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特殊值代入法是數學中常用的一種方法，能夠在所有值中逐一考慮，選擇最簡單的數據進行代入，避開常規解法，跳出傳統思維，更加簡潔的進行解題。初中數學的難度雖然不大，但是作為基礎數學，初中數學應當體現出數學的解題思維。初中數學的問題設置中體現了一定的難度，以求引導學生主動進行探索，改變單一的解題思維，對于部分數學問題可以進行創新型、便捷性思考。例如分解因式題：x2+2xy-8y2+2x+14y-3。在這道題中，教師可以先運用常規的解法進行解題，然后引導學生從巧取特殊值的思路出發，將其中的一個未知數設為0，暫時隱去這個未知數，對另一個未知數的式子進行分解，實現化二元為一元的目的。令y=0，得x2+2x-3=(x+3)(x-1)；令x=0，得-8y2+14y-3=(-2y+3)(4y-1)。兩次分解的一次項系數為1、1；-2、4，運用十字相乘進行試驗，即1×4+(-2)×1，正好為原式中的xy項系數。因此，可得，x2+2xy-8y2+2x+14y-3=(x-2y+3)(x+4y-1)。從上面的解析中可以看出，特殊值代入法（本題中使用的是取零法）能夠在因式分解中發揮奇妙的作用。從上題中可以進行經驗總結，因式分解殊值代入法的解題思路為：①把多項式中的一個未知數設為0化簡后進行因式分解；②把多項式中的另一個未知數設為0化簡后也進行因式分解；③把兩步分解形成的結果進行綜合驗證，如果兩次分解的一次因式中的常數項相等，即可得出題中多項式的分解結果。

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思維能力教育信息化大腦風暴法信息生長點

參考文獻：

①《智力開發綜述》（上）主編：周文黑龍江出版社

②《小學數學創新性教學指導》主編：關文信吉林大學出版社

話說有位牧師正在專心地寫講道稿，他的兒子約翰卻總是不停的在身邊打擾他，牧師為了不受打擾，就拿了一幅地圖，撕成幾片，讓其兒子把它拼好。牧師認為這下可以讓約翰忙一陣子了，沒想到不一會兒，小約翰就興沖沖地跑過來，并呈上拼好的地圖。牧師很詫異，就詢問約翰這么快拼好地圖的做法，小約翰說：“因為地圖的背面是人，我只要拼好這個人，就拼好了這幅地圖。如果這個人是對的，那么這個世界也就對了……”

小約翰運用這種獨特的、新穎的方式拼好了這幅他可能從未接觸過的地圖，這就是一種創造性思維。為創造性而教，培養學生的創造性思維能力，已經成為目前世界各國教學改革的一種趨勢。真正的素質教育正是把思維能力的發展作為教育中心，它與把知識的系統積累作為教育中心的教學模式下的應試教育有著本質的區別。

當前，在世界范圍內掀起的教育改革熱潮，其目的不僅是為了培養信息社會所需要的高素質創造型人才，更深層次的原因在于傳統的以知識積累為中心的教育模式已經走到了盡頭，無法再適應當前知識體系的高增長速度。我們正處在一個信息化飛速發展的時代，隨著以多媒體、網絡化和智能化為特征的現代信息技術飛速發展，它們正在以驚人的速度變革著我們的學習方式、工作方式、交往方式、生活方式，使人類社會由工業社會邁向了信息化社會。面對鋪天蓋地迎面而來的信息，為了適應社會發展的需要，要求人們必須具備獲取、存儲和交流信息的能力。信息化的社會要求人的素質要與之相適應，信息素養成為衡量一個人素質高低的標準。

教育要面向現代化、面向世界、面向未來，要培養具有創造性思維、創新意識、創新能力的人才，離開了教育信息化是難以實現的。

一、培養信息加工能力，訓練創造性思維

在傳統的教學中，學習資料主要是通過書本、圖片和錄像等這些有限的手段向學生傳輸信息，并且一整堂教學設計都是由教師課前設計好的，這樣的信息來源顯然是非常有限的，而且缺乏可選擇性，學生只能照單全收。當今社會，信息充斥著社會的每一個角落，學生也每時每刻都受著不同信息的影響，特別是高年級的學生，他們的思維就像一條深不見底的河，他們有著自己的經驗、想法，主見。課堂上如果讓學生不加選擇地完全接受只來自于老師的信息，這對學生的學習是不利的；并且學生僅是接受信息，而不對信息進行重新組合，形成體系，那也不可能完全掌握這些知識。因此課堂中教師應善于提出問題，引導思維，把學生要學的知識以一種問題的信息這種方式呈現出來，使新知識這種信息與學生認知結構中已有的知識信息建立起人為的或實質性的聯系，使學生能通過運用各種策略活躍思維、獲得新知。在此過程中，教師要為學生提供思維的材料，使之有“物”可思，并且更深層次地需要培養學生篩選、重組信息的能力，達到訓練學生思維的目的。奧斯本提出了一種名叫“大腦風暴法”的訓練，能很好地達到這種目的。

“大腦風暴法”訓練，它的核心就是將產生想法和對想法的評價分開來，以使思考者沒有任何心理壓力，保證思維狀態的流暢。在課堂教學中，教師先提出問題，接著鼓勵學生盡可能多地尋找解決問題的辦法和答案。學生集思廣益，想出的辦法和答案自然就豐富了課堂信息。教師對這些辦法和答案正確與否暫不必考慮，也不作任何評價，但鼓勵學生在別人傳達的信息中尋找啟迪。教師一直待到學生再也提不出新想法為止，然后引導學生對這些想法進行評價、修改、合并，去偽存真，優中選優，從而產生一個富有創造性的答案。

二、培養適應現代信息社會的能力，發展創造性思維

網絡技術的發展為現代社會建立起一種全新的信息觀念和通道。教育應具有超前意識，運用網絡教學，借助于計算機網絡實現信息交流，要求學生有計算機操作能力和網絡基本知識，能夠熟練處理各種信息。如果仍然以完全傳統的教學方法和手段去教育學生，這將與社會發展極不相適應，學生離開校門后就不可能適應社會。并且，信息技術不受時間和地域限制，學生可根據自己的學習需要，選取相關內容加以學習，學生還可以通過上網快速地獲取豐富的信息資料，有目的地處理信息。這樣有利于培養學生的探索精神、創新意識，有利于學生開展主動的探索型學習活動。“授人以魚不如授人以漁”，教育提倡“把學習的主動權還給學生”，讓學生在課堂中輕松、主動地學習，充分發揮學生的主體積極性，學會創造、構建和掌握所學的知識。計算機網絡能以其信息的大容量、超強的處理能力、豐富多彩的對象以及生動形象的人機交互等特點服務于信息化教育。因此，信息技術作為強有力的學習工具，不僅拓展了學生的學習方式，還發展了他們的創造性思維。

三、培養信息素養的認知技能，完善創造性思維

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對于直覺作以下說明：

(1)直覺與直觀、直感的區別

直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質的界定并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是抽象的數學結構及其關系。龐加萊說："直覺不必建立在感覺明白之上．感覺不久便會變的無能為力。例如，我們仍無法想象千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進來。"由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內所說："這些富有創造性的科學家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個活全生的構想和深刻的了解，這些構想和了解結合起來，就是所謂''''直覺''''……，因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。"

(2)直覺與邏輯的關系

從思維方式上來看，思維可以分為邏輯思維和直覺思維。長期以來人們刻意的把兩者分離開來，其實這是一種誤解，邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點認為邏輯重于演繹，而直觀重于分析，從側重角度來看，此話不無道理，但側重并不等于完全，數學邏輯中是否會有直覺成分?數學直覺是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西，人們對各種事件作出判斷與猜想離不開直覺，甚至可以說直覺無時無刻不在起作用。數學也是對客觀世界的反映，它是人們對生活現象與世界運行的秩序直覺的體現，再以數學的形式將思考的理性過程格式化。數學最初的概念都是基于直覺，數學在一定程度上就是在問題解決中得到發展的，問題解決也離不開直覺，下面我們就以數學問題的證明為例，來考察直覺在證明過程中所起的作用。

一個數學證明可以分解為許多基本運算或許多"演繹推理元素"，一個成功的數學證明是這些基本運算或"演繹推理元素"的一個成功的組合，仿佛是一條從出發點到目的地的通道，一個個基本運算和"演繹推理元素"就是這條通道的一個個路段，當一個成功的證明擺在我們面前開始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利的到達目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構成一條通道。事實上，出發不久就會遇上叉路口，也就是遇上了正確選擇構成通道的路段的問題。龐加萊認為，即使能復寫出一個成功的數學證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性，……，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認為在數學推理中的每一步，直覺力都是不可缺少的。就好似我們平時打籃球，要靠球感一樣，在快速運動中來不及去作邏輯判斷，動作只是下意識的，而下意識的動作正是在平時訓練產生的一種直覺。

在教育過程中，老師由于把證明過程過分的嚴格化、程序化。學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對自己的直覺反而不覺得。學生的內在潛能沒有被激發出來，學習的興趣沒有被調動起來，得不到思維的真正樂趣。《中國青年報》曾報道，"約30％的初中生學習了平面幾何推理之后，喪失了對數學學習的興趣"，這種現象應該引起數學教育者的重視與反思。

二、直覺思維的主要特點

直覺思維具有自由性、靈活性、自發性、偶然性、不可靠性等特點，從培養直覺思維的必要性來看，筆者以為直覺思維有以下三個主要特點：

(1)簡約性

直覺思維是對思維對象從整體上考察，調動自己的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環節，而采取了"跳躍式"的形式。它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰的觸及到事物的"本質"。

(2)創造性

現代社會需要創造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經驗，過多的注重培養邏輯思維，培養的人才大多數習慣于按部就班、墨守成規，缺乏創造能力和開拓精神。直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的，發散的，使人的認知結構向外無限擴展，因而具有反常規律的獨創性。

伊恩．斯圖加特說："直覺是真正的數學家賴以生存的東西"，許多重大的發現都是基于直覺。歐幾里得幾何學的五個公設都是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上進發了構造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發現苯分了環狀結構更是一個直覺思維的成功典范。

(3)自信力

學生對數學產生興趣的原因有兩種，一種是教師的人格魅力，其二是來自數學本身的魅力。不可否認情感的重要作用，但筆者的觀點是，興趣更多來自數學本身。成功可以培養一個人的自信，直覺發現伴隨著很強的"自信心"。相比其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內心將會產生一種強大的學習鉆研動力，從而更加相信自己的能力。

高斯在小學時就能解決問題"12……99100＝?"，這是基于他對數的敏感性的超常把握，這對他一生的成功產生了不可磨滅的影響。而現在的中學生極少具有直覺意識，對有限的直覺也半信半疑，不能從整體上駕馭問題，也就無法形成自信。

中學數學教學大綱(試驗修訂本)將培養學生的三大能力之一"邏輯思維能力"改為"思維能力"，雖然只是去掉兩個字，

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三、直覺思維的培養

一個人的數學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出："數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。"數學直覺是可以通過訓練提高的。

(!)扎實的基礎是產生直覺的源泉

直覺不是靠"機遇"，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎。若沒有深厚的功底，是不會進發出思維的火花的。阿提雅說："一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其它東兩的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗．對此你就會產生一種關于正在發展的過程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺。"阿達瑪曾風趣的說："難道一只猴了也能應機遇而打印成整部美國憲法嗎?"

(2)滲透數學的哲學觀點及審美觀念

直覺的產生是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建鄰的把握事物的本質。這些哲學觀點包括數學中普遍存在的對立統一、運動變化、相互轉化、對稱性等。例如（ab）2=a22ab-b2，即使沒有學過完全平方公式，也可以運用對稱的觀點判斷結論的真偽。

美感和美的意識是數學直覺的本質，提高審美能力有利于培養數學事物間所有存在著的和諧關系及秩序的直覺意識，審美能力越強，則數學直覺能力也越強。狄拉克于1931年從數學對稱的角度考慮，大膽的提出了反物質的假說，他認為真空中的反電子就是正電子。他還對麥克斯韋方程組提出質疑，他曾經說，如果一個物理方程在數學上看上去不美，那么這個方程的正確性是可疑的。

(3)重視解題教學

教學中選擇適當的題目類型，有利于培養，考察學生的直覺思維。

例如選擇題，由于只要求從四個選擇支中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發展。實施開放性問題教學，也是培養直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發散性，有利于直覺思維能力的培養。

(4)設置直覺思維的意境和動機誘導

這就要求教師轉變教學觀念，把主動權還給學生。對于學生的大膽設想給予充分肯定，對其合理成分及時給予鼓勵，愛護、扶植學生的自發性直覺思維，以免挫傷學生直覺思維的積極性和學生直覺思維的悟性。教師應及時因勢利導，解除學生心中的疑惑，使學生對自己的直覺產生成功的喜悅感。

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如果說國外的相應研究更加注意對于實際數學思維過程的深入考察，那么，國內關于數學思維的研究則是一種規范性的研究．總體上，數學思維研究可歸納為3個方向:為思維而數學思維、為數學而數學思維和為教育而數學思維．數學思維研究的開端和第1個方向是“為思維而數學思維”，也即從一般思維出發研究數學思維．20世紀前，國內數學思維研究“所建構的‘數學思維論’的基本理論框架往往就是從一般的思維論研究中直接借用過來的”．甚至于近幾年剛出版的某些“數學思維論”的著作，所建構的“數學思維論”的基本理論框架也是從一般的思維論研究中直接借用過來的．只是在數學思維的形式與方法上作了一定的延伸和拓展．例如，將數學建模等新的數學思維的形式與方法融入進來，從思維研究的最新成果“左腦思維”和“右腦思維”等角度來審視數學思維．數學思維研究的第2個方向是“為數學而數學思維”，也即從數學特殊性出發，來研究特有的數學思維．王仲春認為:“數學思維是指人類關于數學對象的理性認識過程，包括應用數學工具解決各種實際問題的思考過程．”王梓坤院士在《今日數學及其應用》一文中指出，當代數學思維是一種定量思維，通過對數學問題的提出、分析、解決、應用和推廣等一系列工作，以獲得對數學對象的本質和規律性的認識過程．這一方向的數學思維研究，不再單單是從一般思維出發研究數學思維，開始從數學特殊性出發來研究數學思維．當下，數學思維研究的第3個方向是“為教育而數學思維”，也即指向數學教育(甚至于數學教學)的數學思維研究，服務數學教育(教學)．這一研究方向的代表學者，在國內可追溯到孔子．《論語•述而》中有:“子曰，學而不思則惘，思而不學則殆．”這里，孔子指出了學與思之間的關系，特別是前半句更是強調了“思”對于“學”的重要性，強調學習知識之后，需要再進行思維層面的理解和感悟．當代比較具有代表性的是任樟輝在1997年的著作《數學思維論》中提出“從數學思維的角度看，學生是思維的主體，教師是學生思維的主導，而思維的材料就是教材或數學知識”;其在2001年的著作《數學思維理論》中又指出“數學思維是針對數學活動而言的，它是通過對數學問題的提出、分析、解決、應用和推廣等一系列工作，以獲得對數學對象(空間形式、數量關系、結構模式)的本質和規律性的認知過程”．另外，也在1997年，郭思樂和喻緯出版的《數學思維教育論》，更加直接地從數學思維教學目的論、數學家的數學思維論、數學思維教育過程論、數學思維觀念論和數學思維教學論等5個方面進行了詳細的闡述．同時，曹才翰等認為“數學思維形成的過程是主體以獲取數學知識或解決數學問題為目的，運用有關思維方法達到認識數學內容的內在的信息加工過程”．隨后，鄭毓信在其著作《數學思維與數學方法論》中，也提出數學思維研究應“為數學教育服務”;單墫則更加具體地提出“考慮中學數學教材、大綱或是課程標準時，不能僅考慮實用性，不能簡單地羅列數學知識，而更應當考慮需要培養哪些思維品質，如何去進行思維的訓練，充分發揮數學是思維的科學的特點．”此后至今的10多年，為教育而數學思維的相關研究不斷深入．這在數學課程標準中有著明顯的體現，其中具體涉及“培養哪些思維品質”和“如何去進行思維訓練”．對于“培養哪些思維品質”，2011年頒布的《義務教育數學課程標準》中有強調抽象思維、推理思維、創造性思維、形象思維，2003年頒布的《高中數學課程標準》中有強調理性思維、抽象模式、結構研究事物的思維方式、批判性的思維習慣、邏輯思維、統計思維與確定性思維、直觀思維．對于“如何去進行思維訓練”，2011年頒布的《義務教育數學課程標準》在學有余力的學生、提高思維水平、必要的板書、信息技術、教學方式的多樣化、評價方式等方面進行了一定的闡述，2003年頒布的《高中數學課程標準》在數學的應用價值、科學價值和文化價值、算法的基本思想、數據收集與處理、嚴格的邏輯法則、框圖、復數的一些基本知識、現代計算機技術等方面進行了一定的闡述．同時，2011年頒布的《義務教育數學課程標準》也強調“教材內容的呈現應體現過程性”，這對于學生“形成良好的數學思維習慣有著重要的作用”．顯然，“為教育而數學思維”的研究是當下數學思維研究的主流方向，以下對此作進一步介紹．

3為教育而數學思維的研究現況

最早“為教育而數學思維”，在數學思維研究的前2個階段也有出現，但都還只是“在相應的一般性理論框架中嵌入若干數學的例子”．這些數學教育案例盡管在一定程度上起到了一定的作用，但其價值是不大的．近年來，“為教育而數學思維”的研究不斷深入，呈現出以下4個方面的研究．

3．1從數學知識出發

周宇劍從數學符號語言教學的角度探討了促進數學思維發展的有效途徑，強調“加強數學符號語言類比和符號提示功能教學，培養學生將數學敘述語言轉換成數學符號語言的能力，引導學生正確理解數學符號的含義并規范符號書寫，促進學生數學思維的發展”．楊寶珊等對數學史與數學教育(HPM)進行思維研究，對數學史與數學教育的有關現象進行思維描述，查明人類思維在該領域中的具體表現，找出應有的思維資源(包括數學思維資源和一般思維資源)，并給出了“數學史與數學教育”思維訓練的內容和方式．前者是基于學生角度，后者則是基于教師角度，2個方面的研究給予了從對應數學知識出發進行數學思維研究非常好的示范和參考．

3．2從數學能力出發

蔡金法曾提出“數學概括能力是數學能力的核心”，林崇德在其提出的數學能力結構觀中也以數學概括為基礎，但也指出“加強數學概括能力的培養，重點放在培養學生的思維品質上”，同時他的數學能力結構觀除了以數學概括為基礎外，還包括3種基本能力(運算能力、空間想象力和邏輯思維能力)與5種思維品質．曹才翰等從數學能力角度探討了數學思維的重要性，其中曾進一步提出“邏輯思維能力是中學數學教學中要培養的數學能力的核心”．同時，蘇建偉對數學元認知與數學思維品質的相關性進行了研究，提出如何通過培養學生的數學元認知能力來優化學生的數學思維品質．從中可以看出，數學思維在數學能力中處于非常重要的地位，可以說數學思維的能力和品質是數學能力的核心體現．

3．3從學習方式出發

夏小剛、呂傳漢等在跨文化視野下對中、美學生數學思維差異進行了比較研究．研究發現，在問題解決中，中、美2國學生的數學思維具有明顯的差異性，主要表現為:中國學生偏于使用抽象的策略和符號表征，而美國學生則往往比中國學生更頻繁地使用視覺的策略和表征．王霞進行了以草稿為載體訓練第2學段學生數學思維的研究，通過分析和訪談研究學生的草稿，發現了導致學生思維受阻的6個原因，從而根據第2學段學生的思維現狀以及所存在的問題，提出了第1學段學生以草稿為載體的數學思維訓練的有效對策．中外學生數學思維方式的比較研究，能給予思維研究很好的導向;而立足本土的數學思維實證研究，則能給予思維訓練以很好的具體啟發．同時，數學思維活動在學習方式角度的表征，還有數學認知、數學反思等．數學認知方面，李玉琪在其《元認知開發與數學問題解決》中詳細論述了元認知知識的統攝作用之數學思維模式的規范作用．數學反思方面，惠敏悅對數學解題過程中的反思性學習進行了研究，敘述了古今中外對于反思的各種認識和研究，并根據教學經驗以及對于反思的理解嘗試了2種新的教學模式．鄭毓信以國際上的相關研究為背景，對小學數學教學中如何突出數學思維進行具體分析，提出初等數學中數學思維的3種基本形式:數學化、“凝聚”、互補與整合．數學化是指初等數學中“日常數學”向“學校數學”的數學化;“凝聚”是指初等數學中算術以及代數概念由“過程”向“對象”的轉化;互補與整合是指同一概念的不同解釋、同一題目的不同解題方法、形式和直覺之間所存在的重要的互補和整合關系．

3．4關注數學思維的弱勢群體

劉曉菁對高中女生數學思維品質進行了研究，通過自然觀察和訪談調查，具體而客觀地描述了高中女生數學思維品質方面的情況及特征，從而提出了如何改進女生的數學學科學習以及培養高中女生的數學學科思維的幾點建議和措施．小學生、女生等數學思維訓練的弱勢群體，在近年來不斷得到重視，相關研究也還在繼續進行之中．

4進一步思考

可以預見，數學思維研究將引領數學教育，同時“為教育而數學思維”的研究方向將在提升學生的數學學科學習力、加強教師的“數學思維”意識、實證研究有待得到重視、進一步關注數學思維的弱勢群體等方面將得到進一步的深入．

4．1數學思維研究將引領數學教育

當下，應該本著“數學教學是數學思維活動的學與教”來明確數學教育的核心、途徑和主體．其中核心是數學思維，途徑是數學思維活動，主體是學生．實現基于數學思維的數學教育三維目標，掌握數學知識和技能，體驗數學思維的過程、學習思維的方法，提升數學學科學習力，實現數學素養的提升．周春荔《數學思維概論》一書中也提到了“數學教學本質是數學思維活動的教學”．進入21世紀，數學思維研究將引領數學教育．

4．2提升學生的數學學科學習力

在實現基于數學思維活動的數學教學三維目標中，當下最為迫切的研究應當是提升學生的數學學科學習力．這可以從學習和教學2個方面來論證:從學習方面來看，當前課堂教學改革的核心目標之一是提升學生的學習力，而數學能力的核心體現在數學思維的能力和品質，因此數學學科學習力的要素需圍繞數學思維來構建和組織，從而形成成熟的運作模型;從教學方面看，從數學知識的教學到數學素養的教學，數學思維的教學是必經、必由之路．

4．3加強教師的“數學思維”意識

數學教師的職責在于提高“數學的社會實現能力”，具體包括2個方面:一方面是面向學生做數學教學工作，普及數學思想、知識、技術;另一方面則是對學生進行科學系統的數學思維訓練等．前一方面是數學教師普遍重視的，但后一方面由于現實的多方面問題卻沒有太多精力給予應有的重視．但從學生的成長上來說，數學思維起著非常重要的作用;從數學教師的專業化上來說，數學思維研究、數學思維在教學中的應用等研究能夠促進教師的專業成長．

4．4國內數學思維的實證研究有待得到重視

國外數學思維的研究多為實證研究，但在國內卻多為理論研究．然而數學思維是按照一般思維規律認識數學內容的理性活動，它的這一本質決定著數學思維實證研究的重要性．另外，數學思維的實證研究也能夠更加具體地指向教學策略．數學思維實證研究具體可以從2個維度進行:學生角度和知識角度．學生角度，可以通過調研等方式具體探究學生數學思維的薄弱點和培養方式;知識角度，可以通過對具體數學知識下的數學思維進行教學實驗式的研究．

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論文百事通現代教學論認為，數學教學是數學思維活動的教學。數學教學培養的是學生的思維習慣和思維品質，是數學思維教育素質化的重要內容。思維培養的成功與否將直接影響數學教學質量的提高，影響著中學數學教育改革的深化與發展。

數學思維是人腦和數學對象(空間形式與數量關系)互相作用并按一定規律產生和發展的。數學思維的種類有很多，從具體形象思維到抽象邏輯思維，從直覺思維到辨證思維，從正向思維到逆向思維，從集中思維到發散思維，從再現性思維到創造性思維，從中體現出了多種多樣的思維品質。如思維的深刻性、邏輯性、廣闊性、靈活性、創造性、發散性等。我認為，高中數學教學中主要應通過對學生思維品質的培養達到提高思維能力的目的，具體體現在以下幾個方面：

一、注重對基礎知識、基本概念的教學

高一學生，從初中數學到高中數學將經歷一個和很大的跨度，主要表現在知識內容方面的銜接不自然，對高中數學抽象的數學概念、數學形式極不適應。比如第一冊第一章的集合與簡易邏輯，表面上看似很簡單，而實際運用中卻不能準確把握那些用集合語言所描述的題目含義。再如第二章函數，這是高中數學中的重點內容，教師會花很大的精力去講授，學生會都會下很大力氣來做題，結果卻不如人意。學生做題時主要是在解具體題目時很難與基本概念聯系起來。如經常遇到的二次函數問題，有時是求值域，有時是解方程或不等式，學生感到茫然。我把它們統一在一起，強調二次項系數對稱軸、判別式等幾個因素，幫助學生克服了思維的無序性。這一章內容是思維方法從直觀到抽象、從離散到凝聚的過渡，是訓練學生思維深刻性和廣闊性的重要階段。

二、加強數學思想方法的滲透

高中數學的四大數學思想和十幾種數學方法是教學的關鍵與靈魂。一是解題的方法。為培養學生的應用意識，提高學生分析問題解決問題的能力，教學中應結合具體問題，教給學生解答的基本方法、步驟。二是數學思想方法。思想方法把不同章節、不同類型的數學問題統一了起來，如數形結合思想培養了思維的形象性、創造性，化歸思想提高了學生的靈活性、辨證性等。如換元法是一種常見的變形手段，它不只限于解某一章或某一類的問題。注重對這些思想方法的滲透，可以提高學生歸納總結及聯想能力，將數學知識和方法的理解提高到一個新的階段，這對思維品質的培養十分有益。

三、挖掘數學例題習題的功能

篇6

把教材知識系統與學生已有認知經驗能夠很好的融合在一起。教學過程中思維嚴謹，邏輯性強，善于啟發誘導。在教學中，教師應有意識地通過知識的傳授，去培養學生深刻的思維能力。比如，講定義、定理時，不僅注意準確解釋詞句的內含外延，而更要注意通過一些實例來指引學生參加結論的導出，以培養學生的概括能力。

數學思維是一個人的優秀品質。一個人有好的數學思維品質是難能可貴的。

1.教師在學生解題訓練中培養學生的數學思維

數學題是數學教學內容的重要組成部分,教師用這些題目去加深學生對所學知識的了解、掌握和運用,也用它們衡量學生對知識掌握的程度,檢驗教學效果。解題過程包括弄清問題、尋求解題思路、寫出解題過程、解答回顧等四個重要環節，第一個環節是解題的起始，第四個環節是解題的歸宿和升華；這四個環節對于培養學生數學思維的嚴謹性、廣闊性、深刻性等優良品質有著重要的意義。

2.教師通過在教學中挖掘知識的內在思想來培養學生的數學思維要有意識的激發學生思維成長

在教學中，教師要十分注意激起學生強烈的學習興趣和對知識的渴求，使他們能帶著一種高漲的情緒從事學習和思考。例如在高一年級講述函數求值域的問題時，我們先從學生初中已學過的（）入手，逐步引導學生，值域，值域，值域，值域，讓其自己發現結論，經過每一步學生自己參與自己總結很自然的他們會總結出這種形式函數的值域問題。這就是解題過程中激發學生的興趣，以激發學生對新知識、新方法的探知思維活動，這將有利于激發學生的學習動機和求知欲。在學生不斷地解決知與不知的矛盾過程中，還要善于引導他們一環接一環地發現問題、思考問題、解決問題。

3.教學過程中讓學生體會獨立思考，認真思維帶來的樂趣

在教學過程中，讓學生主動參與到學習過程中來，培養其學習的興趣。這對于學生主動思考，獨立思考是有很大幫助的。可以極大的鍛煉學生的數學思維能力。如：橢圓的定義，傳統的教學主要是教師自己拿一段細繩和兩枚圖訂在黑板上演示橢圓的形成過程，然后給出橢圓的定義。這樣的教學方法直接呆板，學生參與少、思考少，而且這樣直接了解橢圓的定義，會造成單純的記憶性，缺少探索性。因而記憶的印象不夠深刻，運用其解決實際問題更難，實際上沒有真正培養到學生的數學思維能力。假如換個角色，由教師為主角演練，換成把數學學習的主動權交給學生，讓學生親自實踐，大膽探索：先讓學生拿出課前準備好的一塊紙板，一段細繩和兩枚圖訂，自己動手畫圖，然后同桌相互評價；其次在兩枚圖訂之間的距離發生變化而繩長不變的條件下對所畫圖形自主進行探索；最后對概念的歸納進行討論，學生試著說出橢圓的定義，教師補充。這樣通過學生自己的體驗，用自己的思維方式，通過獨立思考、合作交流、歸納整理，形成新的知識結構，而且學生之間在討論中相互補充，這樣使他們的直觀感知、觀察發現、歸納類比等數學思維能力在課堂教學活動中得到鍛煉和提高，同時又能真正體現數學課堂教學的本質，實現教學雙長。

另外當學生真正獨立思考，獨立解決問題以后，教師在設置相應的縱向的知識聯系就更能激發學生想象，如在學生掌握橢圓的定義之后。我們可以馬上設置雙曲線的定義問題由距離的和很順利的過渡到距離的差，以激發同學對知識的渴望，形成良性循環。先思考，然后參與，再總結。

4.數形結合的思想的重要性

數形結合的思想是數學中的重要思想，它可極大的鍛煉學生的感官與理性認識的結合。因此利用數形結合，培養學生的數學思維能力是很有必要的。數形結合就是將抽象的數學語言、符號與其所反映的圖形有機的結合起來，從而促進抽象思維與形象思維的有機結合，通過對直觀圖形的觀察與分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得以解決。例如在介紹絕對值不等式恒成立的問題時：恒成立，求的取值范圍。就可引導學生去考慮絕對值的幾何意義即是距離問題。那么該題即考察數軸上到2與5距離的和的最小值問題，畫出數軸即可解決只需即可。另外在二次函數相關問題的解決時，如在講述二次函數在閉區間上根的分布以及取值問題時，引導同學畫圖像，發現特點，在從理論上去說明，就是將解決問題的所有方法先呈現給學生，讓其自己去發現，去總結如何整合這些資源以利己用。再如，講述函數性質的內容時，單調性與奇偶性的發現就是充分利用了數形結合的思想；解析幾何中的這種應用更為普遍。所有這些都能極大的鍛煉學生的思維能力。

總之，在數學教學中多進行有目的的思維訓練，不僅要讓學生多掌握解題方法，更重要的是要培養學生靈活多變的解題思維，從而既提高學生數學思維能力，又達到發展智力的目的。

參考文獻

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思維是從問題開始的。發散性提問可以直接激勵學生進行積極的思維活動。這種提問追求的目標不是單一的答案，而是盡可能多、盡可能新的獨創的想法，因而對于培養學生的創造性思維，具有更直接、更現實的意義。

如：用語言敘述算式38×(125÷5)。可以這樣提問：“你能用幾種不同的方式敘述這個算式？”這時，全班同學紛紛舉手要求發言。“38乘以125除以5的商，積是多少？”、“38與125除以5的商的積是多少？”、“38乘以5除125的商，積是多少？”、“125除以5的商乘38的積是多少？”……同學們想出了許多種不同的敘述方式，顯示出思維非常活躍。

二、一題多解

一題多解之所以有助于發散思維的培養，主要是因為它要求學生的思維活動要“多向”，不局限于單一角度，不受一種思路的束縛，為了尋求問題的解決，它要求尋找多樣化的解決方式，謀求多種可能。在這種情況下，學生往往會獨辟蹊徑，發現解決問題的新途徑。

如：“有化肥72噸，先用3輛同樣的汽車一次運走18噸。照這樣計算，剩下的化肥一次運完，需要這樣的汽車多少輛？”學生們先用學過的知識，想出了(72-18)÷(18÷3)和72÷(18÷3)-3兩種解法。這時我引導學生從倍數關系方面想出不同的解法。同學們在我的啟發下，又想出了3×[(72-18)÷18]、3×(72÷18-1)和3×(72÷18)-3等3種解法。這時全班學生都歡呼雀躍起來，對想出不同解法的同學表示祝賀。一題多解不僅培養了學生的發散思維能力，也極大地激發了學生學習數學的積極性和濃厚的興趣。

三、延遲評價

篇8

亞里士多德曾精辟地闡述：“思維從問題、驚訝開始”，數學過程是一個不斷發現問題、分析問題、解決問題的動態化過程。好的問題能誘發學生學習動機、啟迪思維、激發求知欲和創造欲。學生的創造性思維往往是由遇到要解決的問題而引起的，因此，教師在傳授知識的過程中，要精心設計思維過程，創設思維情境，使學生在數學問題情境中，新的需要與原有的數學水平發生認知沖突，從而激發學生數學思維的積極性。

例如，在復數的引入時，可先讓學生解這樣的一個命題：

已知：a＋=1求a2＋的值

學生很快求出：a2＋=(a＋)2－2=－1但又感到迷惑不解，因為a2>0,>0,為什么兩個正數的和小于0呢？這時，教師及時指出，因為方程a＋=1沒有實數根，同學們學習了復數的有關知識后就會明白。這樣，使學生急于想了解復數到底是怎樣的一種數，使學生有了追根求源之感，求知的熱情被激發起來。

又如，在講解“等比數列求和公式”時，先給學生講了一個故事：從前有一個財主，為人刻薄吝嗇，常常扣克在他家打工的人的工錢，因此，附近村民都不愿到他那里打工。有一天，這個財主家來了一位年輕人，要求打工一個月，同時講了打工的報酬是：第一天的工錢只要一分錢，第二天是二分錢，第三天是四分錢，......以后每天的工錢數是前一天的2倍，直到30天期滿。這個財主聽了，心想這工錢也真便宜，就馬上與這個年輕人簽訂了合同。可是一個月后，這個財主卻破產了，因為他付不了那么多的工錢。那么這工錢到底有多少呢？由于問題富有趣味性，學生們頓時活躍起來，紛紛猜測結論。這時，教師及時點題：這就是我們今天要研究的課題——等比數列的求和公式。同時，告訴學生，通過等比數列求和公式可算出，這個財主應付給打工者的工錢應為230－1(分)即1073741824分≈1073（萬元），學生聽到這個數學，都不約而同地“啊”了一聲，非常驚訝。這樣巧設懸念，使學生開始就對問題產生了濃厚的興趣，啟發學生積極思維。

以上兩個例子說明，在課堂數學中，創設問題情境，設置懸念能充分調動學生的學習積極性，使學生迫切地想要了解所學內容，也為學生發現新問題，解決新問題創造了理想的環境，這是組織數學的常用方法。

二、啟迪直覺思維，培養創造機智

任何創造過程，都要經歷由直覺思維得出猜想，假設，再由邏輯思維進行推理、實驗，證明猜想、假設是正確的。直覺思維是指不受固定的邏輯規則的約束，對于事物的一種迅速的識別，敏銳而深入的洞察，直接的本質理解和綜合的整體判斷，也就是直接領悟的思維或認知。布魯納指出：直覺思維的特點是缺少清晰的確定步驟。它傾向于首先就一下子以對整個問題的理解為基礎進行思維，獲得答案（這個答案可能對或錯），而意識不到他賴以求答案的過程。許多科學發現，都是由科學家們一時的直覺得出猜想、假設，然后再由科學家們自己或幾代人，經過幾年，幾十年甚至上百年不懈的努力研究而得以證明。如有名的“哥德巴赫猜想”“黎曼猜想”等等。因此，要培養學生創造思維，就必須培養好學生的直覺思維和邏輯思維的能力，而直覺對培養學生創造性思維能力有著極其重要的意義，在教學中應予以重視。

教師在課堂教學中，對學生的直覺猜想不要隨便扼殺，而應正確引導，鼓勵學生大膽說出由直覺得出的結論。

例如，有一位老師上了一堂公開課。他剛在黑板上寫上下面的題目：平面上有兩個點(t＋,t－)(t>0)與(1,0),當這兩點距離最短時，t=____。有一位同學小聲說道：t=1，老師問他為什么？那位學生只是吞吞吐吐，詞不達意，說不出所以然。那位老師讓他坐下，并批評了他。實際上，那位學生憑的是直覺，首先直覺到：距離最短t＋有最小值t=1。這時老師應該引導學生去仔細推敲，找出理論依據。其實“追蹤還原”出事物本來面目，便可解釋為：如圖所示，因為t＋≥2,所以動點P(t＋,t－)位于直線x=2的右則，(含直線x=2本身),t=1時，對應點P′的坐標為(2,0),恰好是Q(1,0)在直線x=2上的射影，P′Q的長即為直線x=2的右半面上所有點到點Q的距離的最小值。

同時，還可以從深一層意義“還原”下去：設動點為(t＋,t－),將方程x=t＋,y=t－兩邊平方后相減，可得方程x2－y2=4(x≥2),故點Q與雙曲線的右項點P’(2,0)距離最小，所以│PQ│min=2－1=1,這時，t＋=2,t－=0,即t=1。

如果這樣講，不僅保護和鼓勵了學生的直覺思維的積極性，還可以激活課堂氣氛。

由此可見，直覺思維以已有的知識和經驗為基礎的，因此，在教學中要抓好“三基”教學，同時要保護學生在教學過程中反映出來的直覺思維，鼓勵學生大膽猜想發現結論，為杜絕可能出現的錯誤，應“還原”直覺思維的過程，從理論上給予證明，使學生的邏輯思維能力得以訓練，從而培養學生的創造機智。

三、培養發散思維，提高創造思維能力

篇9

（2）引導學生正確使用歸納法，善于分析、總結和歸納。由歸納法推理所得的結論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認識功能對于科學的發現是十分有用的。

（3）引導學生正確使用類比法，善于在一系列的結果中找出事物的共同性質或相似處之后，推測在其它方面也可能存在的相同或相似之處。

2.發散思維的培養

發散思維有助于克服那種單一、刻板和封閉的思維方式，使學生學會從不同的角度解決問題的方法。在課堂教學中，進行發散思維訓練常用的方法主要有以下兩點：

（1）采用“變式”的方法。變式教學應用于解題，就是通常所說的“一題多解”。一題多解或一題多變，能引導學生進行發散思考，擴展思維的空間。

（2）提供錯誤的反例。為了幫助學生從事物變化的表象中去揭示變化的實質，從多方面進行思考，教師在從正面講清概念后，可適當舉出一些相反的錯誤實例，供學生進行辨析，以加深對概念的理解，引導學生進行多向思維活動。

3.形象思維的培養

形象思維能力集中體現為聯想和猜想的能力。它是創造性思維的重要品質之一，主要從下面幾點來進行培養：

（1）要想增強學生的聯想能力，關鍵在于讓學生把知識經驗以信息的方式井然有序地儲存在大腦里。

（2）在教學活動中，教師應當努力設置情景觸發學生的聯想。在學生的學習中，思維活動常以聯想的形式出現，學生的聯想力越強，思路就越廣闊，思維效果就越好。

（3）為了使學生的學習獲得最佳效果，讓聯想導致創造，教師應指導學生經常有意識地對輸入大腦的信息進行加工編碼，使信息納入已有的知識網絡，或組成新的網絡，在頭腦中構成無數信息的鏈。

4.直覺思維的培養

在數學教學過程我們應當主動創造條件，自覺地運用靈感激發規律，實施激疑頓悟的啟發教育，堅持以創造為目標的定向學習，特別要注意對靈感的線形分析，以及聯想和猜想能力的訓練，以期達到有效地培養學生數學直覺思維能力之目的。

（1）應當加強整體思維意識，提高直覺判斷能力。扎實的基礎是產生直覺的源泉，阿提雅說過：“一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過大量例子，以及與其他東西的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗，對此你就會產生一種正在發展的過程是怎么回事，以及什么結論應該是正確的直覺。”

（2）要注重中介思維能力訓練，提高直覺想象能力。例如，通過類比，迅速建立數學模型，或培養聯想能力，促進思維迅速遷移，都可以啟發直覺。我們還應當注意猜想能力的科學訓練，提高直覺推理能力。

（3）教學中應當滲透數形結合的思想，幫助學生建立直覺觀念。

（4）可以通過提高數學審美意識，促進學生數學直覺思維的形成。美感和美的意識是數學直覺的本質，提高審美能力有利于培養學生對數學事物間所有存在著的和諧關系及秩序的直覺意識。

5.辯證思維的培養

辯證思維的實質是辯證法對立統一規律在思維中的反映。教學中教師應有意識地從以下幾個方面進行培養：

（1）辯證地認識已知和未知。在數學問題未知里面有許多重要信息，所以未知實際上也是已知，數學上的綜合法強調從已知導向未知，分析法則強調從未知去探求已知。

（2）辯證地認識定性和定量。定性分析著重抽象的邏輯推理；定量分析著重具體的運算比較，雖然定量分析比定性分析更加真實可信，但定性分析對定量分析常常具有指導作用（3）辯證地認識模型和原型。模型方法是現代科學的核心方法，所謂模型方法就是通過對所建立的模型的研究來推知原型的某種性質和規律。這種方法需要我們注意觀念上的轉變和更新。

6.各種思維的協同培養

當然，任何思維方式都不是孤立的。教師應該激勵學生大膽假設小心求證，并在例題的講解中穿插多種思維方法，注意培養學生的觀察力、記憶力、想象力等，以達到提高學生創造性思維能力的目的。我們來看下面這些例子：

例1：觀察下列算式：

作用的結果。

再進一步觀察，可以發現3=5-2，4=7-3，4=9-5，…，D=A-B。能發現這樣的規律，正是我們的邏輯思維作用的結果。

何一個創造性思維的產生都是這些思維互相作用的結果。

例2：如圖：在RtABC中，∠ACB=90°，CDAB，垂足為D，求AC的長。請補充題目的條件，每次給出兩條邊。

本題是一個條件發散的題目，條件的發散導致多種解法的產生。事實上，至少存在如下10種解法：

（1）AD，CD；（2）AB，CB；

（3）AD，AB；（4）AD，DB；

（5）AB，DB；（6）CD，DB；

（7）CB，DB；（8）AB，CD；

（9）CB，CD；（10）AD，CB。

已知（1）（2）時，直接應用勾股定理；已知（3）（4）（5）時，直接應用射影定理。只用一次定理即可求出AC，可見已知和結論距離較近。

已知（6）（7）（8）（9）（10）時，需要應用兩次定理才能求解，這五種情況比較，已知與結論的距離遠些。

通過對此題的研究，“窮舉法”在列舉各種已知條件的可能性時得到應用，并體現了發散思維一題多解的思想，更重要的是，學生在觀察中了解了自己的思維層次，在總結、選擇中提高了思維水平，由發散到集中（非邏輯思維到邏輯思維），學生的創造性思維就會逐步形成。

總之，我們要利用各種思維相互促進的關系，把學生的思維習慣逐漸由“再現”導向“創造”，用已掌握的知識去研究新知識，引導他們總結規律，展示想象，大膽創新。

總而言之，我們可以看到，創造性思維既有別于傳統教育所注重的邏輯思維，又并非單純意義上的發散思維，它是由邏輯思維、非邏輯思維、直覺思維和辯證思維所構成的有機的整體，并且是一個人創造力的核心。數學教學應該盡快地轉變思想，從傳統的教育模式向培養創造性人才的教育模式轉變，從傳統教育所強調的邏輯思維向現代社會所需要的創造性思維轉變。這個過程將是漫長的，我們將繼續探索下去。

論文關鍵詞：創造性思維培養協同培養

論文摘要：本文論述了創造性思維研究的現狀，簡單梳理了創造性思維研究的幾種觀點，并鑒于實踐中對于創造性思維研究的成果的應用，列舉了五種較為流傳的創造性思維教學模式，隨后論述創造性思維的本質及構造，討論了創造性思維方法的培養。

著名的未來學家伊薩克·阿西莫夫說過：“二十一世紀可能是創造的偉大時代。那時，機器將最終取代人去完成所有單調的任務，計算機將保障世界的運轉。而人類則最終得以自由地做非他莫屬的事情——創造。”從某種意義上說，人類社會的發展進步，取決于人類飽含生機的創造力。

創造性思維正是探求和創造新知識的思維形式和思維方法。創造性思維由于對于認識世界和改造世界具有極其重要的意義，因此引起了人們越來越多的興趣，成為理論界關注的課題。

教育在培養創新精神和培養創造性人才方面肩負著特殊的使命。要有效地培養出大批具有創新能力的人才，教師首先要先轉變教育思想、教學觀念和教學模式。所謂具有創新能力的人才是指具有創造意識、創造性思維和創造能力的人才，而其核心是創造性思維。所以，創新人才培養理論的核心就是如何培養創造性思維。

根據當代心理學和神經生理學最新研究成果而提出的關于創造性思維的“內外雙循環理論模型”（DC模型）認為，創造性思維結構應當由邏輯思維、發散思維、形象思維、直覺思維、辯證思維和橫縱思維等六個要素組成。而橫縱思維的觀點由于現在仍比較模糊和富于爭議，因此，我們在這里不予論述。

參考文獻：

［1］仇保燕.教學思維方法.武漢：湖北教育出版社，1994：221-235.

［2］張楚庭.數學與創造.武漢：湖南教育出版社，1989：8-10.

［3］王仲春，李元中，顧莉蕾，孫名符.數學思維與數學方法論北京：高等教育出版社，1988：97-101.

篇10

可以說，我們平時的數學教學，就是在培養學生的科學思維定勢和求異思維能力（包括適應能力和創造能力）。這里科學思維定勢的基本內容就是各種概念、定理、公式、技能技巧的正確理解和熟練運用。其中，“熟練”就是比較“牢固”的思維定勢，這是求異思維的基礎，也是解決較為復雜問題的基矗“三基”之所以重要，也正在于此。如果當學生對新問題的規律還未掌握，思維定勢還未形成時，就對其進行求異思維的訓練，培養學生的所謂應變能力和靈活性，其結果必然是“欲速則不達”。學生不但不能掌握技巧和靈活性，就連基本技能也難以掌握。有的教師教學方式很活，一題多解、一題多變，思路分析得頭頭是道，而教出的學生一旦獨立面對問題卻又束手無策，也由于這個原因。另一方面，如果學生思維定勢已經形成，教師卻不能及時增加難度，“提升”學生的應變能力和向困難挑戰的精神，則必將使學生思考問題的積極性和求異思維能力的發展受到抑制。

篇11

類比思維能力的培養對學生具有重要作用，類比思維能力也是每一個人應該具備的能力，因為它對我們的生活有著極為重要的意義。類比思維能力在日常生活中的應用也非常廣泛，幫助人們解決了很多問題，例如，人們可以根據今年冬天的降雪量以及溫度推測出明年糧食的收成，可以根據晚上的天氣狀況推測出第二天的天氣狀況，這些問題能夠推測出來，依靠的都是人類的類比思維能力。類比思維能力在數學學習中也具有非常重要的意義，她主要是要求學生在學習數學的過程中利用已知的條件，推測出未知的答案，例如，等邊三角形ABC的高是6，已知D是BC的中點，DE垂直于AB，DF垂直于AC，求：DE+DF=？這道題就要求學生利用類比思維解決問題，用題目中的已知條件，求出正確答案。這也說明，在初中數學教學中培養學生的逆向思維能力是很重要的，老師在教學過程中要注意對學生逆向思維的培養。

篇12

數學知識網絡是環環相扣的，學生思維能力的提升也是環環相扣的，教師要從學生的思維起始點出發，抓住思維發展的過程，逐步深入直至完成思維訓練。如果教師沒有引導學生抓住思維起始點，那么學生對問題就會感覺無從下手，其思維發展也不會按照特有的軌跡進行發展。例如教師在講按比例分配時，從學生已經學過的平均分配知識開始講解，幫助學生理解平均分配和按比例分配的關系，將學生的思維引入按比例分配中，從而掃清學生學習按比例分配的知識障礙。最后教師引導學生解決按比例分配的實際問題，這樣能讓學生從思維的起始點出發，培養思維的流暢性。對于不同的知識點，其思維起始點是不同的，教師在進行小學數學教學時，必須把握住學生的思維起始點，以舊知識為起點，通過引導、轉化，使得學生的思維逐漸清晰、條理。

1.2引導學生抓住思維的轉折點

學生在學習知識的過程中，有時會出現思維障礙的現象，這時教師要充分發揮自身的引導作用，幫助學生引導、梳理思維障礙，促使學生進行思維轉折，從而促進學生的思維發展。例如學生在解決這樣的問題時：王師傅和張師傅同時加工一批零件，原計劃王師傅加工的另加數量是張師傅加工數量的2/5，但在實際加工中，王師傅多加工了34個，結果王師傅加工的零件數是張師傅加工的7/9，問這批零件共有多少個？學生在解決這道題目時，會清楚的判斷出2/5、7/9這兩個數值都是以張師傅加工的零件數量為標準進行衡量的，但這兩個數值并不相等，這就會對學生的思維造成障礙。這時教師就要引導學生開拓思維，原計劃王師傅加工的零件數是張師傅的2/5，那么王師傅和張師傅計劃加工零件的個數是幾比幾？而王師傅實際加工零件數是張師傅的7/9，那么王師傅和張師傅的實際加工零件數是幾比幾？這樣將張師傅加工的零件數為衡量標準的關系轉換為以總零件數為衡量標準，就能幫助學生快速的解決這個題目。通過思維轉換能幫助學生解決四維障礙的問題，有利于培養學生的發散性思維。

二.采用合理思維培訓方法

教師在進行小學數學教學時，可以采用綜合分析、具體抽象、求同求異等思維方法培養學生的思維能力。綜合分析方法是從已知條件入手，逐層分析，然后解決實際問題，小學生的思維特點是從具體形象思維逐步過渡到抽象邏輯思維，因此，教師在培養學生思維時，要注重學生的思維過渡。例如教師在向學生講解圓柱體側面積的相關內容時，可以引導學生將圓柱模型的側面剪開，觀察圓柱側面剪開后與正方形、長方形等部分之間的關系，從而演化出圓柱體側面積的計算公式。通過這一系列的操作、觀察、演化，能極大地培養學生的具體抽象思維。在小學數學教學中，很多知識都有千絲萬縷的聯系，這時教師可以采用求同求異的思維方法，讓學生對比教材中的相關知識，能幫助學生構建完整的知識體系，促進學生的多元化思維發展，提高學生克服思維障礙的能力，從而有效地促進學生思維發展。

篇13

例1、已知a，b，m∈R+，且a<b求證：（高中代數第二冊P91）

分析：由知，若用代替m呢？可以得到是關于的分式，若我們令是一個函數，且∈R+聯想到這時，我們可以構造函數而又可以化為而我們又知道在[0，∞]內是增函數，從而便可求解。

證明：構造函數在[0，∞]內是增函數，

即得。有些數學題似乎與函數毫不相干，但是根據題目的特點，巧妙地構造一個函數，利用函數的性質得到了簡捷的證明。解題過程中不斷挖掘學生的潛在意識而不讓學生的思維使注意到某一點上，把自己的解題思路擱淺了。啟發學生思維多變，從而達到培養學生發散思維。

例2、設是正數，證明對任意的自然數n，下面不等式成立。

≤

分析：要想證明≤只須證明

≤0即證

≥0也是

≥0對一切實數x都成立，我們發現是不是和熟悉的判別式相同嗎？于是我們可以構造這樣的二次函數來解題是不是更有創造性。

解：令

只須判別式≤0，=≤0即得

≤

這樣以地于解決問題是很簡捷的證明通過這樣的知識轉移，使學生的思維不停留在原來的知識表面上，加深學生對知識的理解，掌握知識更為牢固和知識的運用能力。有利于培養學生的創新意識。

2、構造方程

有些數學題，經過觀察可以構造一個方程，從而得到巧妙簡捷的解答。

例3、若(Z-X)2-4(X-Y)(Y-Z)=0求證：X，Y，Z成等差數列。

分析：拿到題目感到無從下手，思路受阻。但我們細看，題條件酷似一元二次方程根的判別式。這里a=x-y，b=z-x，c=y-z，于是可構造方程由已知條件可知方程有兩個相等根。即。根據根與系數的關系有即z–y=y-x，x+z=2y

x，y，z成等差數列。遇到較為復雜的方程組時，要指導學生會把難的先簡單化，可以構造出我們很熟悉的方程。

例4、解方程組我們在解這個方程組的過程中，如果我們用常規方法來解題就困難了，我們避開這些困難可把原方程化為：

于是與可認為是方程兩根。易求得再進行求解(1)或(2)

由(1)得此時方程無解。

由(2)得解此方程組得：經檢驗得原方程組的解為：

通過上面的例子我們在解題的過程中要善于觀察，善于發現，在解題過程中不墨守成規。大膽去探求解題的最佳途徑，我們在口頭提到的創新思維，又怎樣去創新?創新思維是整個創新活動的關鍵，敏銳的觀察力，創造性的想象，獨特的知識結構及活躍的靈感是其的基本特征。這種創新思維能保證學生順利解決問題，高水平地掌握知識并能把知識廣泛地運用到解決問題上來，而構造法正從這方面增訓練學生思維，使學生的思維由單一型轉變為多角度，顯得積極靈活從而培養學生創新思維。

在解題的過程中，主要是把解題用到的數學思想和方法介紹給學生，而不是要教會學生會解某一道題，也不是為解題而解題，給他們學會一種解題的方法才是有效的"授之以魚，不如授之以漁"。在這我們所強調的發現知識的過程，創造性解決問題的方法而不是追求題目的結果。運用構造方法解題也是這樣的，通過講解一些例題，運用構造法來解題的技巧，探求過程中培養學生的創新能力。

華羅庚：“數離開形少直觀，形離開數難入微。”利用數形結合的思想，可溝通代數，幾何的關系，實現難題巧解。

3.構造復數來解題

由于復數是中學數學與其他內容聯系密切最為廣泛的一部分，因而對某些問題的特點，可以指導學生從復數的定義性質出發來解決一些數學難題。

例5、求證：≥

分析：本題的特點是左邊為幾個根式的和，因此可聯系到復數的模，構造復數模型就利用復數的性質把問題解決。

證明：設z1=a+biz2=a+(1-b)iz3=(1-a)+(1+b)iz4=(1–a)+bi

則左邊=|z1|+|z2|+|z3|+|z4|

≥|z1+z2+z3+z4|

≥|2+2i|=

即≥

例6、實數x，y，z，a，b，c，滿足

且xyz≠0求證：

通過入微觀察，結合所學的空間解析幾何知識,可以構造向量

聯想到≤結合題設條件

可知，向量的夾角滿足，這兩個向量共線，又xyz≠0

所以

利用向量等工具巧妙地構造出所證明的不等式的幾何模型，利用向量共線條件，可解決許多用普通方法難以處理的問題對培養學生創新思維十分有益。

4.構造幾何圖形

對于一些題目，可借助幾何圖形的特點來達到解題目的，我們可以構造所需的圖形來解題。

例7、解不等式||x-5|-|x+3||<6

分析：對于這類題目的一般解法是分區間求解，這是比較繁雜的。觀察本題條件可構造雙曲線，求解更簡捷。

解：設F(-3，0)F(5，0)則|F1F2|=8，F1F2的中點為O`(1，0)，又設點P(x，0)，當x的值滿足不等式條件時，P點在雙曲線的內部

1-3<x<1+3即-2<x<4是不等式的解。

運用構造法就可以避免了煩雜的分類討論是不是方便得多了，引導學生掌握相關知識運用到解決問題上來。

又如解不等式：

分析：若是按常規的解法，必須得進行分類討論而非常麻煩的，觀察不等式特點，聯想到雙曲線的定義，卻''''柳暗花明又一村"可把原不等式變為

令則得由雙曲線的定義可知，滿足上面不等式的(x，y)在雙曲線的兩支之間區域內，因此原不等式與不等式組：同解

所以不等式的解集為：。利用定義的特點，把問題的難點轉化成簡單的問題，從而使問題得以解決。

在不少的數學競賽題，運用構造來解題構造法真是可見一斑。

例8、正數x，y，z滿足方程組：

試求xy+2yz+3xz的值。

分析：認真觀察發現5，4，3可作為直角三角形三邊長，并就每個方程考慮余弦定理，進而構造圖形直角三角形ABC，∠ACB=90°三邊長分別為3，4，5，∠COB=90°

∠AOB=150°并設OA=x，OB=，，則x，y，z，滿足方程組，由面積公式得：S1+S2+S3=