了解，只有深入了解這些知識，學生才有可能靈活運用它們，從而達到培養學生規則意識的目的。比如，在教學六年級下冊“冰激凌盒有多大――圓柱和圓錐”時，教師可以先給學生每人發一張相同大小的白紙，然后讓學生思考怎么用這張紙來圍成圓柱體，才能使圓柱體的體積最大。很多學生在剛開始時都會認為紙張是一樣大的，不論怎么圍，體積都是一定的。這時教師應引導學生進行思考，嘗試用不同邊長作為圓柱體的底面周長，然后讓學生利用同一公式計算不同方法下的圓柱體體積。學生通過計算發現把紙張的長和寬分別作為圓柱體的底面周長所得出的體積是不一樣的。然后教師讓學生分析總結這兩種方法得出的體積比例與紙張長和寬的比例具有什么樣的關系，最后再由教師進行驗證和評價，揭示這些定理的概念和特性。這樣不但使學生能夠更好地學會知識，還能使他們靈活利用規則。這說明，通過深入分析數學定義和數學規律，可以使學生認識到生活中處處有數學，而數學是有規律可循的，使學生意識到規則的存在并靈活運用規則。

二、探討數學定理的來源，

培養學生創新規則的意識

教師可以充分利用小學生強烈的好奇心，培養學生的規則創新意識。例如教師可以與學生一起探究數學公式和定理的形成，讓學生自己摸索定理為什么是這樣子的，而不是其他形式，從而培養學生創新規則的意識。如三年級下冊“對稱”一課，教師可以給學生介紹生活中比較常見的具有對稱性質的事物，如蝴蝶、樹葉等，然后讓學生自己想象生活中還有哪些東西具有相似特點，有效激發學生的學習興趣和探究欲望。教師給學生提供一些只有一半的圖片，向學生提問：“如果這些圖片的另一半與已經畫出來的這一半相同，你覺得這些圖片畫的是什么？”然后問學生是怎樣判斷得出完整形狀的，有什么規律，并逐步引入對稱軸的概念。接著，教師可以給學生提供一些學生比較熟悉的圖形，如三角形、多邊形、平行四邊形以及梯形等，請學生自主判斷這些圖形是否滿足軸對稱的條件，并讓學生自己畫出對稱軸，提高學生的自主學習能力。最后小組討論和總結規律，教師再進行評價。通過這樣的教學方式，學生自己探索數學公式或定理的形成原因，不斷發現數學規律，利用規律來創新規則。

三、規范數學教學要求，

增強學生的規則意識

小學生還沒有非常明確的辨別能力，缺乏有效的規則意識。將規則意識融入數學教學，不僅可以提高學生解決問題的能力，還可以增強學生遵守規則的意識。所以，教師在數學教學中應要求學生嚴格按照定義或定理來做題，做到每一步都要有定理或法則作為依據，使學生養成遵守規則的習慣，并告訴學生不遵守規則可能會出現什么樣的后果，使其認識到規則的重要性[2]。例如三年級上冊“美化校園――圓形的周長”一課，教師可以給學生畫出一些不同半徑的圓形，并在每個圓形下面寫出一些錯誤的圓周長計算過程和結果（如沒有按照圓周長的計算公式“C=2πr”計算導致結果錯誤），然后讓學生回答這些計算過程是否正確，并說出錯誤的原因。通過這種有意識設計的例題，讓學生更好地了解不遵守規則可能會出現的結果，同時還可以向學生適當滲透應遵守學校規章制度的思想教育。

教師應注重課堂教學的規范性，規范數學教學要求，使學生在學習過程中能夠模仿教師規范的解題方式，養成良好的規則意識，使學生更好地掌握和運用所學知識。教師可以根據學生平時的學習情況，充分考慮課堂教學的特點，合理制定規則，使全體學生都能參與到數學教學活動中，提高課堂教學的效率。如果學生沒有按照教師所制定的規則來完成任務，教師也不能過度批評，應適當給予指導，幫助學生找到原因，并引導學生反思和總結，提高數學學習能力[3]。例如三年級上冊“奇妙的變化――分數的初步認識”一課，教師應按照所制定教學規則的要求講解，不僅僅需要口頭講解，還要適當采用其他方式吸引學生注意力，比如繪圖、分數接龍比賽等，使學生更容易理解分數的概念和特點，提高學生的學習質量，并強化學生的規則意識。

四、數學課堂“手勢化”，

培養學生應用規則的意識

小學生能夠集中注意力的時間較短，所以教師可以靈活運用一些課堂用語，制定一些數學手勢指令。在課堂教學中使用這些手勢指令，不僅可以增加課堂容量，使課堂節奏變得更為緊湊，還可以使學生養成良好的規則習慣。教師頻繁使用手勢指令，久而久之，學生可以不需要各種規則的提示就能完成指示或任務，也培養了學生應用規則的意識。

總之，習慣成自然，在小學數學教學中，應有意識地培養學生的規則意識，通過數學公式和定理的探討、揭示以及應用等方式，培養學生遵守規則、應用規則的意識，促進學生的全面發展。

參考文獻

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教材是教師教學的依據，也是學生獲得知識的源泉。要想全面提高學生學數學、用數學的能力，就必須要把數學閱讀貫徹于日常課堂教學活動中。教師在課堂上必須要有意識、有目的、有計劃、有方法地指導學生進行閱讀，以培養學生自主發現問題、勇敢表達提出問題、主動積極解決問題的能力，是他們養成尊重教材、閱讀教材的良好習慣。以下，著重從幾個方面談談本人對學生進行閱讀指導的一些做法：

一、課前預習閱讀――“粗讀―細讀”

平時課堂教學過程中大部分數學老師忽略了課前預習的重要性，沒有提倡學生進行預習，認為學生預習后知道例題的答案或會做題了，上課就不喜歡聽不認真聽。部分學生也認為，數學學習沒必要進行課前預習，反正上課教師都要講，上課認真聽懂就可以了。其實這是一種錯誤的認識，通過預習可以進入解題情境與思維準備階段，學生會發現一部分問題，帶著問題聽課，聽課更有目的性。預習可以按以下步驟進行：學生迅速瀏覽（粗讀）教師根據教學內容給出提綱學生帶著問題再次詳細閱讀（細讀）。要求學生將看不懂、有疑惑的地方用鉛筆做記號或寫在書本角落的地方，讓學生先發現問題，帶著問題聽課，可以提高課堂教學的主動性。

二、數學教材的閱讀指導

1.閱讀數學概念――“精讀”

數學概念具有簡潔、準確的特點。概念的內涵與外延需仔細體會認真琢磨分析才能理解其意義。在概念的教學中教師可以著重指導學生在閱讀時，抓住概念中的關鍵字、詞、句，學會“精讀”。如“有效數字”概念的教學時須注意三個要點：（1）從左邊起數，（2）非零數字，（3）到末位數字止。由此幫助學生理解有效數字包括中間零和末尾零，而不包括開頭零。“精讀”的要求則是閱讀時要求學生深入思索，把握概念的本質，弄清數學概念的內涵、外延，能辨析概念又能了解其使用范圍。教師要提示學生注意概念敘述的準確性。比如：學習“平行線”概念時，不能將“同一平面”這個條件忽略。另外，數學概念“精讀”還要求學生能正確進行文字語言、圖形語言和符號語言之間的互譯。

2.閱讀數學定理、法則――“復讀”

數學中的定理、法則是反映數學對象的屬性之間的關系，是解題的理論基礎和工具，能準確理解、記憶和靈活應用定理、法則是學好數學的關鍵。在定理、法則教學時，教師可以指導學生嘗試“復讀”，“復讀”的要求是閱讀時注重弄清結構，掌握思想。對于條件或結論較為接近，結構相類似的定理、法則時，教師可以有意指導學生復讀、識別。比如：學習“垂線的唯一性（過一點有且只有一條直線與已知直線垂直）”及學習“平行公理（經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行）”時，要求能通過復讀發現兩條定理的異同，讓學生理解兩處“過一點”的不同之處。

3.閱讀數學公式――“邊推導邊閱讀”

數學公式，是表征自然界不同事物之數量之間的等或不等的聯系，它確切地反映了事物內部和外部的關系，是我們從一種事物到達另一種事物的依據，使我們更好地理解事物的本質和內涵。注意不要讓學生死記硬背數學公式，學習的公式關鍵是要讓學生看清教材中的公式是怎樣一步一步推導出來的，有何特點，如完全平方公式（a±b）■=a■±2ab+b■根據多項式乘法推導得到，利用對稱性非常容易記住。要讓學生了解公式產生的背景，為什么要產生這個公式，這個公式的產生對我們的學習帶來什么好處？比如：平方差公式是在多項式乘以多項式的基礎上產生的，平方差公式可以幫助我們解決類似“（1-■）（1+■）（1+■）（1+■）……（1+■）”的問題帶來很多方便。另外還要學生注意公式的應用條件，弄明白有關公式的內在聯系，了解公式的變式、應用、逆用、巧用等。

4.閱讀課本例題――“解讀”

數學教材的例題，都是編者經過反復的比較、篩選，最后才確定下來的，有它的科學性、嚴謹性和可行性。解讀過程中還須邊閱讀邊尋找題中的能體現等量關系的重點句子和關系復雜的難點句，對中學生例題閱讀的指導，應按以下步驟進行：學生認真審題？圯分析解題過程？圯嘗試解題？圯總結解題？圯探求新的解題途徑。這里，還要提醒學生注意解題過程的表達既簡潔又符合書寫格式，閱讀時要仔細領會、學會分析、正確理解例題中的解題思路，掌握解題方法，同時還要幫助學生學會通過閱讀在例題中隱含的知識點及數學思想、方法等。

案例：如圖，？駐ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求？駐ABC各角的度數。

閱讀中體會例題解法中利用方程思想解決幾何問題，理解解決幾何問題方法的多樣性。

數學閱讀不僅是數學教材本身特點的要求，更是學生學習數學的需求，數學閱讀能加深學生對所學內容的印象；通過閱讀了解問題，對問題的思考獲得結論，通過對解決問題的過程的反思加深認識；對不同內容的不同閱讀方法體會解決問題，突破問題的重點和難點。

參考文獻：

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情境教學法是新課改中的一種先進教學方法，自從新課改實施之后，情境教學法日益受到教師的關注，在教學中的運用越來越多，并逐漸發揮出其優勢作用。通過在數學教學中運用情境教學法，使得學生對數學學習更加感興趣，主動參與課堂的熱情更高。

（一）生活情境教學法。

在運用情境教學法進行數學教學時，教師可以創設生活化的教學情境。高中生的閱歷較少，抽象思維能力不強，如果單純進行數學理論知識的講解，他們很難對抽象的數學做出準確地理解，學生處于一知半解的狀態之下，會為他們的數學學習帶來很大的困擾。雖然高中生的抽象思維能力不強，但是，他們的形象思維能力較高，對形象的事物觀察細致，理解透徹，通過運用生活情境進行數學教學，讓學生在生活中感受直觀性的數學知識，對他們數學學習能力的提高和數學學習效率的提高有著重要的幫助作用。

在運用情境教學法進行數學教學時，教師要緊緊圍繞學生的實際生活，從學生的實際經驗著手。只有從學生的實際出發，才能讓他們獲得真實的感受和體驗，學生在真實的生活當中進行數學知識的學習，參與性和探究欲就會更強。

例如：在學習《概率》時，教師可以給學生列舉生活當中“購買彩票”、“超市購物大抽獎”的例子。由于學生身邊會經常看到這些現象，甚至學生們會親自參與其中，他們對這些事物非常熟悉，教師通過這些實例進行概率知識的講解，學生很快對抽象的概念做出了準確地理解，并且對生活當中的這些現象有了更加清楚的認識。

（二）問題情境教學法。

問題情境教學法是數學教學的重要教學方法之一。有問題才會有思考，數學是培養學生思維能力的重要學科，只有運用好問題情境教學法，才能夠讓學生在問題中思考，讓學生自己發現問題進行思考，從而提高學生思考問題的能力、提出問題的能力和思維能力以及創新能力。

二、教給學生數學學習的方法和技巧

在傳統的數學課堂上，教師把數學知識全部傳授給學生，學生不用進行任何思考和探究，他們的任務就是進行知識的記憶和習題的演練。為了提高學生的做題速度和準確率，教師在教給學生數學公式和數學定理之后，讓學生通過大量的習題進行鞏固。在課堂上，很多學生能夠解出試題，但是在課下，他們就會遇到更多的困難，在看到數學題后，不知從何下手。

怎樣提高學生的實際數學能力是沒有教師所思考的問題。為了改變這種現狀，教師就要改變傳統的理念，注重數學學習方法和技巧的傳授。這種教師向學生灌輸知識的教學方法，沒有發揮出學生的思維，由于學生沒有進行思考，他們沒有發掘出數學公式、定理當中的內在規律，沒有做到對公式和定理的正真理解和融會貫通。機械的模仿和生搬硬套會使問題更加復雜化。只有讓學生對數學公式、定理做出正確的理解，才能從根本上提高數學學習的效率。作為一名數學教師，要引導學生自己進行數學公式的推導，從自己的學習中感悟出數學定理，只有學生依靠自己的能力獲取知識之后，他們才會對知識有更深刻的理解，才會掌握數學的基本知識和基本技能，在數學解題方法上也會日益成熟。

作為一名數學教師，要認識到方法和技巧的掌握比單純知識的掌握要更加重要。

三、對學生做出客觀的評價