引論：我們?yōu)槟砹?3篇三角函數(shù)變換規(guī)律范文，供您借鑒以豐富您的創(chuàng)作。它們是您寫作時(shí)的寶貴資源，期望它們能夠激發(fā)您的創(chuàng)作靈感，讓您的文章更具深度。

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一、把握公式規(guī)律，巧記公式

對三角公式的準(zhǔn)確、熟練記憶是進(jìn)行三角變換的前提，但是三角公式繁多：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（8個(gè)）、誘導(dǎo)公式（36個(gè)）、兩角和與差的三角函數(shù)公式（6個(gè)）、二倍角公式（5個(gè)），再加上各組公式的變形，總共有60多個(gè)公式。如何才能保證記憶時(shí)不出現(xiàn)錯(cuò)誤呢？這就要求學(xué)生在記憶時(shí)不要死記硬背，而是要把握其中的規(guī)律，巧記公式。下面，介紹各組公式的記憶方法。

1. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

這組公式常稱“三類八式”，即這八個(gè)公式分為三大類：平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系和倒數(shù)關(guān)系。八個(gè)公式可畫一個(gè)六邊形來記憶。

記法：①在最長對角線上的兩個(gè)三角函數(shù)的乘積為1。如：tanα?cotα=1；②在3個(gè)倒三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方（中心點(diǎn)為1）。如：tan2α+1=sec2α；③任意一頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值等于與之相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的三角函數(shù)值的乘積。如：sinα=tanα?cosα.

2. 誘導(dǎo)公式

誘導(dǎo)公式看似很多，其實(shí)可以概括為一句口訣：“奇變偶不變，符號看象限”。誘導(dǎo)公式左邊的角可統(tǒng)一寫成k?±α(k∈Z)的形式，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，等號右邊的三角函數(shù)名稱與左邊的三角函數(shù)名稱正余互變，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，等號右邊的三角函數(shù)名稱與左邊一樣；而公式右邊的三角函數(shù)之前的符號，則把α當(dāng)做銳角，k?±α為第幾象限，以及左邊的三角函數(shù)之前的符號即為公式右邊的符號。

3. 兩角和與差的三角函數(shù)公式

這6個(gè)公式可分為三組，故可分為三組來記憶。每一組的特征都很明顯：兩角和（差）的余弦：余余、正正、符號異；兩角和（差）的正弦：正余、余正、符號同；兩角和（差）的正切：分子同，分母異。

4. 二倍角公式

其實(shí)，二倍角公式是兩角和的三角函數(shù)公式當(dāng)兩角相等時(shí)的特殊情況。把握住這點(diǎn)，記住兩角和的三角函數(shù)公式，二倍角公式自然就記住了。有規(guī)律有方法地巧記公式，有事半功倍的效果。

二、總結(jié)題型規(guī)律，活用公式

記 住了三角公式，如果不了解三角變換的提醒規(guī)律，也很難去用公式解題。三角變換題目雖然很多，但是也是有規(guī)律可循的，大致可以分為以下幾類。

1. 角的變換

進(jìn)行角的變換常用的公式有誘導(dǎo)公式、兩角和（差）公式和二倍角公式。因此，題目當(dāng)中需要化角時(shí)就要想到用這些公式，而不是往別的公式上去套。例1：已知α、β為銳角，且sinα=，cos(α+β)=-，求sinβ的值。解析：此題就需要用到角的變換β=(α+β)-α，然后兩邊取正弦，右邊用兩角差的正弦公式展開即可。

2. 函數(shù)名稱的變換

一般是切割化弦或弦化切割，常用公式為同角三角關(guān)系式中的倒數(shù)關(guān)系式和商數(shù)關(guān)系式。例2：已知tanα=3，求的值。解析：已知正切的值，求關(guān)于正余弦的值，很顯然只能采用公式tanα=。

3. 常數(shù)變換

在三角變換中，有時(shí)需要將常數(shù)化為三角函數(shù)值，比較常見的是“1的變換”，常見的變形有1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=cot2α-

sos2α。例3: 若2k?仔-≤α≤2k?仔+(k∈Z)，則+的化簡結(jié)果為( )。解析：巧用常數(shù)1的變換：1=sin2α+cos2α，則1-2sinαcosα= sin2α+cos2α-2sinαcosα=(sinα-cosα)2，同理，1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2，再結(jié)合角的范圍開方即可。

4. 冪的變換

降冪是三角函數(shù)變換時(shí)常用的方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)公式一般采用降冪處理方法，常用的降冪公式有：二倍角公式的逆用和同角三角函數(shù)平方關(guān)系式，降冪并非絕對，有時(shí)需要升冪，如對無理式常用升冪處理變成有理式。例4：化簡cos8x-sin8x+ sin2x?sin4x。解析：本題中三角函數(shù)的次數(shù)較高，需要從降冪入手進(jìn)行化簡，先后用到平方差公式，二倍角公式和sin2α+cos2α =1。

總之，三角變換題目比較靈活，其解法也千變?nèi)f化，沒有固定的、唯一的解法。所以，在解題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)確定解題方法和變換技巧，再選擇有關(guān)公式，千萬不能對公式生搬硬套。如果在學(xué)習(xí)過程中多歸納、多總結(jié)，注意分析題目的結(jié)構(gòu)及發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，則可以結(jié)合所學(xué)的知識迎刃而解了。

參考文獻(xiàn)：

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掌握三角函數(shù)的基本公式是最重要的，同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中，由于隨著學(xué)習(xí)的深入，前面的公式掌握得不夠牢靠，導(dǎo)致了后邊的學(xué)習(xí)跟不上，這就是由于三角函數(shù)最基礎(chǔ)的公式掌握不夠造成的.如何彌補(bǔ)這個(gè)缺陷，最重要的還是要牢記公式，沒有別的辦法，只有熟記公式，才能在以后的深入學(xué)習(xí)中不至于被動.

倍角公式、半角公式、和差化積公式以及積化和差公式，是需要花時(shí)間和精力去掌握的，并且要經(jīng)常練習(xí)，才可以達(dá)到運(yùn)用比較熟練的地步.

二、掌握基本的解題規(guī)律

三角函數(shù)的題目有其基本的解題思路和過程，要掌握這些基本的方法，在高考中，三角函數(shù)的題目也無非就是這些內(nèi)容，不會偏離了這些基本的解題思路.對于題目，首先應(yīng)該觀察題目的基本敘述，了解清楚后，看適合于哪類三角函數(shù)的公式進(jìn)行解題，在解題過程中，對于自己運(yùn)用公式的熟悉程度是一種考驗(yàn)，一般是運(yùn)用基本公式，將未知角變換為已知角求解；在最值問題和周期問題中，解題思路是合理運(yùn)用基本公式將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為由一個(gè)三角函數(shù)表達(dá)的形式求解.

對于常用的解題方法要熟練掌握，如數(shù)形結(jié)合法、代入檢驗(yàn)法、特殊值法、待定系數(shù)法、排除法等.通過對這些方法的研究，使得學(xué)生不僅掌握這些方法，而且能夠舉一反三，同時(shí)，在應(yīng)用這些方法應(yīng)用時(shí)，可以做到綜合的運(yùn)用，而不是單一的、片面的掌握.

舉例來說，學(xué)習(xí)某個(gè)函數(shù)肯定是先學(xué)習(xí)定義，而定義一般是用函數(shù)式來定義的，并且定義式中的參數(shù)一般會有一定的限制，如一次函數(shù)y=ax+b，a不為0.定義域優(yōu)先應(yīng)該說所有的老師都明白，但是應(yīng)用的時(shí)候就可能會忘記.事實(shí)上在方程與不等式的研究中也應(yīng)該有“定義域”優(yōu)先的原則，缺少了定義域就不是完整的函數(shù)的定義了.而函數(shù)的值域是由解析式與定義域唯一確定的，所以一般不寫，但它是研究的重點(diǎn)，研究的方法也非常多，并且不同的函數(shù)研究的方法不一樣.

三、比較法的學(xué)習(xí)

通過對函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、周期性、圖像變換等的理解和掌握，把握三角函數(shù)的這些基本性質(zhì)，與其他函數(shù)進(jìn)行比較，以達(dá)到比較法的學(xué)習(xí).函數(shù)的概念、性質(zhì)的相同、相似點(diǎn)以及它們之間的差異會給學(xué)生在學(xué)習(xí)中留下較深的印象.通過比較法的學(xué)習(xí)，會加深對三角函數(shù)的理解和應(yīng)用.

三角函數(shù)具有自身的特點(diǎn)，要從兩個(gè)方面加以注意：一是三角函數(shù)的圖像及性質(zhì).函數(shù)圖像是函數(shù)的一種直觀表示方法，它能形象地反映函數(shù)的各類基本性質(zhì)，因此對三個(gè)基本三角函數(shù)的圖像要掌握，它能幫助你記憶三角函數(shù)的性質(zhì).此外還要弄清y=Asin（ωx+φ）的圖像與y=sinx圖像的關(guān)系，掌握“A”“ω”“φ”的確切含義.對于三角函數(shù)的性質(zhì)，要緊扣定義，從定義出發(fā)，導(dǎo)出各三角函數(shù)的定義域、值域、符號、最值、單調(diào)區(qū)間、周期性及奇偶性等.二是三角函數(shù)式的變換.三角函數(shù)式的變換涉及的公式較多，掌握這些公式要做到如下幾點(diǎn)：一要把握各自的結(jié)構(gòu)特征，由特征促記憶，由特征促聯(lián)想，由特征促應(yīng)用；二要從這些公式的導(dǎo)出過程抓內(nèi)在聯(lián)系，抓變化規(guī)律，這樣才能在選擇公式時(shí)靈活準(zhǔn)確.同時(shí)還要善于觀察三角函數(shù)式在代數(shù)結(jié)構(gòu)、函數(shù)名稱、角的形式等三個(gè)方面的差異，根據(jù)差異選擇公式，根據(jù)差異確定變換方向和變換方法.

四、有條理的歸納總結(jié)

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一、知識性錯(cuò)誤

數(shù)學(xué)中的知識性錯(cuò)誤是指由于對有關(guān)所學(xué)的概念理解不清，對概念、性質(zhì)混淆不清等，從而導(dǎo)致的錯(cuò)誤.

（一）概念理解不清

致錯(cuò)分析 以上錯(cuò)解的原因是沒有考慮函數(shù)的定義域，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)閤≠kπ+ π 2 ，k∈ Z .

二、邏輯性錯(cuò)誤

由于我們認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不完善，所以在數(shù)學(xué)解題中就很容易出現(xiàn)邏輯性的錯(cuò)誤.邏輯性錯(cuò)誤指的是我們在解題的過程中由于違背了邏輯思維的規(guī)律而產(chǎn)生的錯(cuò)誤.邏輯思維的規(guī)律，即邏輯規(guī)律一般指的是同一律、矛盾律、排中律和充分理由律.常見的邏輯性錯(cuò)誤的類別一般為循環(huán)論證、偷換概念、虛假理由、分類不當(dāng)和不等價(jià)變換這五種.在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，一般會出現(xiàn)的邏輯性錯(cuò)誤有分類不當(dāng)、循環(huán)論證和不等價(jià)變換這三種.

（一）循環(huán)論證

論題、論據(jù)和論證是構(gòu)成任何數(shù)學(xué)問題的三大要素，其中論題指的是為了真實(shí)性而需要的那個(gè)命題，論據(jù)指的是為了證明論題的真實(shí)性所需要依據(jù)的真命題，論證指的是聯(lián)系起了論題和論據(jù)的具體的推理形式.只有真實(shí)的論據(jù)才能論證出論題的真假，但是論據(jù)的真實(shí)性不能不依賴于論題的真實(shí).循環(huán)論證指的就是論據(jù)的真實(shí)性需要依賴論題的真實(shí)性的一種論證.

致錯(cuò)分析 上述解法看上去好像是正確的，其實(shí)已經(jīng)犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，錯(cuò)在沒有利用題設(shè)條件進(jìn)一步縮小α-β的范圍，產(chǎn)生了增根.

事實(shí)上，同理可得：.

（二）不等價(jià)變換

不等價(jià)變換是屬于邏輯錯(cuò)誤中的違反同一律原則的錯(cuò)誤.在解題過程中，對命題進(jìn)行不等價(jià)的變換，常常會出現(xiàn)解集的縮小或者是擴(kuò)大.

三、策略性錯(cuò)誤

在數(shù)學(xué)解題過程中的策略性錯(cuò)誤主要指的是在解題方向上有偏差.這樣的錯(cuò)誤往往會導(dǎo)致解題的思路受阻而無法完成解題過程，或者解題思路過于曲折而即使做對了也非常費(fèi)時(shí)費(fèi)力.

（一）不善于正難則反

我們在解題的過程中一般都會習(xí)慣于從正面去思考問題，而并不去做反面的思考.但是有時(shí)候從正面來解決一個(gè)問題是非常艱難或者復(fù)雜的，甚至常常會容易出錯(cuò).這就要求我們在解題的時(shí)候要靈活運(yùn)用方法，當(dāng)正面解題比較艱難的時(shí)候可以從反面進(jìn)行思考.

例5 函數(shù)y=- 1 2 cos2x-2asinx+a2+a+ 1 2 的最小值是3，求a的值.

錯(cuò)解 將原函數(shù)變形為：y=sin2x-2asinx+a2+a，令sinx=t，則y=（t-a）2+a，當(dāng)t=a時(shí)，ymin=a，a=3.

致錯(cuò)分析 三角函數(shù)中通過換元便隱去了三角函數(shù)的特性，三角函數(shù)的定義域和值域的有界性常常被忽略，例子 中-1≤sinx≤1，即-1≤t≤1，當(dāng)a=3時(shí)，t=3，即sinx =3顯然不符合題意.事實(shí)上，換元后，問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=f（t）=（t-a）2+a在閉區(qū)間[-1，1]上的最小值問題.

正解 （1）當(dāng)a

（2）當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，由ymin=f（a）=3，得a=3，不符合題意，舍去；

（3）當(dāng)a>1時(shí)，由ymin=f（1）=3，得a=2.

綜合（1）、（2）、（3）得：a= -3- 17 2 或a=2.

（二）審題出現(xiàn)主觀臆斷

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三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)新課程中的重要內(nèi)容，在這些內(nèi)容中強(qiáng)調(diào)了三角函數(shù)作為函數(shù)的作用，強(qiáng)調(diào)了三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的基本模型等，這是數(shù)學(xué)課程發(fā)展中的一個(gè)變化.雖然高中數(shù)學(xué)新課程已對一些內(nèi)容降低了要求，但很多學(xué)生同樣不適應(yīng)，不能很好地理解與掌握。高考試題中的三角函數(shù)題相對比較傳統(tǒng)，位置靠前，通常以簡單題形式出現(xiàn)。因此，在學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)過程中要特別注重三角知識的基礎(chǔ)性，突出三角函數(shù)的圖象及其變換、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等性質(zhì)，以及化簡、求值和最值等重點(diǎn)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生熟練記憶和應(yīng)用三角公式及其恒等變形，同時(shí)要注重三角知識的工具性.對此本人從幾個(gè)方面加以闡述，希望能夠幫助學(xué)生認(rèn)識“三角函數(shù)”在數(shù)學(xué)中的地位，能較為全面地把握“三角函數(shù)”知識脈絡(luò)，學(xué)好三角函數(shù)知識，提高綜合能力.

一、解決角的問題是學(xué)好三角函數(shù)的前提

（一）解決好特殊角的三角函數(shù)值的求法

在初中，學(xué)生對0°～90°之間的特殊角（30°、45°、60°）的三角函數(shù)值已了如指掌，但到了高中，隨著角度的擴(kuò)展，求與特殊角有關(guān)的角的三角函數(shù)值也隨之增多，如對120°、135°、330°、―30°等角的三角函數(shù)值的求法開始出現(xiàn)了混亂。如何解決這一問題呢？通過學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式，學(xué)生明白了求這一類角的三角函數(shù)值，看似眾多，其實(shí)都與0°、30°、45°、60°、90°的三角函數(shù)值有關(guān)，且只有符號的異同。因此幫助學(xué)生弄清誘導(dǎo)公式所概括的“奇變偶不變，符號看象限”這一規(guī)律，計(jì)算這一類角的三角函數(shù)值的問題也就迎刃而解。

（二）解決好角與角之間的關(guān)系

在三角函數(shù)中，如例1：已知，cos（α+β）=-■，sinα=■，求cosβ.

相當(dāng)多的學(xué)生直觀地把cos（α+β）化為cosα+cosβ-sinαsinβ用于計(jì)算，造成運(yùn)算煩瑣或無功而返。究其原因是缺乏整體思想，沒有注意到對角的關(guān)系進(jìn)行觀察、分析。事實(shí)上若清楚β=（α+β）-α，則問題迎刃而解。又如：

例2.已知cos（■-α）=■，■-α是第一象限角，求■的值.

本例的解法很多，學(xué)生若能發(fā)現(xiàn)（■-α）與（■+α）的關(guān)系及（■-α）與（■-2α）的關(guān)系，本例就好解了。因此在教學(xué)中，幫助學(xué)生樹立整體思想，引導(dǎo)學(xué)生注意觀察、分析、比較。（如：角與角之間的和差倍半關(guān)系，互補(bǔ)、互余關(guān)系等）總結(jié)基本的方法、規(guī)律，提高解決問題的能力。

（三）解決好隱含條件的問題

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)主要環(huán)節(jié)，它的一般過程是：問題條件知識方法結(jié)果，可見尋找問題條件是解題的第一步.可是在一些數(shù)學(xué)題中，它的某些條件較為隱蔽，需要經(jīng)過反復(fù)推敲，剖析題意.挖掘題設(shè)隱含條件，所謂隱含條件，是指題中若明若暗、含蓄不露的條件，它們常常巧妙地隱蔽在題設(shè)的背后，不易被人們所覺察，或者極易被人忽視，而直接制約整個(gè)解題過程，三角函數(shù)在許多方面如定義、公式、三角函數(shù)值，條件等式中都存在著隱含條件。在解三角函數(shù)題時(shí)，常因未能發(fā)掘其隱含條件造成一開始解題就無法進(jìn)行，或者解到某一個(gè)階段而陷入困境，或者造成解題失誤。

例3.設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，cos（A-C）+cosB=■，b2=ac，求B.

學(xué)生通過公式的變換及運(yùn)算得sin2B=■，sinB=■或sinB=-■（舍去），于是B=■或B=■.這樣的解法存在錯(cuò)誤，其實(shí)在條件中cos（A-C）+cosB=■隱含著cosB>0的條件，即B為銳角。或由b2=ac知b≤a或b≤c得B為銳角。所以引導(dǎo)學(xué)生多觀察條件，從中找出隱含條件，以免造成解題失誤。

二、熟記，靈活運(yùn)用公式是學(xué)好三角函數(shù)的基礎(chǔ)

（一）熟練掌握三角變換的公式

很多學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，因?yàn)槿呛瘮?shù)的公式太多，而造成混亂。其實(shí)公式之間也有一定的內(nèi)在聯(lián)系，比如誘導(dǎo)公式sin（■±α）（k∈z）中，只需把“α”看成銳角，畫出■的終邊表示在X軸正半軸、X軸負(fù)半軸、Y軸正半軸、Y軸負(fù)半軸中的哪一個(gè)，終邊在X軸上則函數(shù)名不變，終邊在Y軸函數(shù)名改變；終邊再按順時(shí)針還是逆時(shí)針轉(zhuǎn)一個(gè)銳角定象限，確定函數(shù)符號。掌握了誘導(dǎo)公式以后，就可以把任意角的三角函數(shù)化為0°～90°間角的三角函數(shù)。又如：以兩角和的余弦公式為基礎(chǔ)推導(dǎo)得出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，掌握這些公式的內(nèi)在聯(lián)系及推導(dǎo)的線索，能夠幫助我們理解和記憶這些公式；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式是進(jìn)行三角變換的重要基礎(chǔ)之一，它們在化簡三角函數(shù)式和證明三角恒等式等問題中要經(jīng)常用到，必須熟記，并能熟練運(yùn)用. 這也是學(xué)好本單元知識的關(guān)鍵.

（二）靈活運(yùn)用三角公式

熟練掌握三角變換的所有公式理解每個(gè)公式的意義，特征；熟悉三角變換常用的方法――化弦法、降冪法、角的變換法等；并能應(yīng)用這些方法進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡、證明；掌握三角變換公式在三角形中應(yīng)用的特點(diǎn)，并能結(jié)合三角形中的有關(guān)公式解決一些實(shí)際問題.

1.運(yùn)用化弦（切）法：

例5：已知tanα=■，求：f（α）=-2cos2α-■sin2α+2的值。

把-2cos2α-■sin2α+2除以1得■，化為■，再弦化切。本題就好解了。

2.運(yùn)用增減倍與升降冪法：在運(yùn)用公式化簡三角函數(shù)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體問題分析采用增倍還是減倍，升冪還是降冪。

例6：設(shè)函數(shù)f（x）=2sinxcos2■+cosxsinφ-sinx（0

解：f（x）=2sinx?■+cosxsinφ-sinx=sinx+sinxcos φ+cosxsinφ-sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ）

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=π處取最小值，所以sin（x+φ）=-1，由誘導(dǎo)公式知sinφ=1，因?yàn)?

例7：已知函數(shù)f（x）=sin2x+■sinxcosx+2cos2x，x∈R.求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；其中sinxcosx可轉(zhuǎn)化為sin2x，所以將sin2x、cos2x降冪同時(shí)把角轉(zhuǎn)化二倍角。

3.運(yùn)用輔助角及常用模式的轉(zhuǎn)換法。在三角函數(shù)中除了運(yùn)用課本內(nèi)的公式外，還利用類似輔助角公式asinθ+bcosθ=■sin（θ+φ）進(jìn)行解題。（這里輔助角φ所在象限由a、b的符號確定，φ角的值由tanφ=■確定。）而且在實(shí)際解題中，這一類問題大部分集中在sinα±cosα=■sin（α±■）和■sinα±cosα=2sin（α±■）和等常用模式的轉(zhuǎn)化。

如上例7函數(shù)化簡為：

篇5

一、三角函數(shù)的恒等變形

在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)過程中，恒等變形是教學(xué)難點(diǎn)，也是教學(xué)重點(diǎn)。教師在講解恒等變形時(shí)，要注重把握其教學(xué)要點(diǎn)，并明確三角函數(shù)恒等變形的應(yīng)用。首先應(yīng)該建構(gòu)三角函數(shù)恒等變形的知識網(wǎng)絡(luò)，確保學(xué)生明確三角函數(shù)的求值類型。在三角函數(shù)求值中，不同類型的求值方式不同，教師應(yīng)該注重把握不同類型求值方式的異同，如“給角求值”“給值求值”等。教師還要注重把握恒等變形在具體運(yùn)用過程中的注意事項(xiàng)，只有這樣才能讓學(xué)生真正學(xué)會三角函數(shù)的恒等變形。無論是簡化三角函數(shù)的角度，還是證明不同角度之間的關(guān)聯(lián)性，都應(yīng)該在教學(xué)過程中注重把握角度的差異與聯(lián)系，注重把握函數(shù)名稱間的變換和聯(lián)系，如升降冪，化切為弦等常用手段。

在這樣的三角函數(shù)恒等變形的教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)地分析題目，選擇三角函數(shù)恒等變形中最合適、最直接的方法。在這類型題目中，切化弦是比較直接的方式，通過切化弦，能夠?qū)?fù)雜的題目快速地轉(zhuǎn)化為簡單的題目，快速地進(jìn)行題目解析，更有利于學(xué)生理解與把握題目。可見，在教學(xué)過程中，教師要注重把握三角函數(shù)恒等變形的重點(diǎn)，特別是讓學(xué)生把握不同角度之間的關(guān)聯(lián)，注重不同角度的差異，幫助學(xué)生理解三角函數(shù)的恒等變形。

二、三角函數(shù)的圖象和形式

相比低年級數(shù)學(xué)，高中數(shù)學(xué)難度有所提升，教學(xué)側(cè)重點(diǎn)也發(fā)生了轉(zhuǎn)變。為了有效地幫助學(xué)生理解三角函數(shù)，教師要充分依托三角函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)不同角度的差異，將抽象的內(nèi)容形象化，通過數(shù)形轉(zhuǎn)化來提升教學(xué)的質(zhì)量，快速地幫助學(xué)生架構(gòu)起理解的橋梁，只有這樣才能真正幫助學(xué)生理解三角函數(shù)。

1.三角函數(shù)的區(qū)間

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，三角函數(shù)的區(qū)間是三角函數(shù)的重要性質(zhì)，是三角函數(shù)的重要內(nèi)容。在把握三角函數(shù)的區(qū)間時(shí)，要注重引導(dǎo)學(xué)生理解與把握三角函數(shù)的遞增或遞減區(qū)間，明確不同區(qū)間的單調(diào)性，把握不同區(qū)間的遞增方向，幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)遞增或遞減的性質(zhì)。不同三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是不同的，很多學(xué)生在理解與把握的過程中，難免會混淆，這就要求教師要注重運(yùn)用圖形的方式來幫助學(xué)生形象化地理解不同三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及區(qū)域。

2.三角函數(shù)的圖象變換

三角函數(shù)的圖象變換往往是基于y=sinx演變而來的，在此基礎(chǔ)上衍生出了很多多樣化的圖象。所以在教學(xué)過程中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生扎實(shí)地理解與把握y=sinx等基本函數(shù)的特點(diǎn)，找準(zhǔn)演變的規(guī)律，從而更好地了解三角函數(shù)。如在y=sinx的基礎(chǔ)上，演變出來的新圖象y=sin（ωx+φ），這是圖象在值域或區(qū)間上的變化，在圖象變化的過程中，往往存在兩種典型的途徑，不過這兩種不同的途徑在變化過程中方式不同，教師要引導(dǎo)學(xué)生注重把握其不同。

篇6

（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧長l及該弧所在的弓形面積.

（2）若扇形周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？

（3）若將該扇形的圓心放在坐標(biāo)原點(diǎn)，使角α的始邊與x軸重合，已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.

（4）若α=60°，求θ，使θ與α的終邊相同，且-720°≤θ

【思路點(diǎn)撥】 （1）可直接使用弧長公式計(jì)算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧長或半徑來表達(dá)出扇形的面積，弓形面積由扇形面積與三角形面積的差組成，然后確定其最大值.（3）利用三角函數(shù)的定義求解，注意對y的討論.（4）利用終邊相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.

【解析】 （1）α=60°=π13rad，R=30，l=|α|·R=π13×30=10πcm.

S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.

（2）由題意得l+2R=20，l=20-2R（0

S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.

當(dāng)且僅當(dāng)R=5時(shí)，S有最大值25（cm）2.

此時(shí)l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.

當(dāng)α=2rad時(shí)，扇形面積取最大值.

（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.

所以當(dāng)y=5時(shí)，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，

當(dāng)y=-5時(shí)，cosα=-614，tanα=1513.

（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到適合-720°≤θ

60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.

【歸納總結(jié)】 扇形的面積與弧長的計(jì)算在幾何中應(yīng)用較多，都可以用角度制與弧度制兩種方式給出，應(yīng)注意角度制與弧度制不能混用.合理利用圓心角所在的三角形，合理選擇參數(shù)，運(yùn)用函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想，解決扇形中的有關(guān)最值問題.利用定義法求三角函數(shù)值需要已知或設(shè)角α終邊上一異于原點(diǎn)的點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角.

【變式訓(xùn)練1】

（1）已知角α的終邊在直線y=-3x上，則10sinα+3×11cosα=.

（2）不借助計(jì)算器的情況下，證明：sin20°

考點(diǎn)二、三角函數(shù)的同角公式及誘導(dǎo)公式

【考點(diǎn)解讀】 求值題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能.題型多為選擇題或填空題.六組誘導(dǎo)公式可統(tǒng)一記為“奇變偶不變，符號看象限”.利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值時(shí)，先利用公式化任意角三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其原則：負(fù)化正、大化小、化到銳角為終了.切弦互化的技巧必須靈活掌握.

例2（1）設(shè)θ為第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，則sinθ+cosθ=.

（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同時(shí)成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由.

【思路點(diǎn)撥】 （1）利用兩角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再聯(lián)想平方關(guān)系式，解題突破口就是求解關(guān)于“sinθ，cosθ”的方程組.（2）要想求出α，β的值，必須知道α，β的某一個(gè)三角函數(shù)值，解決本題的關(guān)鍵是由兩個(gè)等式，消去α或β得出關(guān)于β或α的同名三角函數(shù)值.

【解析】 （1）tan（θ+π14）=112，tanθ=-113，

即3sinθ=-cosθ

sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.

sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.

（2）假設(shè)存在α，β使得等式成立，即有

sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①

3cos（-α）=-2cos（π+β）1②

由誘導(dǎo)公式得sinα=2sinβ1③

3cosα=2cosβ1④

③2+④2得

sin2α+3cos2α=2，cos2α=112，

又α∈（-π12，π12），α=π14或α=-π14，

將α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知符合.

將α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知不符合.

綜上可知，存在α=π14，β=π16滿足條件.

【歸納總結(jié)】 （1）對于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，其余二式的值可求.轉(zhuǎn)化的公式為（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）關(guān)于sinθ，cosθ的齊次式，往往化為關(guān)于tanθ的式子.已知角α的三角函數(shù)值求角α的一般步驟是：①由三角函數(shù)值的符號確定角α所在的象限；②據(jù)角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用終邊相同的角寫出角α的一般表達(dá)式.

【變式訓(xùn)練2】

若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.

考點(diǎn)三、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【考點(diǎn)解讀】 能畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象，理解這三種函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大值和最小值、對稱中心和對稱軸等），函數(shù)的單調(diào)性是相對于某一區(qū)間而言的，研究其單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行.

例3（1）求函數(shù)y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定義域；

（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及單調(diào)區(qū)間；

（3）求函數(shù)y=3cosx-3sinx的值域.

【思路點(diǎn)撥】 （1）求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式（組），常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解.（2）先化為：y=-3tan（x14-π16），再求單調(diào)區(qū)間.（3）先將原函數(shù)式進(jìn)行等價(jià)變形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自變量的取值變化.

【解析】 （1）要使函數(shù)有意義，則

2sinx-1>0

-tanx-1≥0

cos（x12+π18）≠0sinx>112

tanx≤-1

x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），

如圖利用單位圓得：

2kπ+π16

kπ+π12

x≠2kπ+3π14（k∈Z），

函數(shù)的定義域?yàn)椋簕x|2kπ+π12

（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），

T=π1|ω|=4π，y=3tan（π16-x14）的周期為4π.

由kπ-π12

3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內(nèi)單調(diào)遞增，

y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內(nèi)單調(diào)遞減.

（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），

|cos（x+π16）|≤1，該函數(shù)值域?yàn)閇-23，23].

【歸納總結(jié)】 （1）求三角函數(shù)的定義域，既要注意一般函數(shù)定義域的規(guī)律，又要注意三角函數(shù)的特性，如題中出現(xiàn)tanx，則一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函數(shù)的定義域通常使用三角函數(shù)線、三角函數(shù)圖象和數(shù)軸.（2）對于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ為常數(shù)），其周期T=π1|ω|，單調(diào)區(qū)間利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間.（3）將原函數(shù)式化為一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化為關(guān)于sinx（或cosx）的二次函數(shù)式，切忌忽視函數(shù)的定義域.

【變式訓(xùn)練3】

已知函數(shù)f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間.

考點(diǎn)四、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用【考點(diǎn)解讀】 該考點(diǎn)是高考的必考點(diǎn).理解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意義及其對函數(shù)圖象變化的影響.能根據(jù)所給三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定其中的參數(shù)，并能由一個(gè)三角函數(shù)的圖象通過平移變換、伸縮變換、振幅變換和對稱變換得到另一個(gè)三角函數(shù)的圖象.利用三角函數(shù)的解析式可研究三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象.會用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際的問題.

例4已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0

（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定x0的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由.

【思路點(diǎn)撥】 （1）根據(jù)題目給出的周期和對稱中心求得函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)圖象的平移和伸縮的變換規(guī)律逐步得到g（x）；（2）將等差數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為方程在指定區(qū)間內(nèi)是否有解的問題，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【解析】 （1）由函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的周期為π，ω>0，得ω=2，

又曲線y=f（x）的一個(gè)對稱中心為（π14，0），φ∈（0，π），

故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.

將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）后可得y=cosx的圖象，再將y=cosx的圖象向右平移π12個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）=sinx.

（2）當(dāng)x∈（π16，π14）時(shí)，112

所以sinx>cos2x>sinxcos2x，

問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）內(nèi)是否有解.

設(shè)G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），

則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.

因?yàn)閤∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）內(nèi)單調(diào)遞增，

又G（π16）=-1140，

且函數(shù)G（x）的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)G（x）在（π16，π14）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x0，

即存在唯一的x0∈（π16，π14）滿足題意.

【歸納總結(jié)】 探討三角函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)在于三角函數(shù)解析式的化簡與整理，熟練掌握三角恒等變換的有關(guān)公式，靈活運(yùn)用角之間的關(guān)系對角進(jìn)行變換，將解析式轉(zhuǎn)化為一角一函數(shù)的形式，然后通過換元法求解有關(guān)性質(zhì)即可.根據(jù)y=Asin（ωx+φ）+k的圖象求其解析式的問題，主要從A、k、ω及φ等四個(gè)方面來考慮.

【變式訓(xùn)練4】

（1）函數(shù)y=2sin（ωx+φ）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是.

（2）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，甲同學(xué)在圖中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同學(xué)在RtACH中解得AC=11cos72°，據(jù)此可得cos72°的值所在區(qū)間為.

考點(diǎn)五、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及簡單的三角恒等變換【考點(diǎn)解讀】 該考點(diǎn)是高考的必考點(diǎn).研究不同三角函數(shù)值之間的關(guān)系時(shí)，常以角為切入點(diǎn)，并以此為依據(jù)進(jìn)行公式的選擇，同時(shí)還要關(guān)注式子的結(jié)構(gòu)特征，通過對式子進(jìn)行恒等變形，使問題得到簡化.在進(jìn)行三角運(yùn)算時(shí)必知的幾個(gè)技巧：“1”的代換，正切化弦，異角化同角，異次化同次，變角，變名，變結(jié)構(gòu)等化簡技巧.

例5已知函數(shù)f（x）=2cos（x-π112），x∈R.

（1）求f（-π16）的值；

（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.

【思路點(diǎn)撥】 （1）直接代入，根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值得出結(jié)果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角變換公式求解.

【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）

=2cos（-π14）=2cosπ14=1；

（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）

=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，

因?yàn)閏osθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.

【歸納總結(jié)】 三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：（1）一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式；（3）三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向.公式的逆用，變形十分重要，常通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù).

【變式訓(xùn)練5】

31cos10°-11sin170°=.

【變式訓(xùn)練答案】

1.解析：（1）設(shè)α終邊上任一點(diǎn)為P（k，-3k）.則r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.

當(dāng)k>0時(shí)，r=10k，sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.

10sinα+3×11cosα=-310+310=0.

篇7

變形技巧是解決數(shù)學(xué)問題的重要基礎(chǔ)，這種變形能力的強(qiáng)弱直接關(guān)系到解題能力的發(fā)展。我們對式子變形實(shí)質(zhì)上是為了將式子轉(zhuǎn)化為可解決問題的某種形式，為下一步解決問題做準(zhǔn)備。變形屬于技能性的知識，其中存在著一定的技巧和方法，需要人們在學(xué)習(xí)和解題的實(shí)踐中反復(fù)提煉才能把握其技巧，以至在解題中靈活應(yīng)用。下面介紹基本不等式、三角函數(shù)變形中常用的變形技巧。

1、基本不等式的變形技巧

在高中數(shù)學(xué)中多應(yīng)用基本不等式來求函數(shù)的最值、值域等，在解題過程中對已知條件給出的式子靈活變形使基本不等式出現(xiàn)積（或和）為定值是解決問題的突破口。常用的方法為拆、添、配湊、代換，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。

（1）拆、添、配湊

在解決與不等式相關(guān)的問題中，拆、添、配湊有各自不同的方向和技巧但往往又是緊密相連的，拆、添常常為配湊做準(zhǔn)備。拆常數(shù)：將不等式中的某個(gè)常數(shù)進(jìn)行拆分成題中所需的常數(shù)。拆系數(shù)：將不等式中某些項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行拆分。拆常數(shù)或系數(shù)多為配方創(chuàng)造條件。拆項(xiàng)：將不等式中的某些項(xiàng)進(jìn)行拆分，為使用基本不等式創(chuàng)造條件。添倍數(shù)：不等式的左右兩邊添上倍數(shù)（注意符號），為配方創(chuàng)造條件。添式：在不等式的兩邊添上一個(gè)代數(shù)式，為使用基本不等式創(chuàng)造條件。

例1、x>3，求函數(shù) 的值域。

分析：添常數(shù)將 湊成含基本不等式結(jié)構(gòu)的式子

例2、已知 ，則 ，求函數(shù)最小值。

分析：本題已知函數(shù)式為分式看似無法使用基本不等式，對函數(shù)式進(jìn)行配湊變形再分離便可構(gòu)造出基本不等式。

，

技巧點(diǎn)評：在求分式型函數(shù)的最值中常用配湊的變形技巧，可按由高次項(xiàng)向低次項(xiàng)的順序逐步配湊。通過拆、添常數(shù)，逐步配湊基本不等式并分離出一個(gè)常數(shù)，這是分式函登籩滌虺S玫姆椒āT誚馓夤程中常常需要采用“拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)、配湊”等變形技巧找到定值，再利用基本不等式來求解，使得復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。

（2）常值代換

這種方法常用于如下兩類題型

①“已知ax+by=1（a、b、x、y均為正數(shù)），求1x+1y的最小值.”

②“已知ax+by=1（a、b、x、y均為正數(shù)），求x+y的最小值”

例3、若 且滿足 ，求x+y的最小值。

分析：結(jié)合問題和已知條件進(jìn)行“1”的代換 可將問題轉(zhuǎn)化為求含有基本不等式結(jié)構(gòu) ，接著可利用基本不等式求函數(shù)最值。

技巧點(diǎn)評：通過配湊“1”并進(jìn)行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式能巧妙地解決問題。利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，還需注意“一正、二定、三相等”，通過變形技巧找到定值，若和定則積最大，若積定則和最小。

2、三角函數(shù)的變形技巧

高中階段三角函數(shù)與初等代數(shù)、初等幾何緊密聯(lián)系，是初等函數(shù)的重要部分。解決三角函數(shù)求最值問題常常要對三角函數(shù)式進(jìn)行靈活的變形，而其變形主要有三個(gè)基本方向一是看角、二是看函數(shù)名稱、三是看結(jié)構(gòu)特征。除此之外，我們還常常結(jié)合代數(shù)的變形技巧和構(gòu)造法，為三角函數(shù)的變形創(chuàng)造一定的條件，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。

角的變換

在三角函數(shù)的求值、化簡與證明題中，函數(shù)式常常出現(xiàn)較多的不同的角，但這些角又有一定的聯(lián)系。解題過程中分析條件與結(jié)論中角的聯(lián)系，進(jìn)行三角函數(shù)變換 主要是“消除差異，化異為同”。根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互余、互補(bǔ)的關(guān)系，運(yùn)用角的變換能有效解決問題。

例4、已知 ，求證： 。

分析：可以考慮將條件中的角 和 配湊成求證結(jié)論中的角 ，即 ， ，再利用三角函數(shù)和差關(guān)系解決問題。

函數(shù)名稱的變換

題目中若出現(xiàn)不同名稱的三角函數(shù)，這就需根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式或誘導(dǎo)公式將異名的三角函數(shù)化為同名的三角函數(shù)，達(dá)到“消除差異，化異為同”的目的。函數(shù)名稱的變換中最常見的就是切割化弦。

例5 、已知 ，試用 表示 的值。

分析：將已知條件中“切化弦”將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的式子即 。

（3）常數(shù)的變換

在三角函數(shù)的、求值、證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，或?qū)⑷呛瘮?shù)轉(zhuǎn)化為常數(shù)，從而構(gòu)造所需的函數(shù)式。例如常數(shù)“1”的變換有： ， 以及一些特殊角三函數(shù)值等等。

例6、求函數(shù) 的最小正周期，最大值和最小值。

分析：由所給的式子 可聯(lián)想到

（4）冪的變換

對于一些次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪的方法處理，達(dá)到化簡的目的。而降冪并非絕對，有時(shí)也常需要對于無理式 用升冪處理化為有理式。

（5）公式的變形與逆用

高中教材中給出每一個(gè)三角函數(shù)公式的基本形式，但在解題的過程中往往要對基本公式變形后加以應(yīng)用，有時(shí)也需逆用公式。順公式較容易，而逆用公式較困難，因此要有逆用公式的意識和思維。這要求我們既要熟悉基本公式又要對其變通形式有所了解。

三角函數(shù)式的恒等變形是學(xué)習(xí)三角函數(shù)和其他數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ)。三角函數(shù)式的恒等變形常應(yīng)用于化簡三角函數(shù)式，求三角函數(shù)式的值，證明三角恒等式等。三角函數(shù)式恒等變形的理論依據(jù)是代數(shù)式恒等變形的一般方法和法則，與三角函數(shù)式的變形公式。變形中還需注意符號的變化，以及三角函數(shù)定義域和值域的范圍。

篇8

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》（以下簡稱《新課標(biāo)》）明確提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要讓學(xué)生記住一些數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、掌握一些數(shù)學(xué)的基本技能，而且要讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的思想，積累數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面我將結(jié)合高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)的主要題型，論述數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)換思想和分類與整合思想在解高考三角函數(shù)問題中的運(yùn)用.

一、數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，對不易解決的數(shù)學(xué)問題借助圖形來解決.華羅庚先生說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非。”對數(shù)形結(jié)合解題技能進(jìn)行了精辟論述.通過對三角函數(shù)整體章節(jié)內(nèi)容及普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）的分析發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)實(shí)際上是平面圖形知識和函數(shù)知識的有效結(jié)合.因此，學(xué)生在解決高考三角函數(shù)問題時(shí)，首先要樹立數(shù)形結(jié)合思想，將三角函數(shù)看成是平面圖形和代數(shù)的結(jié)合體，利用“數(shù)”的精確性和“形”的直觀性，進(jìn)行三角函數(shù)問題的有效解答.

在高考中，選擇題和填空題的特點(diǎn)（即只需寫出結(jié)果而無需寫出過程），為考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想提供了方便，能突出考查學(xué)生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的平面圖形的問題解決意識.而高考解答題要求寫出解答過程，需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，對數(shù)量關(guān)系問題的研究以代數(shù)為主，因此在高考解答題中對數(shù)形結(jié)合思想的考查以“形”到“數(shù)”為主.

例1：（2012浙江理科4）把函數(shù)y=cos2x+1的圖像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移一個(gè)單位長度，再向下平移一個(gè)單位長度，得到的圖像是（ ）

評定：本題是三角函數(shù)的圖像變換問題，首先需要回顧一下三角函數(shù)圖像變換的規(guī)律：（1）平移變換：①沿x軸平移，按“左加右減”法則；②沿軸平移，遵循“上加下減”法則.（2）伸縮變化：①沿x軸伸縮時(shí)，橫坐標(biāo)x伸長（01）或縮短（0

二、函數(shù)與方程思想

函數(shù)的思想是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)、集合與對應(yīng)的思想，分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題得以解決；方程思想是分析數(shù)學(xué)問題中的變量間的等量關(guān)系，從而建立方程或方程組或者構(gòu)造方程，通過解方程和方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)分析問題、轉(zhuǎn)化問題，使題得以解決.在高考試卷中，三角函數(shù)中的最值問題有時(shí)候可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.

三、等價(jià)轉(zhuǎn)換思想

通過某種變化和手段，變換問題的角度，使較難的三角問題變得容易解決；在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，要采用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將難解問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決問題轉(zhuǎn)化為已解決問題.三角函數(shù)涉及的公式多、變化多，運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想可以把復(fù)雜的含三角函數(shù)的式子轉(zhuǎn)化為簡單的式子.

點(diǎn)評：等價(jià)轉(zhuǎn)換思想是最重要的數(shù)學(xué)思想之一，本題就是利用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，結(jié)合正切函數(shù)的兩角和公式，將未解決問題（tan（α+β）的值）轉(zhuǎn)換為已解決問題（tanα+tanβ，tanα·β的值）.

四、分類與整合思想

解題時(shí)，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行了，因?yàn)檫@時(shí)被研究的問題包含多種情況，這就必須在條件所給出的總區(qū)域內(nèi)，正確劃分若干個(gè)子區(qū)域，然后分別在各個(gè)子區(qū)域內(nèi)進(jìn)行解題，當(dāng)分類解決完這個(gè)問題后，還必須進(jìn)行綜合歸納，因?yàn)槲覀冄芯康漠吘故沁@個(gè)問題的整體，這就是分類與整合的思想.有分有合，先分后合，不僅是用分類與整合的思想解決問題的主要過程，而且是這種思想方法的本質(zhì)屬性.近幾年，高考題對分類與整合的思想考查主要有：（1）有沒有分類意識，遇到該分類的問題，是否想到分類；（2）如何分類，分類的標(biāo)準(zhǔn)是否統(tǒng)一，分類有沒有不重不漏；（3）分類之后如何解題，各類的討論有沒有越級；（4）分類討論后，有沒有整合，以及如何整合.

近年來高考數(shù)學(xué)對數(shù)學(xué)思想方法的要求越來越高，這對高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的教學(xué)提出了新的要求.為使學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解高考三角函數(shù)問題，教師應(yīng)該在教學(xué)中注意以下幾點(diǎn)：（1）利用三角函數(shù)是平面圖形與函數(shù)的有效結(jié)合體，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想；（2）利用三角函數(shù)是特殊的函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)與方程的思想；（3）利用三角函數(shù)公式多、變換多的特性，培養(yǎng)學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想；（4）利用三角函數(shù)的豐富性，培養(yǎng)學(xué)生分類與整合的思想.對于一些復(fù)雜的三角函數(shù)問題，有時(shí)需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法才能解決.數(shù)學(xué)思想方法是解決一切數(shù)學(xué)問題的通法，數(shù)學(xué)教育的價(jià)值體現(xiàn)于數(shù)學(xué)的基本思想，數(shù)學(xué)文化的核心體現(xiàn)于數(shù)學(xué)的基本思想，學(xué)生一旦熟練地掌握了各種數(shù)學(xué)思想方法，就能以更廣的視角審視、理解和解答數(shù)學(xué)問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]倪雪華.從歷年高考題談三角函數(shù)的關(guān)注點(diǎn)[J].南通高等師范學(xué)校，2011.

[2]王冬巖.高中生對三角函數(shù)概念的理解[J].華東師范大學(xué)，2010.

[3]婁艷芳.從三角函數(shù)的歷史發(fā)展看高中生三角函數(shù)的學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育研究，2011（5）.

篇9

考點(diǎn)1．三角函數(shù)的求值與化簡

例1 已知cosα=17,cos(α－β)=1314,且0

(Ⅰ)求tan2α的值.（Ⅱ）求β.

解：（Ⅰ）由cosα=17,0

tanα=sinαcosα=43，于是tan2α=2tanα1－tan2α=2×431－(43)2=－8347

（Ⅱ）由0

又cos(α－β)=1314，sin(α－β)=1－cos2(α－β)=1－(1314)2=3314

由β=α－(α－β)得：cosβ=cos［α－(α－β)］=cosαcos(α－β)+sinαsin(α－β)

=17×1314+437×3314=12，所以β=π3.

突破方法技巧：三角函數(shù)的化簡、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)．即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如α=(α+β)－β=(α－β)+β，2α=(α+β)+(α－β)，α+β2=(α－β2)－(α2－β)等．第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通常“切化弦”；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．

考點(diǎn)2．解三角形：此類題目考查正弦定理，余弦定理，兩角和差的正余弦公式，同角三角函數(shù)間的關(guān)系式和誘導(dǎo)公式等基本知識，以考查基本的運(yùn)算為主要特征.解此類題目要注意綜合應(yīng)用上述知識.

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+23π)+2cos2x2,x∈R．（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，若f(B)=1，b=1,c=3，求a的值．

解：（Ⅰ）f(x)=cosxcos2π3－sinxsin2π3+cosx+1=－12cosx－32sinx+cosx+1

=12cosx－32sinx+1=sin(x+56π)+1，f(x)的值域?yàn)椋?,2］

（Ⅱ）由f(B)=1得sin(B+56π)+1=1即sin(B+56π)=0又因0

突破方法技巧：

(1)內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為π，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值均為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

(2)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：(i)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(ii)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R；(iii)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；②已知三角形兩邊一對角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.

(3)余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA,cosA=b2+c2－a22bc等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.

(4)面積公式：S=12aha=12absinC.

特別提醒：（1）求解三角形中的問題時(shí)，一定要注意A+B+C=π這個(gè)特殊性：A+B=π－C,sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2；（2）求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化．

考點(diǎn)3．求三角函數(shù)的定義域、值域或最值：此類題目主要有以下幾種題型：（1）考查運(yùn)用兩角和的正弦公式化簡三角函數(shù)式，以及利用三角函數(shù)的有界性來求值域的能力.（2）考查利用三角函數(shù)的性質(zhì), 誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識，考查運(yùn)算和推理能力.（3）考查利用三角函數(shù)的有界性來求最大值與最小值的能力.

例3 已知函數(shù)f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+π4)sin(x－π4)．

（1）當(dāng)m=0時(shí)，求f(x)在區(qū)間［π8,3π4］上的取值范圍；（2）當(dāng)tanα=2時(shí)，f(α)=35，求m的值．

解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=sin2x+sinxcosx

=12(sin2x－cos2x)+12=22sin(2x－π4)+12

又由x∈［π8,3π4］得2x－π4∈［0,5π4］，所以sin(2x－π4)∈［－22,1］，

從而f(x)=22sin(2x－π4)+12∈［0,1+22］.

（2）f(x)=sin2x+sinxcosx－m2cos2x=1－cos2x2+12sin2x－m2cos2x

=12［sin2x－(1+m)cos2x］+12

由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，

cos2α=cos2α－sin2αsin2α+cos2α=1－tan2α1+tan2α=－35，所以35=12［45+(1+m)35］+12，得m=－2．

突破方法技巧：

三角函數(shù)的最值主要有以下幾種類型：①形如y=Asin(ωx+φ)、y= asinx+bcosx的，充分利用其有界性去求最值；②形如y=sinx+cosx+sinxcosx的，換元去處理；③形如y= asinx+bsin2x的，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)去處理；④形如y= 2－cosx2－sinx 的，可采用反表示的方法，再利用三角函數(shù)的有界性去解決，也可轉(zhuǎn)化為斜率去通過數(shù)形結(jié)合解決．

考點(diǎn)4．三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：此類題目要求同學(xué)們在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上對三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用.會用數(shù)形結(jié)合的思想來解題.

例4 已知函數(shù)f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1(x∈R)（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間［0,π2］上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=65,x0∈［π4,π2］，求cos2x0的值．

解：由f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1，得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x－1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，f(x)的最小正周期為π

f(x)=2sin(2x+π6)在［0，π6］上單調(diào)遞增，在［π6，π2］上單調(diào)遞減，

又f(0)=1,f(π6)=2,f(π2)=－1，f(x)在［0,π2］上的最大值為2，最小值為-1.

（2）由（1）知f(x0)=2sin(x0+π6)，又f(x0)=65,sin(2x0+π6)=35，

由x0∈［π4,π2］，2x0+π6∈［2π3,7π6］從而cos(2x0+π6)=－1－sin2(2x0+π6)=－45

cos2x0=cos［(2x0+π6)－π6］=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3－4310

突破方法技巧：

研究復(fù)雜三角函數(shù)的性質(zhì)，一般是將這個(gè)復(fù)雜的三角函數(shù)化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，這是解決所有三角函數(shù)問題的基本思路.

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一、基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，注意轉(zhuǎn)換

由于數(shù)學(xué)知識的邏輯性強(qiáng)，缺乏趣味性，加之學(xué)生的注意力集中時(shí)間較短，如果單元復(fù)習(xí)知識按照課文的先后順序把所學(xué)過的知識（概念、法則、共識、定力、公理）原本地復(fù)述一遍，就會導(dǎo)致學(xué)生乏味，缺乏聯(lián)系，不便記憶，難以理解.針對這個(gè)問題，可以采取如下方法：首先列出文章的主要知識，然后適當(dāng)歸類排隊(duì)，給出知識聯(lián)系的框架結(jié)構(gòu)，再用數(shù)學(xué)編碼.如以下三角函數(shù)知識要點(diǎn)的梳理：三角函數(shù)基本概念，三角函數(shù)的恒等變形（化簡，求值，等式的證明），三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，三角變換基本解題方法：切割化弦，異名化同名，異角化同角，高次化低次，無理化有理.常用的技巧：升冪降冪法、輔助元素法，“1”的代換法、利用倍角公式建立2α與α、α與的關(guān)系、角的配湊等.對三角函數(shù)性質(zhì)的考查總是與三角變換相結(jié)合，一般解題規(guī)律是先對三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行三角變換，使之轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，再利用換元法轉(zhuǎn)化為對基本三角函數(shù)性質(zhì)的研究.易錯(cuò)點(diǎn)：要注意正切函數(shù)定義域的限制；在三角變形過程中要注意自變量取值范圍的變化，以防出現(xiàn)增根或失根；遇到參數(shù)或字母時(shí)，應(yīng)注意分情況進(jìn)行討論.然后，由主干知識點(diǎn)、基本方法回顧練習(xí).

二、例題講解，應(yīng)重視變化

是減函數(shù)的實(shí)際意義：隨著產(chǎn)量的增加，每艘船的利潤在減少.

2.在對例題進(jìn)行解答之后，應(yīng)注意例題的以點(diǎn)帶面功能，有意識地在例題的基礎(chǔ)之上進(jìn)一步引申擴(kuò)展，挖掘問題的內(nèi)涵和外延，指導(dǎo)學(xué)生對新問題的探討，以激發(fā)思維，啟迪智慧，開闊視野，讓學(xué)生通過對同一題目條件改變的比較，達(dá)到分析問題能力的升華，同時(shí)也可以培養(yǎng)學(xué)生對知識的遷移能力.把文字語言翻譯成數(shù)學(xué)符號語言，然后運(yùn)算.例如有關(guān)數(shù)列的問題.首先判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，確定首項(xiàng)、公差（比）、項(xiàng)數(shù)是什么，能分清，然后選用適當(dāng)方法求解.最后的程序是還原，即把數(shù)學(xué)問題的解客觀化，針對實(shí)際問題的約束條件合理修正，使其成為實(shí)際問題的解.

例如，在一直線上共插有13面小旗，相鄰兩面之距離為10m，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，應(yīng)集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是什么？

篇11

三角函數(shù)問題在我們實(shí)際生活中不是很常見，有些脫離我們的實(shí)際生活，但是它靈活多變，同學(xué)們感到難以應(yīng)對。近些年來，高考命題組越來越多地考查三角函數(shù)的抽象性、恒等變換，而這些考點(diǎn)都是我們不擅長的，也就導(dǎo)致了三角函數(shù)學(xué)習(xí)出現(xiàn)了很多問題。同學(xué)們在學(xué)習(xí)三角函數(shù)問題的過程中不應(yīng)有心理障礙，只要掌握一些基本的方法和策略，這樣許多問題都會迎刃而解。新課程標(biāo)準(zhǔn)下，三角函數(shù)作為基本初等函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)之一，在高考中，客觀題和主觀題均有所體現(xiàn)，并且以中低檔題目的考查為主，對同學(xué)們來說是很重要的得分點(diǎn)。

一、主要的學(xué)習(xí)問題

實(shí)行新課標(biāo)以來，三角函數(shù)的知識體系變化比較明顯，我們高中生要采用和初中不同的學(xué)習(xí)策略才能有效地應(yīng)對這一變化。在初中時(shí)期，我們接觸到的函數(shù)全部是一對一型的函數(shù)，而三角函數(shù)是我們上高中以來第一次接觸到的一對多型函數(shù)，它具有明顯的周期性，它代表著一類函數(shù)。三角函數(shù)與其他函數(shù)知識緊密相關(guān)，學(xué)好三角函數(shù)對其他知識的學(xué)習(xí)有著巨大的指導(dǎo)意義。

總體來說三角函數(shù)的難度還是不大的，它滲透著數(shù)形結(jié)合的思想，掌握了這一本質(zhì)特征，學(xué)好三角函數(shù)還是比較容易的。但是我們高中生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程當(dāng)中還是存在很多問題的。好多同學(xué)反映三角函數(shù)并非書中所述的那樣簡單，甚至陷入了學(xué)習(xí)三角函數(shù)的困境。因?yàn)槿呛瘮?shù)是我高中數(shù)學(xué)的起始環(huán)節(jié)，這種困境長期持續(xù)下去，會造成更為深層次的影響，會影響我們的學(xué)習(xí)動機(jī)和對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度。

（一）概念模糊

任何一個(gè)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)幾乎都是從概念開始的，可是很多同學(xué)并沒有理解三角函數(shù)的定義。直角三角形問題是三角函數(shù)問題的一部分，我們初中的時(shí)候就能輕松掌握。可是到了高中我們依然運(yùn)用初中的知識去解答此類問題，雖然得到了正確的答案，但是與學(xué)習(xí)的初衷相背離。這也就間接地導(dǎo)致了我們對三角函數(shù)的概念的理解出現(xiàn)嚴(yán)重的偏差，甚至有些含糊不清。

（二）用錯(cuò)公式

公式眾多，緊密聯(lián)系是三角函數(shù)最大的特點(diǎn)。三角函數(shù)知識中涉及的公式數(shù)量非常大，包括弧度數(shù)的絕對值公式，弧長公式，扇形面積公式，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式，需要掌握的總共 22 個(gè)。三角函數(shù)的公式不僅數(shù)量多，而且變換靈活，例如誘導(dǎo)公式中角的奇偶性變化、正負(fù)取值，兩角和與差公式中角的組合變化等，角發(fā)生變化取值就相應(yīng)改變，三角函數(shù)的公式就應(yīng)用了多種方式展現(xiàn)出來，這就讓同學(xué)們尋不到規(guī)律，不知道該用什么公式解題。

（三）數(shù)學(xué)思想理解不到位

簡單的三角函數(shù)蘊(yùn)含著多重的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等。同學(xué)們經(jīng)常大量的做題，而不去總結(jié)，許多數(shù)學(xué)思想根本體會不到。題做得再多，數(shù)學(xué)思想沒有學(xué)到，遇到相似的問題還是無從下手。三角函數(shù)知識體系較為抽象，各個(gè)函數(shù)間密切聯(lián)系、變換靈活，我們必須掌握公式的本質(zhì)特征、課下勤加練習(xí)才能靈活運(yùn)用。

三、簡單的應(yīng)對措施

（一）摒棄形式化

我們來到高中對知識的理解經(jīng)常以自己經(jīng)驗(yàn)加以判斷，缺乏理性思考，我們的水平不高，對抽象的三角函數(shù)只是記住了形式，造成了生搬硬套、死記硬背的尷尬局面。我們應(yīng)將公式和圖像相結(jié)合的學(xué)習(xí)，注重?cái)?shù)學(xué)結(jié)合的思想。學(xué)會單位圓的應(yīng)用，運(yùn)用它掌握三角函數(shù)的定義；例如，正弦函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們學(xué)會借助圖像巧妙的掌握，能畫出 y = sinx的圖象，通過圖像觀察其周期性；借助圖象理解正弦函數(shù)在[0，2π]的性質(zhì)等，如單調(diào)性、奇偶性等

（二）形成有效的學(xué)習(xí)方法

我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)效率低，速度慢大部分原因是方法不恰當(dāng)，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)也是一樣的，我們很多高中生對待三角函數(shù)不夠重視，更別提方法了。三角函數(shù)各個(gè)知識點(diǎn)聯(lián)系非常密切，可是大多數(shù)同學(xué)只是孤立的學(xué)習(xí)，不懂得把知識點(diǎn)串聯(lián)起來，這就無法形成體系，只是混亂，不能融會貫通。所以，學(xué)習(xí)過程中，我們要懂得將知識作對比，善于復(fù)習(xí)，找到學(xué)習(xí)三角函數(shù)的有效途徑。

（三）訓(xùn)練基本的數(shù)學(xué)技能

解決好三角函數(shù)的問題，化簡很重要。它是做題的第一步，而且是最為關(guān)鍵的一步。許多同學(xué)做不出三角函數(shù)的題目，就在化簡的過程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，所以同學(xué)們要在課下訓(xùn)練化簡、運(yùn)算等基本技能。

三、結(jié)語

總而言之，發(fā)現(xiàn)自己學(xué)習(xí)三角函數(shù)的問題，結(jié)合自身的特點(diǎn)，制定相應(yīng)的學(xué)習(xí)策略，靈活應(yīng)對，學(xué)好三角函數(shù)還是較容易的。

[參考文獻(xiàn)]

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二、口訣解釋法

在講解三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的時(shí)候，九組三十六個(gè)誘導(dǎo)公式單獨(dú)的記憶就有一定的難度.那么我們歸納分析后可以看出，凡是誘導(dǎo)公式中括號里前面的定角（如π，2π或π[]2，3π[]2之類的角）所落在坐標(biāo)軸的位置不同，等號后面的三角函數(shù)與等號前面的三角函數(shù)的名稱有的相同，如sin（π+A）=-sinA，有的不同，如tan3π[]2-A=cotA.那么有何規(guī)律呢？而等號后面的正負(fù)符號也不盡相同.這又有何規(guī)律呢？通過觀察、歸納，我們可以簡單的用兩句話、十個(gè)字來佐以記憶.這就是“縱變橫不變，正負(fù)看象限”.那么，這十個(gè)字、兩句話怎么理解就顯得尤為重要了.首先，什么叫縱，什么叫橫？就是定角所落在坐標(biāo)軸的位置，如果定角落在坐標(biāo)軸的橫軸上，就叫做橫，如π或者2π的終邊就落在了橫軸上了，所以就叫做橫了.同理可知縱.那什么叫變和不變呢？就是等號左右的三角函數(shù)名稱變和不變.“縱變橫不變”就是指的是如果定角的終邊落在了坐標(biāo)軸的橫軸上了，那等號兩邊的三角函數(shù)的名稱就不變，如果定角的終邊落在了坐標(biāo)軸的縱軸上了，那等號兩邊的三角函數(shù)的名稱就改變.那變和不變，怎么變，怎么不變呢？變就是等號左邊的要是正弦函數(shù)，那等號右邊就是余弦函數(shù)，等號左邊是正切函數(shù)，那等號右邊就是余切函數(shù)了.這就是縱變橫不變的解釋理解.所以我們先要觀察定角終邊落在坐標(biāo)軸的什么軸上，然后根據(jù)口訣就知道等號左右的三角函數(shù)名稱是否改變了.其次是“正負(fù)看象限”.正負(fù)指的是等號右邊三角函數(shù)前面的正負(fù)符號.看象限是看誰的象限呢？是要看定角和任意角A之和所在的象限.這里A雖然是任意角，但我們?nèi)匀灰堰@個(gè)任意角A看成是一個(gè)銳角.這里特別要強(qiáng)調(diào)的是“看成”.任意角就是任意角，無論是什么角，我們況且都可以把它先看成是銳角.這樣，一個(gè)定角和一個(gè)銳角所在的象限就確定了.那么這個(gè)角和等號左邊的三角函數(shù)所在的象限的三角函數(shù)符號就能確定了.所以等號右邊的正負(fù)符號就由此來確定了.那么這樣，等號左邊的三角函數(shù)和括號里的定角與任意角的和或者差的誘導(dǎo)公式就可以由前面的“縱變橫不變，正負(fù)看象限”得到等號右邊的一個(gè)任意角的三角函數(shù)值了.這樣，我們只要能記住理解這兩句話.十個(gè)字就可以把三十六個(gè)誘導(dǎo)公式熟練的記住了.比如我們要求：cot（π-A）=？首先我們來確定定角π的終邊所落的坐標(biāo)軸是在橫軸上了，由“縱變橫不變，正負(fù)看象限”，那么我們就可以判定等號右邊的三角函數(shù)的名稱沒變，即左邊是余切函數(shù)cot（π-A），那右邊也一定是余切函數(shù)cotA.再者我們來判斷等號右邊的正負(fù)符號，我們看定角和任意角A之差是在第二象限，第二象限內(nèi)余切函數(shù)是負(fù)值，所以等號右邊就應(yīng)該是負(fù)號了，即cot（π-A）=-cotA.

三、定位記憶法

定位法就是先將我們要熟記的公式模式定位.比如，我們要熟記和差化積的公式.如：

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解決三角函數(shù)的問題，角的轉(zhuǎn)化是常見類型，雖然常見，但卻包羅萬象，有倍角、半角、和角、差角、湊角、余角、補(bǔ)角等等，通過角的變換這一紐帶，轉(zhuǎn)變函數(shù)的運(yùn)算符號和名稱，或是次數(shù)，促使問題簡單化、“已知化”，通過轉(zhuǎn)化順利求解原問題.在解決具體問題時(shí)，應(yīng)注重拆和拼的技巧.如α=（α+β）-β=β-（β-α）=α+β2-β-α2.

例1已知3sinβ=sin（2α+β），求證tan（α+β）=2tanα.

評析我們可以將角進(jìn)行轉(zhuǎn)換：β=α+β-α；2α+β=α+β+α.從3sinβ=sin（2α+β）這一已知式出發(fā)，得到3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），再由此出發(fā)進(jìn)一步推導(dǎo)就可以得證.

2.“名稱”變換

在學(xué)習(xí)中經(jīng)常會遇到名稱不同的三角函數(shù)，為此“名稱”變換是三角函數(shù)問題中最常見的類型.首先應(yīng)將其轉(zhuǎn)換成同名的三角函數(shù)，“切割化弦”、“齊次弦化切”是我們高中數(shù)學(xué)最為常見的函數(shù)名稱轉(zhuǎn)化策略，突破口在于“化函數(shù)”或者是“化形式”，從三角函數(shù)常見性來看，“正弦”和“余弦”的應(yīng)用最廣，是三角函數(shù)的基石，“正切”也很常見.

例2（江蘇卷?2010年）銳角三角形ABC中，三個(gè)頂角A，B，C對邊分別為a，b，c，若已知ba+ab=6cosc，則tanCtanA+tanCtanB=.

評析三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合.從要求的式子著手，將切化弦，變形成sin2CsinAsinBcosC，將原式用正弦定理轉(zhuǎn)化為sinAsinBcosc=16（sin2B+sin2A）代入化為6sin2Csin2B+sin2A，再將原式用余弦定理化為a2+b2=32c2即可求得答案.此題作為2010年江蘇高考填空13題相對要求較高，但是都屬于三角及解三角形的常規(guī)題型的結(jié)合.

例3（全國卷?2013）設(shè)θ為第二象限角，若tan（θ+π4）=12，則sinθ+cosθ=.

評析本題可先通過計(jì)算tanθ然后借助角的范圍確定sinθ與cosθ.

3.“形”變換

從具體的三角函數(shù)問題來看，運(yùn)算過程中需要將代數(shù)式中的常數(shù)進(jìn)行變換，最常見就是轉(zhuǎn)化常數(shù)“1”.

例4（遼寧高考文科?2009）已知tanθ=2，則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）.

A.34 B.54 C.-34 D. -54

評析從已知條件分析可以看出這一考題需要進(jìn)行“名稱變化”（弦化切）和“形變換”（將分母“1”化為sin2θ+cos2θ）.

例5已知tanθ=2，求值：

（1）sinθ-cosθsinθ+cosθ； （2）sin2θ-cos2θ.

常規(guī)思想：利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，求出sinθ，cosθ，但是由于θ在一、三象限，所以還要分類討論，比較麻煩.

簡便思想：（1）分子分母同除以cosθ，轉(zhuǎn)化為tanθ-1tanθ+1；

（2）“1”的代換，最終轉(zhuǎn)化為tan2θ-1tan2θ+1.

二、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)建議

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)尤其是高三時(shí)間緊、任務(wù)重，沒有科學(xué)的復(fù)習(xí)方法，難以幫助學(xué)生形成有效的聯(lián)結(jié)，透過上述三角函數(shù)變化問題，筆者認(rèn)為高三復(fù)習(xí)應(yīng)注重以下幾點(diǎn)：

1.科學(xué)制定計(jì)劃，確保復(fù)習(xí)思路清晰化

既然時(shí)間緊，那么我們的復(fù)習(xí)思路必須清晰，確保走好每一步，應(yīng)將一類問題放到一塊，提高專題訓(xùn)練選題的科學(xué)性，站在學(xué)生的視角，通過問題的呈現(xiàn)形式差異將知識點(diǎn)、方法囊括進(jìn)來，將復(fù)習(xí)課上成是引導(dǎo)學(xué)生自主應(yīng)用規(guī)律和方法解決實(shí)際問題的探究課，通過具有聯(lián)系問題的解決，實(shí)現(xiàn)方法和技能的沉淀.例如上文中三角函數(shù)變化的方法，通過具體的例題進(jìn)行訓(xùn)練.

2.注重講評策略，形成有效的知識網(wǎng)絡(luò)

（1）重基礎(chǔ)、勤應(yīng)用.我們學(xué)生之所以在解題時(shí)出現(xiàn)障礙，其根本原因在于基礎(chǔ)不牢.學(xué)習(xí)有一個(gè)從認(rèn)識到理解再到應(yīng)用的過程，對于復(fù)習(xí)而言，首先就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生順利完成基礎(chǔ)知識、基本方法的復(fù)認(rèn).如何復(fù)認(rèn)和回憶呢？筆者在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中通常是設(shè)置具體的問題情境（例題），學(xué)生分析例題、解題的過程是應(yīng)用知識的過程，實(shí)現(xiàn)知識、方法的復(fù)認(rèn)與應(yīng)用同時(shí)施展.