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對于《隨機過程》課程教學方面的研究，陳建華[1]結合教學現狀，提出教學內容及教學方法改革探索的基本內容。薛冬梅[2]針對《隨機過程》課程概念多、理論性強、抽象等特點，提出加強《隨機過程》課程建設的建議，對課程教學進行實踐研究。吳俊杰[3]通過編寫工程研究生《隨機過程》教材，談了自己的相關體會。呂芳[4]結合洛陽師范學院統計科學系《應用隨機過程》的教學實踐，從教師的學術水平、學生的學習、教學工具的使用等方面結合個人的教學經驗提出一些措施和意見。陳家清[5]針對《隨機過程》的教學，研究教學方法與教學措施的改革，提出以人為本的教學理念，優化課程教學方法。
隨機過程是一連串隨機事件動態關系的定量描述。人們總是通過事物表面的偶然性描述出其必然的內在規律并以概率的形式來描述這些規律[4]。它與其他數學課程如《實變函數論》、《泛函分析》及《測度論》等有密切聯系，同時在統計學、金融學和經濟學等領域中有廣泛應用。因此，在講解與其他課程有關聯的相關知識時，應充分體現《隨機過程》課程的實踐這性和應用性，結合本學科的學術前沿與發展動向，拓寬學生的視野[6]。
高等院校統計學、經濟統計、應用統計和金融工程及其相關專業將《隨機過程》設置為專業主干課程，同時也是數學與應用數學、信息與計算科學等專業的選修課。《隨機過程》的理論和方法在自然科學、工程技術、工農業生產、軍事科學、金融和經濟等眾多領域內發揮著重要作用。《隨機過程》課程具有概念多、理論性強、抽象難以理解、應用性強和應用難于上手等特點，使得統計學及其相關專業學生難于掌握該門課程的基本知識和基本技能[5]，應用起來更難。為使不同專業的學生對《隨機過程》有更好的理解和掌握，在教學設計和教學內容方面應該大膽進行教學實踐，提高教學效率，讓學生更好地領悟隨機過程的思想精髓，讓其在應用中更好地發揮作用。
一、人才培養方案中《隨機過程》課程地位
吉首大學數學與統計學院數學與統計學院現有數學與應用數學、信息與計算科學、統計學（精算方向）、經濟統計學、應用統計學、金融工程6個本科專業，擁有數學及統計學兩個一級學科碩士點，可招收基礎數學、計算數學、應用數學、運籌學與控制論、概率論與數理統計、經濟統計、應用統計等10個二級學科碩士研究生[7]。統計學一級學科碩士點將《隨機過程》設置為專業基礎課，統計學、應用統計和經濟統計在人才培養方案中將《隨機過程》設為專業主干課；金融工程開設《金融隨機分析》，作為該專業主干課；數學與應用數學將其設為專業選修課。信息與計算科學雖然沒有開設《隨機過程》，但在實施中作為選修課。
隨機過程的重點是研究現實世界中的隨機現象，將是《多元統計分析》、《時間序列分析》、《回歸分析》和《統計預測與決策》等后續專業課的基礎。各高等院校將《隨機過程》設置為專業基礎或必修課，是比較合理的。金融工程包括創新型金融工具與金融手段的設計、開發與實施，以及對金融問題給予創造性的解決[8]。該專業需要應用隨機過程解決金融中的實驗問題，其側重點與統計學專業有所不同。因此其教學重點是隨機分析及其方法的應用。該院的其隨機分析作為其專業主干課，如能先修《隨機過程》或《應用隨機過程》，對于該專業的發展將會更有利。查詢高校人才培養方案，數學和統計學專業均開設該課程，各高等院校對隨機過程及相關分析方法越來越重視。
二、課程所需基礎
隨機過程以初等概率論為基礎，同時又是概率論的自然延伸。它的基本理論和方法不僅是數學和統計學專業所必須具備的技能，而且是工程技術、電子信息及經濟管理領域的應用與研究所需要的基本手段[2]，該課程所需的基礎是概率論的相關知識。但針對不同的專業及不同的學習要求，本課程如能有以下基礎則學習更輕松：《測度論》、《實變函數與泛函分析》等。開設有這些課程的高校均將其設為《隨機過程》的先修課程。學生如果想從事應用概率方面的研究，就必須加強測度論與分析學相關內容的學習。對于只是想了解并應用隨機過程基本方法的學生來說，就只要學習概率論就能進行該課程的學習。因此不同專業的學生，該課程所需基礎是有差異的，課程開設的時間也不一樣。對于統計學專業的學生，應該讓學生學習完概率論和測度論后開設此門課程。該課程可以設置《概率論》、《測度論》之后，《時間序列分析》之前。對于數學與應用數學、信息與計算科學和金融工程專業在學生學習完概率論與數理統計后就能開設該門課程，并在其他專業課中對其進行應用，更好地開拓隨機過程的應用領域。
三、不同專業對隨機過程課程教學內容和要求有差異
《隨機過程》作為高等院校統計學專業必修課，將在金融和經濟中發揮著重要作用。根據本課程在統計學及相關專業中的地位和作用，應該將其設置為專業必修課。《隨機過程》要重視基本理論教學，對于統計學專業建議用測度論的語言對其教學，重視其理論推導。但此教學難度較大，要求學生數學功底好，已經系統學習《高等代數》、《數學分析》、《實變函數》、《泛函分析》和《測度論》等課程。按該方案設計，該課程的學習將重視培養學生理論推導能力，為今后學習打下堅實的理論基礎。該方案要求學生數學基礎較好，喜歡數學理論推導，各高校要根據學生基礎進行靈活設置。
對于數學與應用數學和信息與計算科學專業來說，本專業的學生已經學習《高等代數》、《數學分析》《實變函數》《泛函分析》和《概率論與數理統計》等課程，已經具備學習《隨機過程》的數學基礎，為了適應我校重基礎，寬口徑的教學目標，供有興趣的學生進行修讀，將其設置為選擇修課是比較合理的，以便讓有興趣從事金融、經濟、通信工程和其他專業的學生打好基礎，這對他們將來的發展是非常有利的。該課程可設置為第四學年的選修課。
對于應用性較強的金融工程專業來說，在其應用中需要應用隨機分析的基本理論和方法，在該專業中應該加強隨機分析的學習。因此在專業設置中所設置的課程重點應該是《金融隨機分析》，但此課程難度大，抽象難懂。為了讓學生把握教學內容，建議在該課程前先設《隨機過程》，為學習《金融隨機分析》做好知識準備，有利于學習掌握隨機分析的基本原理和方法，并對其進行靈活應用。
四、隨機過程教學改革和建議
1.金融工程專業設置改革。
根據該專業學時與學分的安排情況，本專業可以分別設置《隨機過程》和《金融隨機分析》兩門課程，教學重點不一樣。目前在經濟和金融中很多地方需要應用《隨機過程》的相關理論和思想，因此該專業需要加強本課程的學習。該專業的《隨機過程》的教學重點是隨機過程基本概念、泊松過程、馬爾可夫過程、維納過程和高斯過程等具體的一些隨機過程，而隨機分析和數理金融部分是《金融隨機分析》教學重點。
2.各專業其學分、時間各異。
對于統計學專業來說，《隨機過程》是其專業主干課設置為4學分，72學時。可以在修完《概率論》進行開設。若開設《測度論》和《實變函數》，應該將其設為《隨機過程》的先修課程，設置在第五或第六學期。該專業建議其重視基本理論和方法講授。
數學與應用數學和信息與計算科學這兩個專業，該課程是選修課，學分為3學分，54學時。建議將其設置在第六或第七學期，讓學生拓寬知識面，強調其應用性。金融工程專業可以將該課程設置為專業必修課或專業主干課，建議開設成兩門課程：《隨機過程》和《金融隨機分析》，各3學分，54學時。《隨機過程》作為《金融隨機分析》的先修課程，重點是隨機過程概念和基本理論，隨機分析及應用基礎，數理金融相關內容。
3.進一步提高該課程的應用能力，增加實驗性環節。
改變傳統授課以講授為主，按照教材進行填鴨式的講解。根據現代化的教學原則，該課程結合案例進行教授，將理論知識融入各實例中，應用多媒體設備進行設計，將復雜的理論轉化為相關案例。一方面提高學生的學習興趣，另一方面化解難點，提高教學效率。
在實際教學中，建議加入實踐性環節，選定部分內容作為實驗題目，構建融知識傳授、能力培養、素質教育為一體的教學模式[2]。建議結合《時間序列分析》的相關實驗，增加實驗性環節。
通過該課程的教學實踐與研究，結合該院人才培養方案，分析《隨機過程》課程的重要性，結合不同專業的教學實際，為提高該課程的教學質量，培養學生的學習興趣，提出部分教學建議。希望通過該新開課程的建設，加強教研結合，能建設成一支由多人組成、學術能力強、教學水平高超，并致力于將教學與改革結合、教研互促的教師梯隊[1]。在此基礎上，申請校級精品課程，促進該院統計學專業主干課程教學能力的逐步提高。
參考文獻：
[1]陳建華.李海燕.張榆鋒.施心陵.《隨機過程》精品課程建設與教學改革探索[J].中國科技信息，2010，18：283-284.
[2]薛冬梅.《隨機過程》教學改革研究與實踐初探[J].吉林化工學院學報.2010，27（6）：54-56.
[3]吳俊杰，潘麟生.編寫工科研究生《隨機過程》教材的體會[J].1991，7（1-2）：217-219.
[4]呂芳，王振輝.關于《應用隨機過程》教學的思考[J].中國科教創新導刊.2009，30：50，52.
[5]陳家清.統計學專業《隨機過程》課程教學改革研究[J].湖北第二師范學院學報，2013，30（8）：106-108.
[6]鐘啟泉.新課程背景下學科教學的若干認識問題[J].教育發展研究，2008（24）：7-11.
[7]管理員.學院簡介[EB/OL].http：///Article/ShowArticle.asp？ArticleID=544，2014.6.28.
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1控制招生規模，改善辦學條件
在招生時，要充分評估本校現有軟硬件資源，考慮資源的承受能力，嚴格控制招生數量．高校應當加大對教學基礎設施的建設投入，改善辦學條件．盡快建立與研究型大學相匹配的研究生教學大樓、實驗大樓，為研究生的教學和學習提供有力的物質保障．此外，高校還應當加強導師隊伍的建設．因為導師的質量直接決定了研究生的質量．學校要把好導師遴選的質量關，做好導師的崗前培訓和考核，建立一支能體現本學科特色的學術梯隊、學術團隊，對有突出貢獻的導師實施物質獎勵，對那些不負責、考核不合格的導師實施嚴厲的處罰措施，必要時可以廢除導師終生制．
2更新課程內容，突出前沿性
教材建設必須突出概率論與數理統計學科的特點．按應用程度不同，可把學科分為基礎學科和應用學科兩大類．對于基礎學科的教材應注重理論基礎，在理論的難點上能激發學生的想象力和創造性思維能力，概率統計專業研究生必須具備扎實的理論基礎;而對于應用學科的教材應注重理論和實踐相結合能力的培養，誘發學生的實踐興趣，指導學生的實踐操作，啟發學生在實踐中發現問題，解決問題，提高創新能力．例如《隨機過程》教材可選用應堅剛和金蒙偉編著的建立在測度論基礎上的教材《隨機過程基礎》，《高等數理統計》可選用茆詩松等編著的教材《高等數理統計》．必須指出的是，這些教材內容也比較陳舊，缺少一些新的前沿研究動態．所以教師在授課時，應一方面對經典內容加以精選，減少重復;另一方面要運用新的研究成果對經典內容進行創新處理，引導學生進入科研的前沿陣地．數理統計學教材應強化計算機運用統計軟件的能力，將數據的收集、分析、綜合的概念貫穿始終．
3推行研究型教學方法，開展學術討論班
研究型教學是以研究、討論為基本特征的一種教學活動．這種教學模式是在教師的指導下進行，以學生自主學習和課堂討論為前提，以教學中的重點、難點內容、有爭議的學術問題或學術前沿熱點問題為研究內容，通過學生查閱資料、獨立鉆研展開課堂討論和交流，從而激發學生的學習熱情，調動學生的創新欲望，而達到教學目的的一種教學方法．這種教學方法可充分調動研究生課堂學習興趣，發揮學習的主觀能動性．研究生學習的目的是創新．高遠遼闊的思維空間、自由輕松的學術環境和開放活躍的思維狀態是創新的理想條件．而討論班就是在一種寬松隨意的氛圍下對學術熱點問題各抒己見，使思想在碰撞中產生火花，從他人的見解中獲得啟發、拓展研究思路．導師可以將研究生按照不同的研究方向分成若干個研究小組，小組內不定期進行學術討論活動，而且不同研究方向的研究生也可以相互交流借鑒，取長補短．這樣不僅能使不同研究領域的思想和方法得以相互借鑒，提高研究水平，而且能避免工作的重復和人力資源的浪費．學生在認真閱讀文獻的基礎上，對所讀文獻進行歸納、總結、提煉、整理并寫出讀書報告，然后在討論班上講解，師生之間展開互動討論．這樣可以營造濃厚的學術氛圍，培養學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，從而提高研究生的科研能力．
4深化課程體系，開設交叉學科課程
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現代數學教材普遍都是按照知識的內在邏輯進行編排，很少按照數學問題的研究進程進行著作．這樣的安排在邏輯結構上是科學的、嚴謹的，但卻忽略了數學問題研究的歷史痕跡．教師在教學過程中，應盡量地還原知識的歷史進程，降低新知識的抽象性．正態分布是概率論中最重要的一種連續型分布，它屬于概率論的研究領域，但也是解決統計學問題的基石，它的提出具有深刻的理論背景和極其廣泛的應用價值．在教學中對正態分布的學習，通常是直接給出概率密度或分布函數，將其稱為正態分布．但這會讓學生感覺接受生硬，理解抽象，記憶困難．理論背景上，正態分布產生于棣莫弗的p0.5的二項分布極限研究，后來拉普拉斯對p0.5的情況做了更多的分析，并把二項分布的正態近似推廣到了任意p的情況．二項分布的極限分布形式被推導出來，由此產生了正態密度函數，相應的結果稱為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理．經拉普拉斯等學者的研究，20世紀30年代獨立變量和的中心極限定理的一般形式最終完成．此后研究發現，一系列的重要統計量在樣本量n時，其極限分布都具有正態形式．數學家進而合理地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機變量或者統計量都近似服從正態分布，可以說這是概率統計中具有里程碑意義的發現．數理統計教材中一般是先認識正態分布，中心極限定理則在此之后學習．在學習正態分布的定義之前，教師可以設計一些具有明顯正態性現象的數據，而后進行描述性統計分析，給出頻率直方圖，并解釋這種具有兩頭小、中間大的分布現象是普遍的，也是常態的．對概率論中常見分布的知識背景的了解和掌握，有助于教師在課程設計和講授過程中注意課程內容的銜接和承上啟下的相互關系．借助數學家研究數學問題的進程史實，可降低新知識的抽象性，使學生易于接受和掌握，并提高應用的靈活性．
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金融數學，又稱分析金融學、數理金融學、數學金融學，是20世紀80年代末、90年代初興起的數學與金融學的交叉學科。它的研究對象是金融市場上風險資產的交易，其目的是利用有效的數學工具揭示金融學的本質特征，從而達到對具有潛在風險的各種未定權益的合理定價和選擇規避風險的最優策略。它的歷史最早可以追朔到1900 年，法國數學家巴歇里埃的博士論文“投機的理論”。該文中，巴歇里埃首次使用Brown 運動來描述股票價格的變化，這為后來金融學的發展，特別是為現代期權定價理論奠定了理論基礎。不過他的工作并沒有得到金融數學界的重視。直到1952 年馬科維茨的博士論文《投資組合選擇》提出了均值――方差的模型，建立了證券投資組合理論，從此奠定了金融學的數學理論基礎。在馬科維茨工作的基礎上，1973年布萊克與斯科爾斯得到了著名的期權定價公式，并贏得了1997念得諾貝爾經濟學獎。它對于一個重要的實際問題提供了令人滿意的答案，即為歐式看漲期權尋求公平的價格。后兩次發現推動了數學研究對金融的發展，逐漸形成了一門新興的交叉學科，金融數學。
金融數學是在兩次華爾街革命的基礎上迅速發展起來的一門數學與金融學相交叉的前沿學科。其核心內容就是研究不確定隨機環境下的投資組合的最優選擇理論和資產的定價理論。套利、最優與均衡是金融數學的基本經濟思想和三大基本概念。在國際上，這門學科已經有50多年的發展歷史，特別是近些年來，在許多專家、學者們的努力下，金融數學中的許多理論得以證明、模擬和完善。金融數學的迅速發展，帶動了現代金融市場中金融產品的快 速創新，使得金融交易的范圍和層次更加豐富和多樣。這門新興的學科同樣與我國金融改革和發展有緊密的聯系，而且其在我國的發展前景不可限量。
二、金融數學的發展
早在1990年，法國數學家巴歇里，在他的博士論文“投機 的理論”中把股票描述為布朗運動。這也是第一次給Brown運動以嚴格的數學描述。這一理論為未來金融數學的發展，特別是現在期權理論的建立奠定了基礎。但這一工作很長時間并沒有引起金融數學界的重視。金融數學這一學科名稱直到20世紀80年代末才出現。它是馬克維姿的證券組合理論（H.Kowitz1990年諾貝爾經濟學獎）和斯科爾斯―――默頓的期權定價理論（M.Scholes-R.Merton.1997年獲諾貝爾經濟學獎），這兩次華爾街革命的直接產物。國際稱其為數理金融學。
金融數學源于20世紀初法國數學家巴歇里埃在他的博士論文《投機的原理》中對股票價格用布朗運動的刻畫。雖然1905年愛因斯坦也對此做了研究，但這一新做法當時還是沒能引起更多人的注意，直至1950年，薩寥爾通過統計學家薩維奇終于發現了這一作法的巨大意義，并開始對金融數學做全面的研究，由此金融數學終于迎來了發展的全盛時期，現代金融學由此正式掀開了帷幕。
現代金融數學是在兩次華爾街革命的背景中成長發展起來的。第一次革命的成果體現在靜態投資組合理論的研究上。1952年馬爾科維茲提出了基于均值-方差模型的投資組合問題，該理論把投資的風險和回報做了可量化的刻畫，從而開創了用數理化方法對金融問題進行研究的先河。然而他的模型中要計算各個風險資產價格的協方差問題，這個計算量很大。第二次華爾街革命從靜態決策發展到了動態決策。1970年布雷頓森林協議，浮動匯率取代了固定匯率，許多金融衍生工具比如：期權，期貨都隨即產生，這些金融衍生工具的引入主要是為進行金融風險的管理，而要對風險進行科學有效的管理就需要對衍生工具進行科學的定價。巴歇里埃的布朗運動模型促使了一對雙胞胎：連續時間的隨機過程數學與連續時間的期權定價的金融工程學的誕生.數學工具的引入主要是為進行金融風險的管理，而要對風險進行科學有效的管理就需要對衍生工具進行科學的定價。此后不久，默頓用另一種嚴格的數學方法推導了該定價公式，并予以推廣。期權定價公式給金融交易者及銀行家在金融衍生資產品的交易中帶來了空前的便利，期權交易的快速發展很快就成了世界金融市場的主要內容。布萊克，休斯，莫頓的這一理論成為近代金融經濟學的里程碑人物，直到現在也仍然是現代金融理論探索的重要源泉。
三、金融數學的理論方法
金融數學作為一門邊緣學科，應用大量的數學理論和方法研究，解決金融中一些重大理論問題，實際應用問題和一些金融創新的定價問題等，由于金融問題的復雜性，所用到的數學知識，除基礎知識外，大量的運用現代數學理論和方法（有的運用現 有的數學方法也解決不了）。主要有隨機分析，隨 機控制，數學規劃，微分對策，非線性分析，數理統計，泛函分析，鞅理論等，也有人在證券價格分析中引進了新型的非線性分析工具，如分形幾何，混沌學，子波理論，模式識別等，在金融計算方法與仿真技術中也逐漸引入神經網絡方法，人工智能方法，模擬退火法和遺傳算法等。
金融數學是利用近現代數學的優秀成果來度量和刻畫金融、經濟、管理等問題的“高科技”工具，其主要的基本理論表現在三個方面。
篇5
在客觀世界紛繁蕪雜的各種變化與現象中，時刻貫穿、孕育著各種各樣的美。美是雜亂中的秩序，是變化中的規律。美是客觀世界的本質屬性，是引領整個客觀世界向前發展的內在動力。數學美作為科學美的重要方面，就是對自然界中客觀存在的秩序與規律從數與形的角度給予反映和揭示。具體來說，對于美的存在性，我們可以從兩個方面來認識與考察。
首先，客觀世界中處處滲透與體現著數學美，數學美是對客觀世界內在規律的反映。對于數學美與客觀世界之間的相互聯系，其實早在古希臘時期，畢達哥拉斯學派就開始著手研究。畢氏學派在研究音樂樂理的諧音與天體運行的軌道時，發現二者在數量關系上都滿足整數比，從而就此得出結論“宇宙間萬物的總規律，其本質就是數的嚴整性和和諧性”，“美是和諧與比例”。在這樣的認識基礎上，畢氏學派試圖從數和數的比例中求得美和美的形式，并終于從五角星形中發現了“黃金分割”，進而得到黃金比。這是數學美學認識史上的一大突破。從古希臘到現在，黃金比在各種造型藝術中都有著重要的美學價值。現代科學研究甚至表明，黃金比在現代最優化理論中也有著應用價值，如優選法中的0.618法。即使在現代醫學保健領域中，都可以處處感受到它的存在與神奇。最令人驚奇的是，很多生物的形體比例也是等于黃金比。難道它們都懂得優選法，自覺采用黃金比？不！這只能證明美學家的斷言：“美是一切事物生存和發展的本質特征。”
其次，溯源于客觀世界的數學理論內部也充滿著數學美。這種美本質上間接地表征了客觀世界的固有規律。徐利治教授曾說過：“作為科學語言的數學、具有一般語言文學與藝術所共有的美的特點，即數學在其內容結構和方法上也都具有自身的某種美……如數學概念的簡單性、統一性，結構系統的協調性、對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性和普遍性，還有數學中的奇異美等。”古代哲學家、數學家普洛克拉斯甚至斷言：“哪里有數，哪里就有美。”的確，數學中美的例子可謂俯拾即是。例如，皮亞諾算術公理系統，就是邏輯結構簡單美的典范；希爾伯特以非構造方法成功解決了代數不變量理論中的戈丹問題，體現數學方法的簡單美；代數中的共扼根式、共扼復數、對稱多項式、對稱矩陣等。幾何中的軸對稱、中心對稱、鏡面對稱等，都表現了數學中的對稱美；運算、變換、函數，這三個分別隸屬代數、幾何、分析等不同數學分支的重要概念。在集合論建立之后，便可以統一于映射的概念，這體現了數學中的統一美……。近代科學家開普勒更是一針見血地指出：“數學是這個世界之美的原型。”言簡意賅、意蘊深遠的一句話，給人以深刻的思想啟迪。
2數學美的獨特性——內隱而深邃的理智美與理性精神
英國著名哲學家、數學家羅素曾經這樣描述過數學的美：“數學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美、這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完滿的境地。”羅素的這番精彩論述以“冷而嚴肅”“純凈”“崇高”“嚴格”“完滿的境地”等字眼來形容數學的美，辭藻華麗且思想深刻，將數學美的與眾不同淋漓盡致地展現在人們面前，再進一步看，正如前面所論述的數學美的本質包含了兩個側面（主觀意義和客觀意義）。因此，從主觀與客觀及其相互聯系統一的角度來研究數學美的獨特性，必然會有助于我們更好地去理解與認識數學美的內在本質。
第一，數學的美是內在的美、隱蔽的美、深邃的美，美在數學思想內部，數學美是客觀規律的反映，但這種反映不是像照鏡子那樣直接反映，而是人的能動反映，是自然社會化的結果，是人的本質力量對象化的結果。它所反映的不單純是客觀事物，而是融合了人的思維創造。因此，要領悟數學美必須透過，“抽象、枯燥”的符號、公式及定理等洞察其內部的數學思想：比如愛因斯坦創立的相對論可謂內容豐富之極，但如果用式子表示的話，卻極其簡單：
E=mc[2],P=mv(E為能量，P為動量，m為質量，c為真空中的光速）并非所有人都能意識到其中的美。其實，這兩個公式代表了愛因斯坦對人類貢獻的精華，它們深刻地揭示了微觀、宏面、宇觀的無數質能變化現象的規律，但式子卻非常簡單。其用字之少，內容之豐富，充分體現了數學的簡單美。再比如，數學家們把等式
e[πi]+1=0
視為最優美的公式，美在哪里？其實，這個式子將算術中的"1""0"，代數中的"i"，幾何中的“π”，分析中的"e"神奇地統一在了一起，即它們相會于天橋：e[iθ]=cosθ+isinθ（在該式中令θ=π就可得到上式），它溝通了三角函數與指數函數之間的內在聯系，充分體現了數學的統一美。
第二，從價值追求的角度看，數學美實質上體現了人的審美精神，這種精神說到底是一種理性的精神，恰恰是這種精神，“使得人類的思想得以運用到非常完善至美的程度”，即“完滿的境地”；正是這種精神，“從一定程度上影響人類的物質、道德和社會生活，以試圖回答有關人類自身提出的一些問題”；正是這種精神，“使得人們能盡可能地去理解、了解、控制自然，掌握客觀世界的規律”；正是這種精神，“使人們有可能去探求和確立已經獲得的知識的最深刻的、最完美的學科內涵”，并使之“純凈到崇高的地步”。這是筆者從羅素的論述中感悟到的數學美的精神層面的獨特內涵。
3數學美的驅動性——個人創新與數學發展的內部動力
對于數學美的追求歷來是科學家進行發現與創新的重要內部驅動力。阿達瑪與彭加勒都曾從心理學角度闡釋美與發明創造之間的關系。他們認為，創造的本質就是做出選擇，就是要拋棄不合適的方案，保留合適的方案，而支配這種選擇的正是科學美感。正如阿達瑪所說的：“科學美感，這種特殊的美感，是我們必須信任的向導，”因為，“唯有美感能預示將來的研究結果是否會富有成果。”數學史的研究表明，希臘幾何學家之所以研究橢圓，可以說除了美感之外，再沒有什么其他動力了。著名物理學家麥克斯韋在沒有任何實驗依據的情況之下，僅從數學美的考慮出發，將實驗得出的電磁理論方程重新改寫，以求得方程形式上的對稱優美。令人驚異的是，改寫的方程競被后來的實驗證實了，而且利用方程還可推導出一系列令人陶醉的結果，電磁理論決定性的一步就這樣跨出了。這不能不讓人相信美的確具有如此巨大的推動力與支配力。誠如愛因斯坦所言：“照亮我的道路，并且不斷地給我新的勇氣去愉快地正視生活的理想，是善、美和真。”事實上，愛因斯坦所提出的科學思想，有很多是出于美學而不是邏輯的考慮。他對實驗和理論不相符的憂慮，甚至遠遠不及對基本原理的不簡潔、不和諧所引起的憂慮，而這正是刺激他的思想的源泉。
從廣泛的意義上看，對數學美的追求也在不斷推動整個數學向前發展，數學發展的歷史不啻是一部追求數學美的前進史。比如，在數學發展的歷史長河中，數學家們堅持不懈地追求數學的統一性，從而相繼誕生出三部數學巨著：歐幾里德的《幾何原本》，羅素與懷德海合著的《數學原理》，布爾巴基學派的《數學原本》。再如，出于邏輯簡單性的考慮，數學家們很早就對歐氏平行公理的自明性和獨立性產生懷疑，經過幾個世紀的研究，最終導致非歐幾何的建立。此外，對于奇異性的追求也同樣推動了數學發展，對此，哥德爾不完備定理的提出可以說是一個極好的例子，紐曼和耐格爾曾把這一定理稱為“數學與邏輯學發展史中的里程碑”。著名物理學家惠勒則更認為：“即使到了公元5000年，如果宇宙仍然存在，知識也仍然放射出光芒的話，人們就將仍把哥德爾的工作……看成一切知識的中心。”
綜上所述，無論是對個人的創新，還是對數學科學的整體發展，數學美的推動作用都是毋庸質疑的。從本質上說，對于統一性、簡單性、奇異性的追求過程就是個人與群體認識不斷深化和發展的過程。正如鄭額信教授所說：“無論是對于統一性、簡單性、奇異性或抽象性的追求，事實上都體現了數學家的這樣一種特性：他們永不滿足于已取得的成果，而總是希望能獲得更深刻、更全面、更正確的認識。因此，他們總是希望能將復雜的東西予以簡單化，將分散、零亂的東西予以統一，也總是希望能開拓新的研究領域……正是在這樣的過程中，數學家們感受到了數學的美，而這事實上也就是認識不斷得到發展和深化的過程。”
4數學美的甄別性——評價數學理論的重要標準之一
古往今來的很多數學家、科學家都將數學美視作衡量自己或他人研究成果的重要評價尺度之一。數學美猶如一個篩子，數學家們利用這個篩子對理論中的各種因素做總體上的甄別與評判，剔除丑陋保留美好，力圖最終獲得“美”與“真”的完美統一。著名數學家馮·諾伊曼就曾說過：“我認為數學家無論是選擇題材還是判斷成功的標準，主要都是美學的。”龐卡萊則更明確地說：“數學家們非常重視他們的方法和理論是否優美，這并非華而不實的作風……一個解答、一個證明的和諧、對稱以及恰到好處的平衡……能使我們對整體以及細節都能有清楚的認識和理解，這正是產生偉大成果的地方。”
數學家與科學家們之所以如此看重數學美，就是因為數學美的甄別性在一定程度上為該理論的發展前景作出了預測，同時也在一定程度上為科學家們的工作指明了方向。如眾所知，概率論的產生始于17世紀，在當時，由于人們對概率概念所存有的不同理解，所以建立的理論體系也不完全一樣。在這些理論體系中，最迷人的是前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫建立在公理集合論上的測度論的概率論。以數學美的標準來評價，柯氏的理論體系，無疑極大地顯示了數學的簡單美與統一美，不僅對論述無限隨機實驗序列或一般的隨機過程給出了足夠的邏輯基礎，而且應用于統計學也很方便。歷史的發展充分地證明了，在這些理論中，惟有柯氏的概率論不斷得到進一步發展，而且后來還產生了不少新的分支。正如Nobel物理學獎獲得者狄拉克所言：“一種理論如果是正確的，它就應該是美的，一種美的理論有普適性，它有能力預言、解釋、提供范例，可用它來進行工作，因而數學美能激起人們的熱情，對它的追求就好像是一種信仰行為……數學美是對理論具有決定取舍作用的一個準則。”
5數學美的層次性——主觀客觀彼此交融的重要特征之一
