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數學教育論文:再談運用數學方法研究數學教育問題
再談運用數學方法研究數學教育問題
建立數學教育學是一項宏偉的事業．數學教育學研究方法的發展水平是數學教育學科發展水平的重要標志．僅僅“坐而論道”式的定性研究和糾纏于名詞術語的思辨研究，已制約了數學教育學的發展．盡管這種狀況正在改變，表現之一是在數學教育研究中運用數學方法的數量在增加，但是質量還不高，數量的發展趨勢還不夠迅猛．只有加大運用數學方法研究數學教育問題的深度和廣度，才是構建數學教育學的綠色通道．本文給出兩點建議．“文秘站”版權所有1．運用多元分析方法，加大研究深度多元分析是研究客觀事物中多個變量間統計規律性的一門數學分支學科．隨著計算機技術的發展，多元分析方法很快地輻射到各個領域，多元分析方法不僅在自然科學領域“功勛卓著”，而且在社會科學領域“戰績赫赫”，這表明多元分析方法確實是處理數據、揭示多變量之間關系的先進工具．因為影響數學教育的因素眾多，他們之間關系錯綜復雜，但卻水乳交融，息息相關，因此需要進行多元分析．合理運用多元分析應是數學教育發展水平的一項指標．然而由前文可知，目前的數學教育研究文章，特別是調查與實驗的文章，一般都采用了簡單的統計及分析，在研究水平上較以往邁進了一個臺階，但對多元統計的方法重視程度明顯不夠，影響了數學教育各因素之間關系的揭示，限制了數學教育研究的深入開展．研究數學教育各因素之間的關系分為三個層次．其一是研究各因素之間是否有關系，即判定各變量之間是否有聯系，方法有：相關分析、偏相關分析、方差分析、協方差分析、判別分析、聚類分析等；其二是研究各因素之間有什么樣的定量關系，即分析各變量之間有何種聯系，方法有回歸分析、馬爾可夫預測等；其三是分析各因素之間為什么存在這種關系，以便解釋現象，發現規律，即分析各因素之間相存關系的原因，方法有：主成分分析、因素分析等．在此需要說明的是，首先，與其花更多的時間去學習多元分析的算法原理，不如花一定的精力掌握相關的計算機軟件（如SASD、SAS、SPSS、LISREL等），能對其熟練操作，借以開展有關研究工作；其次，因為運用多元分析開展研究，所得出的結論的科學性是建立在原始分數或觀測數據的可信性和有效性基礎之上．因此，要盡力提高測驗的信度與效度，并且好同時運用其他數學方法，以提高數學教育科研的學術性．2．運用數學思想方法及高等數學知識，加大研究廣度需要澄清的是，不能僅認為只是在調查與實驗中才能運用數學方法，也不能認為數學方法僅限于概率統計的知識和方法．否則，運用數學方法研究數學教育問題的范圍將是狹窄的．而在數學教育研究中，廣泛運用數學思想方法及高等數學知識，將加大運用數學方法研究數學教育問題的廣度．喻平先生認為夸美紐斯的《大教學論》深刻體現了公理化思想．他認為《大教學論》是從“適應自然”原理出發，由此演繹三條基本教學原則：便宜性原則、徹底性原則、簡明性與迅速性原則．由每條教學原則又引出若干具體小原則．夸美紐斯采用了原理--大原則--具體小原則的公理化方法．上海師大燕國材先生的IN結合學習理論有三條核心思想：尊重學習者的主體地位，發揮學習者的主體作用，調動學習者的主體積極性（目的）；一般地說，人的智力水平是差不多的，但是非智力因素的水平差別很大（假設）；在其他基本相同的情況下，A＝f（IN）（公式）．基于這些原理，演繹出了10條命題，在10條命題的基礎上又演繹出了3條學習原則．可見，燕國材先生的IN結合學習理論也深刻體現著公理化思想．相比較而言，盡管數學教育科研工作者運用數學思想有種種優勢，盡管在我國出版了許多種數學教育理論著作，但是像夸美紐斯和燕國材先生明顯采用數學思想構筑理論體系的還不多見．數學思想方法是廣泛滲透于各個領域的．運用數學思想方法研究數學教育問題，為將數學方法應用于數學教育研究之中提供了廣闊的空間．再如，華中師大唐碧峰和李來政先生建立了智商、知識量和數理邏輯經驗的5組微分方程，通過求解與分析，得出了具有一定說服力的研究結論：在學生形式運演心理發展的初期，過多的知識不利學生的智商、能力的發展，最終也會影響知識的增長．因此，在這一時期，應加強學生的科學活動和實驗教學．在學生形式運演的后期，知識教學不會影響學生智商的發展，而且對智商和技能的發展有促進作用，系統知識的教學應安排在這個時期進行．因為該研究中運用了數學方法，所以研究結論具有說服力，從而使研究結果對中學數學教學和教改具有指導意義．眾所周知，物理學曾因跳出初等數學的桎梏，應用了高等數學，而引發了“物理學的革命”，嘗試著將有關的近現代數學知識作為研究數學教育的工具，不但會加大運用數學方法研究數學教育問題的廣度，同時也必將促進數學教育研究水平再上新臺階．特別是，讓學生學會數學地思維，被認為是新時期數學教育的目的之一，然而目前數學教育界對數學思維的認識尚很膚淺，要想揭示數學思想的本質，關鍵要廣泛、合理、科學地應用模糊數學等近現代數學知識．3．一些文獻中的案例盡管在目前數學教育研究中，運用數學方法的典型案例尚不多見，但以下文獻中提供了一些可供參考的案例．喻平先生著作的《試論數學方法在數學研究中的應用》［1］從多個方面例說了數學方法在教育評價、思維研究、數學能力研究、數學方法論研究、數學課程理論研究中的數學方法．囿于版面，喻平先生略去了數學方法的使用原理及詳細應用過程．肖云茹先生編著的《概率統計計算方法》［2］給出了每種多元統計方法的數學原理及算法步驟．張敏強先生主編的《教育與心理統計學》［3］提供了一些多元分析的案例．佟慶偉、胡迎賓、孫倩編著的《教育科研中的量化方法》［4］則提供了一些利用教育統計軟件進行多元分析的案例．張國杰、王光明、蘇凡編著的《數學教育研究與寫作導論》［5］提供了因素分析的案例．任子朝先生《會考后的高考考查數學能力的研究》［6］給出了主成分分析的案例．杜玉祥、魏立平等的著作《初中數學差生轉化理論與方法（一）（二）》［7］提供了聚類分析的案例．唐碧峰和李來政先生的著作《理科教學與學生思維發展的量化研究》［8］給出了應用微分方程處理教育問題的實例．以上案例，有興趣的讀者可去查找．要說明的是，我們強調數學方法在數學教育中的作用，但決不意味著濫用數學方法．在數學教育研究活動中，運用具體數學方法，建立數學教育現象的數學模型，只不過是一種解決數學教育問題的輔助手段，它不是萬能的．數學方法所具有的那些功能總是在正確的認識路線指導下，立足于教育實踐基礎上的，因此，研究結論要接受教育實踐的檢驗．在數學教育研究中，需要廣泛、充分運用數學方法，同時更要注意合理運用數學方法。
數學教育論文:對小學數學教育幾個問題的思考
在國際上，數學教育始終都是備受關注的領域。在基礎教育課程體系中，小學數學一直處于重要位置。隨著新世紀的到來，數學科學本身有了大的發展，人們對小學數學教育的要求也發生了變化，小學數學教育面臨巨大挑戰，理論上與實踐上日益暴露出很多復雜的矛盾沖突。
一、關于滿足學生興趣需要與小學數學教育的強迫性之間的矛盾沖突
在教育問題上，經常會出現這樣的情況，矛盾和沖突的雙方似乎都有一定的合理性。滿足學生的興趣和需要與小學數學教育的強迫性就是這種矛盾的雙方。現代社會要求尊重每一個學生的權利，尊重學生的興趣和需要。它是現代教育的一個原則。然而，捫心自問，對學生真正需要和感興趣的事情，我們成人無論如何努力，恐怕永遠都不能地滿足他們。對一個具有強烈的社會責任感的教師而言，出于長遠考慮，從社會和國家的要求出發，有時會強迫學生服從教師的意志，聽從教師的安排，尤其是在基礎教育階段更是如此。在小學階段，數學教育具有基礎性和普及性，是一種為學生打基礎的教育，是要求人人都要接受的普通教育。當學生對數學缺乏興趣時，滿足學生興趣需要與小學數學教育的強迫性之間的矛盾就顯得更為突出。
事實上，我們無法否認有一部分學生是極其喜愛數學的，哪怕有升學的壓力和高分的誘惑，對這些孩子來說，熱愛數學是首要的學習動力源泉。但同時，我們也得承認有相當一部分學生是不喜歡數學的，甚至還有極少一部分學生是厭惡數學，一聽到數學就頭疼的。對這些學生來說，得到父母的肯定和教師的贊揚以及滿足升級、升學的要求等，則是學習數學的主要動力。遵循滿足學生需要和興趣的原則，對那些不喜歡數學的孩子，教師應該表示寬容和理解。但對孩子來說，一個能夠容忍他在數學課上看漫畫書、開小差的教師，就其一生來說，是他的幸還是不幸呢?若因教師的寬容和放任，兒童失去了更好的發展機會，等長大成人以后一事無成，他對這樣的教師是心存感激，還是心懷怨言呢?但是，反過來，如果教師對孩子實施強迫性的教育，致使他們對數學產生了一種消極的不愉快的情緒，影響了他們學習的積極性，甚至懷疑他們自己的能力，對數學產生了畏懼心理，這又豈不是得不償失?
因此，在小學數學教育上，如何既能滿足學生的興趣需要，又能達成小學數學教育的目標是一件極為困難的事情。在這一問題上，前蘇聯教育家阿莫納什維利給我們提供了很好的成功案例和積極的思想觀念。他說：“如果一個兒童學習有困難，而我們確實想幫助他，那么，最主要的事——我們應該從何人手，什么是我們應該始終不渝地信守的原則——就是使他能感到，他像所有其他兒童一樣，也是有才能的，他也有自己的特殊的‘天賦’。”[1]在這里，阿莫納什維利所謂的“應該始終不渝地信守的原則”其實就是人性的原則。這個人性的原則超越了簡單地滿足學生的興趣需要或實施強迫性數學教育的理念，既不以升級為目的，也不是簡單地滿足學生當前的需要，而是以使學生獲得自信和對學習的興趣為目的。基于此，在處理學生興趣需要與數學教育的強迫性矛盾時，我們的初步認識是既不能簡單地服從學生的興趣和需要，降低對他們的要求，也不能過分強迫學生，給學生施加升級和升學的壓力，而是要淡化要求，降低強迫性，創造一個合乎人性的學習環境，幫助學生取得進步，增強學生的自信心。
二、關于大眾數學教育與精英數學教育之間的矛盾沖突
20世紀80年代以來，國際數學教育界就存在著“大眾數學教育”與“精英數學教育”的矛盾沖突。所謂“大眾數學教育”是一種面向人人，希望使數學對大多數學生來說更有吸引力和力所能及的教育理念。在我國，主導的大眾數學教育思想認為，“大眾數學意義下的數學教育體系所追求的教育目標，就是讓每個人都能夠掌握有用的數學”。[2]其基本含義包括“人人學有用的數學”“人人掌握數學”“不同的人學習不同的數學”。[3]國家教育部2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》又將這一思想進一步闡發為：“人人學有價值的數學”“人人都能獲得必需的數學”“不同的人在數學上得到不同的發展”。所謂“精英數學教育”，就是指以培養數學精英人才為目的的數學教育，比如為大學數學專業輸送人才、培養以數學研究或應用為職業的人等。
長期以來，我國的數學教育是一種典型的精英教育。人們批評這種教育是為了個別學生的發展，犧牲大多數學生的發展利益。數學教育的內容不是學生掌握不了，就是學了也沒用。這種教育的價值是為高一級的學校篩選有能力的人，體現的是“篩子”的功能。它不能使大多數人體驗到學習數學的成功喜悅，獲得學習的自信心。但是，現代社會的發展又需要精英，需要有專業知識和專業精神的人，全盤否定精英教育的價值也是不可取的。因此，大眾數學教育強調“不同的人在數學上得到不同的發展”，就有解決大眾數學教育和精英數學教育的矛盾沖突的意思，認為大眾數學與精英教育并不對立。“恰恰相反，大眾數學意義下的數學課程提供了更為廣泛的現代數學分支的原始生長點，它為對數學有特殊才能和愛好的學生提供了更多的發展機會”。[4]在美國，大眾數學教育和精英數學教育的矛盾具體化為“公平”和“”之間的矛盾。“許多專門的計劃都在探索著如何促進公平和。其中好的計劃是對具有不同需要水平的學生提供不同水平的期望。”“提高期望可保障對一切人公平和。”[5]這也就是所謂的“數學上普遍的高標準”，是一種要求人人能數學地思考的教育觀念。
一些數學家對大眾數學思想提出質疑，[6]包括這種保障對一切人公平和的數學教育的質疑。他們的問題有：1.“這是否還是數學”。有數學家懷疑大眾數學由于過分強調問題的開放性和問題的“真實意義”，導致學生對數學的本質形成錯誤的認識，認為數學是無意義和毫無用處的，因而有人質問“大眾數學是否就意味著沒有數學”了呢?2.“(大眾)數學：一或多?”數學界對大眾數學有不同的理解。經典意義上的數學是希臘人開創的傳統，強調演繹和推理；古埃及和古巴比倫的數學傳統是“經驗的方法”；我國的傳統是“問題一算法”，強調實用、經驗歸納等。因此，人們不禁要問“我們究竟需要什么樣的大眾數學”?3.“是否人人都需要數學?”“是否人人都需要高質量的數學?”在數學家Noddings看來，“數學上普遍的高標準”不是一個正確的口號，他說：“我將幫助那些對數學有著強烈興趣的學生學習數學家觀察世界的方式，但我并不要求所有的學生‘像數學家那樣地思維’，他們應當按照自己的目標來學會如何應用數學”“除基本的算術以外，任何現行的課目都不能被認為是必要的”。
顯然，大眾數學教育和精英數學教育之間的矛盾并沒有那么容易解決。稍有一點專業知識的人都明白，一個人如果沒有精深的數學專業素養是不可能領略數學之美，透徹領會數學內蘊之深厚的。大眾數學教育所倡導的數學教育思
想必須依托于數學學科的成熟發展。對個體來說，整體認識數學全貌及其全過程，具備到位的數感以及數的意識等，非得有專業訓練不可。我國基礎教育數學新課程改革要求課程內容的學習強調學生的數學活動、發展學生的數感、符號感、空間觀念、統計觀念以及應用意識與推理能力等。還有當前人們試圖通過數學教育來傳達的種種關于數學價值的闡釋，比如，“數學是一種文化”“數學是理解世界的工具”“數學是一種意識”“數學是一種思維方式”“數學是一種技術”等等，這一切對小學生來說是否是一種更高、更難達到的要求，是值得思考的。在數學教育問題上，有時要求越多，越不知如何去做，的結果就可能不盡如人意。有時抓住一點，扎扎實實，深入做下去，反而兼顧整體。這不失為解決數學的大眾教育與精英教育之間矛盾的一種思路。
三、關于數學專家的建議與學校數學教育目標之間的差距
數學專家的期望能否直接進入學校教育領域，成為教育的目的呢?這一問題也值得討論。
1989年，美國促進科學協會出版了《普及科學——美國2061計劃》。計劃內容涉及學習目標問題。但是“參與2061計劃及時階段的數學家在本報告中提出的一些思想，將在計劃的第二階段由另一些人轉化成課程方案，這些人的職業工作使他們非常熟悉有關孩子們早期經歷的各種解釋”。[7]由此可以看到，美國2061計劃的專家建議并不是直接進入教育領域，而是通過一系列的轉化工作。任何一門學科都有極其豐富的文化價值和教育價值，但是否有價值就要進入學校教育領域呢?從目前學校的狀況來說，這是不可能的。一門科學要想成為學校的一門學科，其內容要想進入學校課程領域，必然經過一個被選擇和篩選的過程。這個篩選過程在古典課程論專家拉爾夫·泰勒那里被理解為兩個環節：一是在選擇教育目標時運用哲學。究其原因是由于達到教育目標需要有一定的時間，學校的目標應該是少量的，而不應該太多。如果試圖達到眾多目標，而實際完成的卻極少，那么，這種教育計劃是無效的。同時有些目標之間也存在一定的矛盾沖突，這樣容易引起學生的困惑，因此為了選擇少量非常重要而又互相一致的目標，必須對已經獲得的大量龐雜的目標進行篩選。而“學校信奉的教育和社會的哲學可用作及時個篩子。人們可以根據學校的哲學陳述的或隱含的價值觀，對最初列出的教育目標加以鑒別，確定那些具有高度價值的目標。”[8]二是在選擇教育目標時運用學習心理學。“這道篩子是學習心理學說提示的選擇教育目標的準則。教育目標即教育宗旨，是經過學習而得到的結果。除非這些教育宗旨是與學習的內部條件相一致的，否則它們作為教育目標是沒有價值的。”[9]泰勒的這兩個篩選教育目標的原則是針對一般的課程編制而言，是極為有價值的，對小學數學教育目標的確定也很有啟發。除此之外，筆者以為，確立小學數學教育的目標還必須考慮以下幾個方面。
首先，是促進學生發展的原則。在這點上，維果茨基的最近發展區理論給我們提供了很好的借鑒。維果茨基認為，“只有跑到發展前面的教學才是好的教學”。[10]小學數學教育目標應該設置在兒童的最近發展區內。低于兒童現實發展水平的目標要求是沒有意義的，而高于兒童明天的發展水平，任學生付出多么大的努力都不能達到的目標同樣是沒有價值的。比如，培養學生的“數感”問題、學生對數學與日常生活之間的聯系的體驗問題等，都是有層次之分的。數學專業人士所擁有的數感，以及他們所感受的數學對生活的重大意義不是所有的人都能理解和接受的。就連“數學是思維的體操”這樣一句很多人耳熟能詳的名言，恐怕也不是小學階段的孩子們能夠理解的了的。至于數學文化、數學意識、數學思維、數學技術等種種數學觀念，如何以合理的方式進入學校，以促進學生的較大發展，都是必須解決的問題。
其次，必須考慮師資條件。20世紀60年代，美國的“新數學”運動失敗了。其中一個重要的原因就是沒有充分考慮當時的師資條件。“新數學”之新是毫無疑問的，“新數學”的教育理念也是先進的、現代的，但它對教師的要求之高也是眾所周知的。盡管它也為教師提供了相應的培訓和輔助教學材料，但終因要花費大量的時間和金錢，而并沒有多少學校和教師真正采用和實施。因此，要求教師必須具備數學家的素養才能勝任的數學教育，有可能也會重蹈“新數學”運動的覆轍。
再有，經濟條件也是一個重要制約因素。比如，吳文俊院士1995年在《數學教育現代化問題》一文中說：“我今天講的這個東西是我多少年一直想講的。在好多年前，至少是1983年或者更早，我就想在中學里邊推行，可就是不敢，因為中學里邊是不能隨便講的，而且當時條件不具備，你要用計算機，可在中學里邊根本不可能。”[11]一種教育目的的達成如果需要大筆經費的支撐，而這一大筆經費又根本是個畫餅，是目前社會的經濟發展水平不能提供的，這樣的教育目標自然會因其不現實而不能達成。
四、關于小學數學教育目的的功利性與過程的非功利性之間的矛盾沖突
小學數學教育還須處理功利性目標與非功利性過程之間的矛盾沖突。教育是一種實踐活動，就其追求來說，是現實的、功利的。人類任何科學領域的內容要進入學校領域都是以其是否有價值來衡量的。然而一旦進入學校教育領域，人們要求的理想的學習方式又是非功利的。比如，美國學者要求人人都來關心數學教育時，強調的都是數學教育的功利價值，像這樣的陳述有“數學是打開機會大門的鑰匙”“它以直接的和基本的方式為商業、財政、健康和國防作出貢獻。它為學生打開職業的大門；它使國民能夠作出有充分依據的決定；它為國家提供技術經濟競爭的學問。”“對所有學生進行品質的數學教育是興旺發達的經濟所必需的”等等。[12]大多數數學專家則認為引導學生對數學本身感興趣，比對數學的應用感興趣更有價值。這是一種追求數學的內在學習價值的觀念，是非常好的。但是，對不想從事與數學專業有密切關系的專業的人們來說，我們不能不理解他們的功利追求。我們不但不反對人們這樣問：學數學對我有什么用?有時反而還要順著這一問題思考：對不想做數學家，不想從事數學專業的人來說，學數學有什么用呢?比如，泰勒認為“向學科專家提出的問題應該是這樣的‘這門學科對外行或一般公民有什么貢獻?’學科專家倘若能夠回答這樣的問題，就能作出重大的貢獻，因為他們可能具有這個專業領域大量的知識，而且其中許多人可能已有機會看到這門學科對他們自己以及對與他們一起工作的人有什么用處”。[13]美國2061計劃及時階段數學專家的小組報告的及時句話就是“本報告回答一個問題：‘當一個人到了18歲的時候，有哪些重要的數學思想是他應該知道并且明白的’”[14]而這
里所謂“重要的數學思想”，“并不是按照培養數學家或者即使是培養大學生的標準來設計的”。[15]
無論是泰勒還是參與2061計劃的數學專家都盡量避免從個別“數學天才”的角度來回答上述問題，而強調數學的應用價值，使數學教育目的具有鮮明的功利追求。但在我們看來，數學教育的組織如果僅以滿足大多數外行的要求為原則，則有可能會降低數學的科學性、使數學被大眾歪曲應用，甚至對數學本身產生難以消除的誤解。因為真正理想的數學教育過程是非功利性的，在這樣的過程中，學生的學習是被數學本身的魅力和數學學習本身的樂趣所引發，學生的狀態是積極主動的、自覺自愿的。只有非功利性的數學教育過程才能充分發揮學生的潛力，因為兒童都有一種與生俱來的以自我為中心的探索性動機，正如蘇霍姆林斯基所說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探索者。而在兒童的精神世界中，這種需要則特別強烈。”[16]因此，在處理這一問題上，保持謹慎的態度不失為一種明智的選擇。我們體會，尊重數學家的建議，借鑒贊科夫的教學過程性原則，盡量挖掘數學本身的內在價值，將數學教育組織得豐富有趣，既能吸引學生，又能保障在學生力所能及的基礎上，接受具有一定難度的挑戰，可能有助于處理這一矛盾沖突。
數學教育論文:數學教學創新教育的研究
一、激發學生的求知欲,培養其創新精神
激發學生的求知欲比單純教給學生數學知識更重要。實踐證明,科學家的很多發明創造都是在好奇心和求知欲的趨勢下產生的,比如牛頓就是看到蘋果落到產生了好奇心而發現了“萬有引力定律”;瓦特從水沸騰時掀動壺蓋的現象發明了蒸汽機。好奇心是求知欲的前提,有了好奇心,才有探究結論的欲望。比如,在“多邊形內角和”內容的時候,課前教師讓每一個學生動手制作凸多邊形,在課上讓學生把每一個內角的度數都量出來,然后對學生說:“同學們,只要你告訴我你畫的多邊形是幾條邊以及這個多邊形(n-1)個內角是多少度,老師就能馬上能猜出剩下的一個內角是多少度,你們想考考老師嗎?”因為教師提出的問題比較新穎,從而引發了學生的好奇心,激發了他們探究的積極性,活躍了課堂氣氛,使學生們產生了濃厚的學習興趣,提高了課堂教學效果。在數學課堂教學中,教師要精心設計問題,問題提的難度要適宜,要讓學生“跳一跳,就能摘到桃子”,這樣才能激發學生研究的欲望,開拓學生的思維,促使他們主動思考,通過自己的努力得到結論,進而發現問題,積極地去解決問題。
二、利用學生善于表現的心理,培養他們的創新精神
中學生有著強烈的表現欲和好勝心,如果他們在學習數學的時候,不斷遭遇失敗,那么其自信心就會受到嚴重打擊。所以,要讓學生有成功表現的機會,讓他們獲得成功,有成就感,增強學習的自信心。如在教學一元一次方程的時候,教師可以實施分層次教學,比如設計一些比較簡單的題,選擇兩位成績一般的學生到黑板演示,看誰做得又對又快;而對于成績較好的學生,在課下可以鼓勵他們找一些有難度的題去練習,并提出更高的要求。在教學活動中,教師要充分調動學生學習的積極性,發揮他們的特長和優勢,給他們自我表現的時間和機會,讓他們體驗到成功的快樂,感受到學習數學的樂趣,以使他們的創新能力得到培養。
三、多激勵學生,培養他們的創新精神
教師要注重學生自主學習能力和自主學習意識的培養,鼓勵他們自主思考和探究,肯定他們的新思路、新方法以及主動追求新知識的做法,要求學生根據自己的實際情況制定學習目標,要讓他們通過自己的努力實現目標。教師要引導學生追求新知識,掌握新方法、新技巧,主動克服學習中遇到的困難,多發現學生的優點,善于表揚和鼓勵學生,比如“真好”“你真棒”“你的想法獨特、到位”等,以進一步激發學生的創新能力。
四、通過自主、合作、探究的學習方式,培養他們的創新精神
讓學生自主去發現和獲取知識,是提高學習效果的好途徑,因為只有學生經過親身體驗而獲取的知識印象才會更加深刻。有效的學習過程并不是單靠記憶和被動接受來完成的,而是在教師的引導下通過認真觀察、大膽實驗和想象、分析和推理等步驟,由學生自己去探索數學學習的有效策略,以得到更多的情感體驗和親身感受。
五、運用信息技術創設問題情境,提高學生的創新能力
隨著科技的不斷發展,多媒體技術作為一種重要的教學手段進入到了課堂教學中,并受到了廣大教師和學生的歡迎。多媒體以其生動的動畫效果活躍了課堂氣氛,創設了良好的教學情境,把文字、圖片、數據等多種信息經過集成處理傳遞給學生,刺激了學生的多種感官,引發了學生的好奇心,激發了學生探究知識的欲望。同時,多媒體還可以將抽象的知識形象化、枯燥的問題趣味化,促使學生從多個角度去觀察和分析問題,提高自己的能力。
六、鼓勵學生大膽質疑,培養創新精神
基礎知識對于數學和學習很重要,學生一定要在理解和掌握數學基礎知識的基礎上,進行創新和升華。創新的前提是學生能夠發現問題和提出問題,質疑可以促進思維的發展,也是培養學生思維能力的重要渠道。在新課程改革背景下,成功的數學課堂是能夠促使學生發現問題和提出問題的,而不只是讓學生解決問題和回答教師提出的問題;不只要讓學生驗證真理,還要引導學生探究真理。而在實際教學中,問題基本上都是教師設計的,學生只有回答的權利,沒有提出問題的能力和勇氣。實際上,提出問題比回答問題更重要。李政道教授說得好:“‘學問’就是學習提問,切莫將‘學問’變成‘學答’。所以,在數學課堂教學中,教師要把課堂還給學生,把學生放置在學習主人的位置上,成為課堂的組織者、引導者、參與者、合作者,要給學生創設寬松、民主的學習氛圍,使學生樹立質疑精神,尊重學生的個性以及好奇心理,要讓學生大膽質疑,積極探索,勇于向挑戰。
七、總結
總而言之,創新能力的培養是一項長期而復雜的任務,在數學教學中注重創新能力的培養是素質教育的要求,也是時代的需要。教師要利用好課堂這塊陣地,激發學生學習的興趣,調動他們的主動性,引導學生大膽實踐、勇于探索,提高學生的綜合素質,使學生敢于創新,從而為社會培養更多的合格人才。讓我們在數學課堂教學中,樹立新的教學理念,探索更多更好的教學方法,把學生的創新潛能當作一個金礦去勘探、發現和開采吧。
數學教育論文:小學數學探究式教育釋解
一讓學生多表現,激發他們探究的積極性
小學生的年齡小,活潑可愛,表現欲望強,渴望得到老師的認可,教師可根據學生的這些特點,適時創設一些讓他們表現才能的機會,并給予充分肯定。如可讓學生上臺演示、板演、當小老師等,都可激發他們探究知識的積極性。例如,在教學“14-8”這道題時,我故意做錯,讓學生發現我的錯誤,學生一見老師做錯了,立刻指出并且有些驕傲,這時我再緊接著提問:“這道題該怎樣算?你能想出多少種不同的算法?”于是,學生們都積極思考,紛紛想發揮自己的聰明才智。
二適時引導,提高探究效果
探究教學以突出學生的主體地位為主,強調學生的積極參與。但是小學生的認知水平普遍較低,因而教師不可讓學生無目的地盲目探究,而是要適時地加以引導和幫助。具體來說,在探究教學中教師主要要注意以下幾方面:精心設計探究計劃、選擇和組織恰當的教學材料、做好教學活動的組織安排、即時指導和信息反饋。此外還要注意針對學習內容的不同,選擇合理的探究方法,較常見的探究方法有:觀察——歸納、操作——發現、猜想——驗證、類比——聯想等。如猜想—驗證法,即讓學生根據已有的知識、經驗和方法,對數學問題大膽猜想,尋找規律,合理論證。如學習“三角形內角和”一課時,學生已對內角和概念有了一定的了解,此時教師應提問:“你們猜一猜三角形的內角和是多少度?”學生會從特殊的三角形(等邊三角形)猜測到內角和是180°呢,于是教師引導學生進一步思考:這個猜測是否正確呢?難道所有的三角形內角和都是180°?學生帶著問題進行驗證,既有趣又提升了學生的探知能力。
三充分挖掘探究資源
探究教學并不是一件容易的事,教學中,教師除了掌握必要的技巧外還要深入挖掘教材內容,讓學生有探究的資源。教材中可探究的內容非常豐富,但并不是都適合我們,因而需要教師認真挖掘教材并結合實際,創造性地開發教材資源,組織學生探究,以培養他們的探究能力。如在教學“三角形任意兩邊的和大于第三邊”時,可讓學生從家中帶來三組小木棒,其中一組是可組成三角形,另一組是兩根木棒的長度和等于第三根的長度。一組是兩根木棒的長度和小于第三根的長度,然后組織學生分別用這三組木棒擺三角形,并分別量出各組木棒每根的長度。教師把學生量得的三組木棒長度分列在黑板上,并就此提出:“請用一個等式或不等式表示三條線段能組成三角形的條件。”這時,學生一般會在能夠組成三角形的那組數據里尋找關系式。有的會提出兩線段的積大于第三條線段的關系式,有的會提出兩根木棒長度的和與第三根比較,不管學生用哪種方式,教師都應板書到黑板上,然后引導學生一一篩選,只剩下所要得出的結論。這種精心設計的探究活動,能激發學生學習數學的積極性,增強學生探索問題、分析問題的能力。此外,除了挖掘教材內容,我們還可發掘生活資源開展探究,生活是學習數學的大課堂,學習數學的最終目的是把所學的知識運用到生活中。因此,教學中可通過解決生活中的數學問題,讓學生從小領悟出數學源于生活,又回歸于生活,具有很強的應用價值,從小明白學習數學的重要性。如學完“圓的周長”后,組織學生去測量樹的周長、操場的周長、圓形水池的周長、圓形花壇的周長等,既有趣又讓學生學會了動手、動腦,加深了對周長的認識。而且通過解決實際問題,可讓學生將書本知識內化為自己的能力,將課堂知識拓展深化于學生的創新意識和實踐能力,達到了新課程改革的真正目的。
四結束語
探究式教學是新課程改革的要求之一,如何在教學中落實這種理念還需進一步探索。但只要我們在教學中,以學生為主體,放手讓學生自己去做,教師在適當時加以引導與幫助,并盡可能多地為學生創造探究機會,相信我們的小學數學課堂教學一定能逐步達到境界,促進學生自由、充分、和諧地發展。
數學教育論文:淺談初中數學教學中的素質教育
淺談初中數學教學中的素質教育
把素質教育貫徹于數學教學之中，使數學教學能為提高學生的整體素質服務是當前數學教學改革的中心議題，是擺在我們廣大數學教師面前的一項極為迫切的任務。本文擬就中學教學中實施素質教育的問題談幾點粗淺的認識。
一、更新觀念，樹立數學教學的素質觀
柳斌同志說：“轉變教育思想和教育觀念，轉變人才觀念、質量觀念是實施素質教育的前提。”轉變觀念的關鍵在于努力構建學生的主體地位，促成學生主動、而且各個不同的發展，教育學生學會做人、學會求知、學會辦事、學會健體、學會創造。中學數學教學的目的，就是要面向全體學生，不僅培養他們的數學素養，更要提高他們的綜合素質，使之成為具有一定創造性的人。由于學生在知識、技能、能力方面的發展和志趣、特長不盡相同，學生之間存在著個體差異，教師要創設條件，因材施教，使每個學生都得到不同程度的發展和提高。其次，要充分發揮學生的主體作用，自覺地把素質教育融于教學中。在教學中教師要精心設計，創設情境，充分調動學生學習的積極性，讓每個學生都參與教學的全過程，在教師的啟發誘導下積極思考并提出問題、解決問題，使學生的智慧潛能等到開發，學生的素質在主體發揮的過程中得到提高。這就是數學教學的素質觀。
二、初中數學教學中素質教育的內容和途徑
各學科都有本學科特定的科學知識體系和特點。中學數學具有內容的抽象性、應用的廣泛性、推理的嚴謹性和結論的明確性等特點。我們在實施中學數學素質教育時，應根據數學本身的特點，在傳授數學基礎知識、基本技能的同時，積極探討數學知識與素質教育的結合點，促進學生素質的提高。據此，我認為，素質教育在初中數學教學中的內容至少應包括以下幾個方面：
（一）思想素質的教育大綱指出：“結合教學內容對學生進行思想品德教育是數學教學的一項重要任務，它對促進學生發展具有重要意義”。數學教學中的思想教育主要有以下幾點：
1．愛國主義教育。
（1）通過我國古今數學成就的介紹，培養學生的愛國主義思想。現行義務教育教材中，有多處涉及到我國古今數學成就的內容，我們要有意識地去挖掘，在講授有關知識的同時，適當介紹數學史料，對學生進行愛國主義思想教育。
（2）通過教材中的有關內容編擬既聯系實際又有思想性的數學題目，反映我國社會主義制度的優越性、改革開放政策的正確性和祖國建設的偉大成就等有關內容，使學生潛移默化地受到熱愛社會主義制度、熱愛社會主義祖國的思想教育；使學生了解我國的國情，激發他們為四化建設、為祖國的繁榮昌盛而獻身的精神。
2．辯證唯物主義教育。辯證唯物主義教育主要是對辯證唯物主義的世界是物質的觀點、對立統一的觀點、運動變化的觀點、量變到質變的觀點、互相聯系、互相制約的觀點的教育。中學數學本身蘊含著豐富的對立統一、量變質變、運動變化、相互聯系、相互制約等辯證唯物主義因素。在教學中，如果能注意挖掘這些因素，自覺地用唯物辯證法觀點闡述教學內容，就能更深刻地讓學生領悟數學知識的內在聯系。這樣，既有利于學生學好數學知識，提高辯證思維能力，又有利于培養學生的辯證唯物主義觀點，為逐漸形成共產主義世界觀打下基矗
3．良好的學習態度和學習習慣的教育。數學教育的目的不僅在于傳授數學知識，更重要的是通過數學學習和實踐，使學生逐步掌握良好的行為方式（正確的學習目的、濃厚的學習興趣、頑強的學習毅力、實事求是的科學態度、獨立思考勇于創新的精神等），并把這些良好的行為方式轉化為他們的習慣，終身受用之。所以培養良好的學習態度和學習習慣也是數學教學工作的一項基本任務和重要目標。
（二）應用數學能力的培養
數學是一種語言，是認識世界必不可少的方法，運用數學的能力是未來公民應當具有的最基本的素質之一。九年義務教育數學教學大綱明確規定：“要使學生受到把實際問題抽象成數學問題的訓練”，“形成用數學的意識”。筆者認為，在教學中我們應從以下幾個方面著手，培養學生應用數學的能力：
1．重現知識形成的過程，培養學生用數學的意識。數學概念和數學規律大多是由實際問題抽象出來的，因而在進行數學概念和數學規律的教學中，我們不應當只是單純地向學生講授這些數學知識，而忽視對其原型的分析和抽象。我們應當從實際事例或學生已有知識出發，逐步引導學生對原型加以抽象、概括，弄清知識的抽象過程，了解它們的用途和適用范圍，從而使學生形成對學數學、用數學所必須遵循的途徑的認識。這不僅能加深學生對知識的理解和記憶，而且對激發學生學數學的興趣、增強學生用數學的意識大有裨益。
2．加強建模訓練，培養建立數學模型的能力。建立適當數學模型，是利用數學解決實際問題的前提。建立數學模型的能力是運用數學能力的關鍵一步。解應用題，特別是解綜合性較強的應用題的過程，實際上就是建造一個數學模型的過程。在教學中，我們可根據教學內容選編一些應用問題對學生進行建模訓練，也可結合學生熟悉的生活、生產、科技和當前商品經濟中的一些實際問題（如利息、股票、利潤、人口等問題），引導學生觀察、分析、抽象、概括為數學模型，培養學生的建模能力。
3．創造條件，讓學生運用數學解決實際問題。在教學中，可根據教學內容，組織學生參加社會實踐活動，為學生創造運用數學的環境，引導學生親手操作，如測量、市場調查和分析、企業成本和利潤的核算等。把學數學和用數學結合起來，使學生在實踐中體驗用數學的快樂，學會用數學解決身邊的實際問題，達到培養學生用數學的能力的目的。
（三）注重數學思想方法的教學
數學思想方法是數學思想和數學方法的總稱。數學思想是對數學知識與方法形成的規律性的理性認識，是解決數學問題的根本策略。數學方法是解決問題的手段和工具。數學思想方法是數學的精髓，只有掌握了數學思想方法，才算真正掌握了數學。因而，數學思想方法也應是學生必須具備的基本素質之一。現行教材中蘊含了多種數學思想和方法，在教學時，我們應充分挖掘由數學基礎知識所反映出來的數學思想和方法，設計數學思想方法的教學目標，結合教學內容適時滲透、反復強化、及時總結，用數學思想方法武裝學生，使學生真正成為數學的主人。
（四）思維能力的培養
思維品質的優良與否是國民素質的重要決定因素。為了促進學生思維能力的發展，我們必須高度關注學生在數學學習過程中的思維活動，必
須研究思維活動的發展規律，研究思維的有關類型和功能、結構、內在聯系及其在數學教學中所起的作用。數學是思維的體操，從這個角度講，數學本身就是一種鍛煉思維的手段。我們應充分利用數學的這種功能，把思維能力的培養貫穿于教學的全過程。在教學中，我們尤其要注重培養學生良好的思維品質，使學生的思維既有明確的目的方向，又有自己的見解；既有廣闊的思路，又能揭露問題的實質；既敢于創新，又能具體問題具體分析。（五）心理素質的教育數學
“文秘站”版權所有教學具有很強的教育功能，它不僅對培養學生愛國主義精神、辯證唯物主義觀點極其有利，而且對增強學生的心理素質，培養學生健康情感、堅忍不拔的意志、良好的性格特征和自尊、自強、樂觀、進取的精神也有積極的作用。學生心理素質的培養，主要表現在對學習興趣的動機、良好的意志品質的培養兩個方面。
興趣是好的老師。濃厚的學習興趣可以使人的各感官、大腦處于最活躍的狀態，能夠地接收教學信息；濃厚的學習興趣，能有效地誘發學習動機，促使學生自覺地集中注意力，全神貫注地投入學習活動。在教學中，我們可通過介紹我國在數學領域的成就，介紹數學在生活、生產和其它科學中的廣泛應用，激發學生學好數學的動機。通過設計情境，提出問題，引導學生去探索、去發現，讓學生從中體驗成功的喜悅和發現的快樂；運用適當的教學方法和手段引起他們的求知欲和好奇心，從而培養他們濃厚的學習興趣。
在教學中，還應當注意對學生意志品質的培養和訓練。如注意力的培養、長期反復思考同一問題的意志品質的培養、獨立思考精神的培養等。使學生形成不怕困難、堅忍不拔、刻苦鉆研、頑強拼搏的品格。
實施素質教育，是一項迫切而又艱巨的任務，我們廣大教育工作者要積極探索，努力實踐，切實把素質教育落實到教學工作中去，為培養振興中華的高素質人才作出自己的貢獻
數學教育論文:數學教學中滲透辯證思維教育
小學數學教材中，蘊藏著大量的辯證唯物主義思想教育內容，教師應努力地挖掘它，加大對學生的唯物辯證法教育滲透力度，提高課堂教學中辯證思維教育含量。聯系學生實際，結合教學內容，有計劃、有目的、有步驟地把辯證思維方式傳授給學生，讓他們運用辯證的眼光去觀察、分析、解決數學問題，為學生從小樹立正確的世界觀和形成用辯證的觀點看問題的習慣奠定堅實的基礎。一、引導實踐，寓教于樂一直以來，課堂教學處處以教師為中心，學生處于被動地位，只是機械地等待著結論降臨，這是與素質教育背道而馳的做法。在實際教學中，教師要轉換觀念，尊重學生，相信學生，讓學生去摸、爬、滾、打，在實踐中發現新知，讓學生感到“我能行”。“實踐能出真知”，讓學生親自來參與實踐，摸一摸，擺一擺，拼一拼，移一移，看一看，想一想，形成豐富的感性材料，再經過大腦的加工，由表及里，由淺入深，去偽存真地辯證分析，發現其中的奧秘，總結出規律，教學效果事半功倍。如果教師不讓學生動手實踐，而是一味滔滔不絕地講解分析，學生只能是“知其然而不知其所以然”。數學知識是抽象的，教學不得法，會挫傷學生的學習積極性，會扼殺學生的實踐能力，會抑制學生的聰明才智。因此，要多給學生實踐機會，把抽象的符號化的數學知識轉化為可視、可摸的具體實物，讓學生的各種感官充分感知，在愉悅的情景中獲得知識。二、靈活轉化，激活思路小學數學是一門系統性、邏輯性很強的學科，各數學知識點之間聯系緊密，組成一個既對立又統一的完整的網絡體系。教學時，教師要引導學生用聯系的觀點去分析一些數學的問題，并適時轉化，思維就會被激活，思路就會得到拓展。如，我教完“比的應用”這一小節后，設計了下面一題：甲、乙兩數相加，和是240，相除，商是0.6。甲、乙兩數各是多少？這種“按比例分配”的變式題，開始大部分學生感到“無從下手”。我啟發學生聯想到除法與比、分數三者之間的聯系，然后相互轉化，經過從不同角度思考分析轉化，得出諸多不同的解答方法。三、打破常規，激發興趣小學生往往根據已有經驗去思考問題，容易被許多司空見慣的虛假現象迷惑，產生思維定勢。思維定勢會幫助他們解決一些數學的問題，如學生學習百分數應用題時，可以應用學過的分數應用題的解法去類推，學生就輕而易舉地掌握了百分數應用題的解答方法。但有時也會將他們引入誤區而不能自拔。我們應該善于引導學生用辯證思考方法，透過現象，抓住本質，消除定勢，讓學生用發展的、的、變化的觀點去思考問題。四、勇于探索，培養創新數學教學中要對學生滲透辯證思維教育，必須讓學生堅持實事求是的科學態度，一切從實際出發，理論聯系實際，善于思考，勇于探索，發現新知。學生掌握了辯證思維方式，就能不斷地發現問題，地研究問題，提出解決問題的新策略。如：教學整數除以分數應用題：“一輛汽車2/5小時行駛18千米，照這樣計算，1小時行駛多少千米？”當學生掌握了根據行程問題三種數量關系列出算式，再推導出計算方法后，我沒有罷休，利用這道題，讓學生發揮聰明才智，大膽探索，尋求新的解題策略。用語言激勵他們：看誰還會用其他方法解答出來？學生們躍躍欲試，動手畫示意圖，根據圖意尋找聯系。經過一番探求，學生得出以下幾種新穎解答方法：①18÷0.4②18÷2×5③18＋18÷2×3④18×5÷2⑤18＋18×3÷2⑥18×1÷2/5⑦設每小時行X千米，列方程2/5X＝18。學生的探索過程，實際上是在不斷進行辯證思維的過程，邊探索，邊獲取新知，逐步完善認知結構。加強對學生的辯證思維能力的培養，有利于喚起學生的創新意識。教師要充分創造條件使學生產生辯證思維欲望，并適時加以指導同時建立相應有效的激勵機制，學生辯證思維能力就會得到很好發展。
數學教育論文:數學教育與學生整體素質的提高
從我國當前基礎教育改革的重點出發，把數學教育的改革同學生整體素質的提高聯系起來，使數學教育在 提高學生素質上發揮更大的作用，是一個重要的研究課題。數學教學的任務不僅是數學知識的傳授和能力的培 養，也同樣擔負著提高學生整體素質的多項任務。
一、數學教育在提高學生整體素質上的重要作用
數學學科的基本特點，決定了通過數學教學可以從多方面、多角度培養學生，促進學生整體素質的提高。 主要表現在以下一些方面：
1．數學是學生不可缺少的基礎知識和基本技能。
隨著科技的發展，社會的進步，對基礎的理解也在不斷地變化，數學的基礎知識和基本技能的范圍和內容 也在發生著變化。在由“應試教育”向素質教育轉軌的教育改革中，如何使數學教育的內容更適合未來人才素 質的要求，是一個應當引起人們重視的、迫切需要解決的問題。
2．數學是訓練學生思維、提高學生智力水平的重要學科。
數學高度的抽象性和嚴謹的邏輯性，決定了數學這門學科在訓練學生思維、培養學生能力方面有著特殊的 作用。以往的小學數學教學在這方面積累了豐富的經驗，為適應教育改革的需要，還應該進一步研究數學教學 中學生能力培養的問題，制定出具體的、可操作的教學方法和評價方法。
3．數學對于培養學生良好的非智力因素有著特殊的意義。
現在社會信息的快速增長、科技的高速發展，競爭的日益加劇，要求培養出的學生不僅有扎實的文化基礎 ，而且還有敏銳的思考力、強烈的求知欲、廣泛的適應力和頑強的意志力。這些良好的心理品質要通過多種渠 道對學生進行教育，而數學無疑是培養學生這些心理品質的好的學科之一。在數學的學習過程中，通過對數 學的基礎知識的理解和掌握，學生可以學會許多重要的思考方法。通過精心設計不同層次、不同類型的數學問 題，學生在解題的過程中，鍛煉了意志品質和精益求精的態度。特別是那些需要學生經過周密思考，反復研究 才能解決的問題，更有助于培養學生的意志品格和克服困難的精神。
二、以提高學生素質為目標進行數學教育改革
數學教育的改革要超越數學學科本身的限制，以提高民族素質為目標，從整體上思考數學教育內容、方法 等一系列改革。
1．完善課程內容。
建國以來，我們的小學數學教學內容經過幾次較大的修改，可以說從總體上基本符合社會的要求，但是從 未來社會發展的需要，從提高學生整體素質的高標準出發，數學教材的結構、要求和具體的內容還應該作進一 步的改革和完善。從總的說應該在兩個方面下功夫：一是加強和改進聯系學生生活實際的內容；一是體現或滲 透現代化的內容。
數學教育的大眾化、生活化，這是當今數學教育改革的一大趨勢。我們希望培養和造就更多數學家，但是 基礎教育中數學教育的根本目的不是培養未來的數學家，而是使未來的每一個公民接受必需的、有用的、能夠 學會的數學。數學本身是抽象的，但數學的原型是具體的，是來源于生活實際的。抽象的數學知識可以用具體 的事物、具體的情境表示出來，由具體到抽象、由學生生活實際中的事物出發，就會使大多數學生感到數學不 是那樣神秘、那么遙遠。
教學內容中體現大眾的數學、生活的數學，就要對數學的教材結構進行調整。要進一步精簡繁難的內容， 適當地引入具體的內容，貼近生活的內容。比如，隨著科學技術的發展，計算工具越來越多，越來越普及，在 生活實際中需要計算的時候，人們更多地是用到估算和簡單的計算，而比較復雜的計算可以借助于計算器和計 算機等計算工具來完成。因此，在小學數學教學中有關計算的內容應該作進一步的調整。學生要掌握計算的基 本原理和方法，遇到一個具體問題要知道用什么方法去解。同時要比較熟練地掌握基本的口算和筆算。在這個 基礎上，學生要學習一些估算和近似計算的方法。教學內容和教學結構進行適當地調整，就能保障學生學會這 些解決具體的數學問題的操作策略。
在數學教材內容中加強與學生生活實際相關的內容，更能夠提高學生的學習興趣，培養學生對數學的情感 和求知欲。學生看到所學的內容與發生在自己周圍的事情直接相關，就會使他們感到自己每天都可以接觸到數 學問題，數學并不神秘，從而增強學好數學的自信心。
數學教育的現代化問題，早在50年代末60年代初開始的“數學教育現代化運動”中，就非常尖銳地提 出并在實踐中付諸實施。當時所提出的觀點和方法，至今對數學教育的改革還起著重要作用。傳統的小學數學 教學內容，主要是17世紀以前就已經形成了的數學體系。這些內容中許多仍是現在的學習與生活所必須的， 但隨著科學和數學的發展，僅掌握傳統的數學知識和方法是遠遠不能適應現代社會需要的。對教育內容的現代 化，應該理解為兩個方面的含意。一是引入現代數學的內容；一是用現代數學的一些觀點和方法去認識和理解 傳統內容中的某些問題。實踐表明，只能少量地增加前者的內容，過早或過多地直接引入現代數學的內容，效 果并不好。而教改實踐表明，結合有關內容體現或滲透一些現代數學的思想和方法，不但在實踐中可以辦 得到，而且還有利于學生對相應知識的理解和掌握。用現代數學的一些觀點和方法表示有關的內容，使學生在 理解這些知識內容的同時，對所反映出來的數學思想和方法也有了一定的認識。這為學生用現代的數學方法思 考問題，特別是將來進一步學習打下了基礎。
2．更新數學方法
未來社會的發展要求學生具有探索精神、適應能力、創造能力、操作能力和分析問題解決問題的能力。數 學教學方法的改革應該在培養學生適應未來社會的能力上下功夫。學生在校的學習時間是有限的，他們走向社 會以后，需要學習新的知識，掌握新的方法，適應新的環境。這一切都需要學生在掌握必要的基礎知識的同時 ，具備獨立地學習新知識、探索新問題的能力。從這個意義上來說，更新小學數學教學方法的著眼點，應該放 在培養學生的獨立思考能力、實際操作能力和解決實際問題的能力上。在實際教學中要提倡活動式、啟發式、 問題解決式的教學方法。
活動式教學方法就是在教學中給學生提供具體活動的材料和活動的情境，讓學生有機會參與對數學知識的 探索、發現和認識的過程。運用這種方法，學生的學習過程不是被動地獲取知識，不是簡單地接受現成的數學 概念和方法，而是主動地去認識數學的概念和原理。學生在活動中能夠親自體驗到知識的發生和發展過程，能 夠通過自己的活動和師生之間、同學之間的交流，積極主動地探索和思考。從而培養學生的參與意識、探索精 神、獨立思考能力和動手操作能力。運用活動式教學法需要解決兩個問題，一是為學生準備與教學內容和學生 特點相適應的活動材料；二是為學生創設活動的情境。
數學教育論文:義務教育階段數學活動課程設計
——兼及數學選修課程的思考
國家教委制定的《九年義務教育全日制小學、初級中學課程計劃（試行）》（以下簡稱《課程計劃》）， 已將活動課正式納入課程內容，把義務教育階段的課程（國家安排）設置為學科類和活動類兩部分，使得課堂 內外、校園內外的教育和教學活動有機地結合起來，更加有利于學生的自由發展。這一開放式的素質教育 課程模式，充分體現了現代教育的社會教育特征，是發展基礎教育、貫徹教育方針的重要舉措。
隨著義務教育的普及，初中畢業應成為每個公民人生旅途的中轉站，社會需要的分流點。數學教育不 僅要給初中畢業生以“雙基”和能力的素質，還應使之獲得相應的特長（這特長是技能的提高、是專長的基礎 ），以切實幫助學生順利地步入新的人生旅程。這是義務教育及《課程計劃》的精神實質。既有素質又有特長 的人，在下一世紀必定具備更強的生存能力，更能適應社會發展的需要。
課程即課業（教學內容）的進程，是為達到教育目標而規劃出的學生與教學內容、教學資源及教學過程之 間的相互關系。我們期望課程的學科和活動兩個系統合理設置，產生多種價值。筆者認為按“人人掌握有用的 數學”的要求優化學科課程以培養素質，開設活動課程以發展特長，并進行有關學科和活動的考核，應該 是一種可取的思路。我們應該樹立、科學的課程觀，讓學科和活動這兩個輪子一起旋轉，切實發揮它們的 整體功能，并設置選修課程以促進學生健康成長，使義務教育階段的數學教育走上一條“愉快”教育與“成功 ”教育結合的道路。
義務教育階段盡管存在小學后的分流情況，但從教育戰略、課程策略及培養目標來說，義務教育階段有著 鮮明的整體性，小學和初中不應該各自為政。本文擬出義務教育階段數學活動課程設計，并兼及數學選修課程 的思考，以求拋磚引玉，促進《課程計劃》的順利實施。
一、關于數學的活動課程（特長性、應用性、趣味性）
（一）活動認識
我們應該確認：活動課程是以學生發展、知識體系及社會需要等因素為依據，在教師指導下，通過學生的 主動活動，以獲得直接經驗和實踐特長為主的課程。通常稱謂的課外活動，是彈性極大的一種輔助性學科課程 形式或思想品德教育活動。這里，“課外”指的是國家安排的正式課程之外，“活動”泛指各地安排的各種教 育性非正式課，故課外活動與活動課程不可同語。活動課程的開設意義不在于它與杜威當年搞的“活動課程” 究竟有何異同，而在于它對學校教育教學工作的獨特功能及其有效、順利地實施。
“活動在實施發展教育中與學科相輔相成”，它們是同一促進學生發展過程的兩個不同方面。學科課 程以培養素質、打好基礎為主旨，編排上側重知識本身的邏輯順序，其教學中間或進行的實驗、參觀、演示、 練習等直觀性活動，是理性間接經驗習得過程中必要的感性認識；活動課程則以增長才干、發展特長為主旨， 它強調學生認知發展的心理順序，注重學生的親身實踐，以直接的體驗、探究及發現為認識途徑。
《課程計劃》設置的活動有：晨（夕）會、班團隊活動、體育鍛煉、科技文體活動、社會實踐活動和校傳 統活動等。按其“活動設置的基本要求”可知，科技文體活動屬于技能性活動，其它活動為常規性活動。科技 文體活動的目的是“使學生增強興趣，拓寬知識，增長才干，發展特長”。這里，“發展特長”既是出發點又 是歸宿，我們應該確立將《課程計劃》中的技能性活動上升為特長性活動的實施思路。由于數學的“三性”特 點（尤其是廣泛的應用性），以及現代社會對基本數學（不同于基礎數學）的普及需要，筆者認為應設立專門 的數學活動課，以發展學生的普及性數學特長。這種特長對小學、初中畢業生來說，是已獲得知識的應用，是 已具有技能的提高，是進一步發展專長的基礎，能使他們順利地適應社會需要和社會發展（義務教育數學教學 大綱明確了數學的應用問題，并安排了與解直角三角形和統計有關的實習作業，但遠沒有上升到特長課的位置 ）。
（二）設置思路
國內已開展了不少數學活動試驗，如數學競賽、電腦學習、速算訓練等等，還有綜合的應用性問題的有關 數學活動也在各地有所開展，它們不同程度地增強了學生的數學應用意識。如北京市1993年舉辦了首屆“方正 杯”中學生數學知識應用競賽，并于1994年暑期編出了以數學應用為內容的初中課外活動教材。而應用性問題 十分復雜，若把它作為一個以社會為基礎的綜合課題來研究實施，要求每個學生接受的應用性訓練，則有 可能把數學教育改革引入一個新的誤區，將學生推入一個新的苦海，80年代的應用題考試給當時帶來的結果就 是例證。因為這實在是
企業（用人單位）、社會及數學教育工作者對學生要求得太過分了，也不符合義務教育 及“大眾數學”的精神。
現代社會確是人人需要數學，義務教育階段正是實現“大眾數學”目標的及時階段。如何設置、開展這一 階段的數學活動才是合理、可行的呢？筆者建議在突出特長性，注重應用性，貫穿趣味性的原則下，將義務教 育階段的數學教學內容與社會發展需要及學生個性發展結合起來，設置較為完整、、獨立的特長性數學活 動，供學生選擇參加（每個學生選學其中兩門活動課），以使學生成為各具特色的“標準件”，讓人人都有個 性健康發展的天地。數學活動的課程門類和內容編排在整體上還要符合以下四點：
1.具有系統的應用體系。即與一定的特長目標相關聯，有助于學生增長才干并習得一技之長，進而使學生 順利走向社會生活或進一步學習發展，切不可為了活動而活動。
2.緊扣學科教學大綱。學科教學大綱的內容編排本身蘊涵了學生認知發展的心理順序，我們可以依照數學 學科教學大綱的知識單元（適當調整或拓寬），配以相關素材設計，安排數學活動，以充分利用學科課程的知 識技能及其業已獲得的成熟性，降低活動課師資培訓的難度。可以明確，活動特長與學科內容的相關性越強， 它們的整體功能會越大。
3.合乎有效學習的基本原理。要有利于激發學生的學習興趣，體現認識規律（顯現認識的三個層次：是什 么、為什么、怎么用）；展示探究過程（理性地再現知識生成過程，通過循序漸進的思維階梯使知識、情感、 意志相互結合，幫助學生形成自學能力）；實施活動方法（使經驗、思維、方法融為一體，讓學生獲取終身受 益的精神文化力量和實踐能力）；內化教學功能（要易于反饋、遷移，實現知之好之樂之的轉變，便于學 生自學）。
4.體現“五育”整合的功能。特長性數學活動遵循“外因通過內因而起作用”的哲學基本理論，其教學應 該使學科教育培養的認識能力得以升華，不斷發展學生的創造性實踐能力，這是具有深層意義的智育；學生的 主動活動，應是實現由道德認識向道德行為習慣轉化的實踐活動，也是學生理解規則、體驗美感、領略自由的 實踐過程，成為德育和美育的現實途徑；活動課無疑要有助于學生身心的和諧發展，它本身就是體力、意志力 的鍛煉與運用，有利于人腦兩半球機能的平衡協調發展，從而促進學生智慧潛力的開發；活動實踐中每一個物 化的勞動成果，都將有力地完善著學生的個性和人格。
數學教育論文:數學史的教育價值和具體應用
隨著數學、科學技術和社會的發展,人們對數學有了越來越深刻的認識,對數學和數學教育、數學史與數學教育的關系有了越來越深刻的認識,對數學教育取向的數學史研究及其教育價值的發揮也越來越重視。本文就數學教育取向的數學史的學科性質,它與數學教育的密切聯系,怎樣通過數學史學習加強數學教育、發揮數學史的教育價值,以及融數學史與數學教學中存在的困難和問題做初步探討。
1、數學史的學科性質
數學史是研究數學發展歷史的學科,是數學的一個分支,也是科學史下屬的一個重要分支。數學史與數學研究的各個分支、社會史、文化史的各個方面都有著密切的聯系。數學史研究數學原理、概念、思想和方法等的起源與發展,及其與社會、政治、經濟和一般文化、教育的聯系,它不僅追溯數學原理、概念、思想和方法的演變、發展過程,而且還探索影響這種過程的各種因素,以及歷史上數學科學的發展對人類文明所帶來的影響。數學史的研究對象不僅包括具體的數學內容及其發展的歷史分期,而且涉及歷史學、哲學、文化學、教育學、宗教學等社會科學與人文科學內容。因此,數學史是一門綜合性、交叉性學科。
本文所指的數學史,不是那種為歷史而研究歷史的純數學史,而是為教育而研究歷史的數學史,也就是數學教育取向的數學史,其關注點側重于以對數學發展作出貢獻的著名歷史人物的可歌可泣的、豐滿鮮活的數學創造事跡為載體,追溯數學原理、概念、思想和方法的演變、發展過程,探索影響這種過程的各種因素,以及歷史上數學發展對人類文明所帶來的影響。
2、數學史的教育價值
數學是歷史最悠久的人類知識領域之一。從遠古屈指計數到現代高速電子計算機的發明,從量地測天到抽象嚴密的公理化體系,在五千余年的數學歷史長河中,重大數學思想的誕生與發展確實構成了科學史上最富有理性魅力的題材。與自然科學相比,數學更是積累性科學,其概念和方法更具有延續性。數學已經廣泛地影響著人類的生活和思想,是形成現代文化的主要方面。因而,數學史是從一個側面反映的人類文化史,又是人類文明史的最重要的組成部分。許多歷史學家也通過數學這面鏡子,了解古代其他主要文化的特征與價值取向。
數學科學作為一種文化,不僅是整個人類文化的重要組成部分,而且始終是推進人類文明的重要力量。對于每一個希望了解整個人類文明史的人來說,數學史是必讀的篇章。可以說不了解數學史就不可能了解整個數學科學。數學史在整個人類文明史上的這種特殊地位,是由數學作為一種文化的特點決定的。數學史無論對于深刻認識作為科學的數學本身,還是了解整個人類文明的發展都具有重要意義。
數學史在數學教育中的重要作用早在19世紀就已經被一些西方數學家所認識。法國著名數學家亨利·龐加萊(J.H.Poincare,1854~1912)指出:“如果我們想要預見數學的未來,適當的途徑是研究這門科學的歷史和現狀。”[1]數學史家卡約里(Cajori,1859~1930)說:“數學史的重要性表現在數學為人類文明所作出的貢獻。
人類進步與科學思想的發展密切相關,數學與物理的研究乃是智力進步的記錄。”[1]
19世紀末以后,歐美眾多著名數學家、數學史家和數學教育家都提倡在數學教學中直接或間接地利用數學史,數學史的教育價值受到數學家們的大力提倡。[2]
在1904年德國海德堡召開的第三屆國際數學家大會上,美國著名數學史家、數學教育家史密斯(D.E.Smite,1860~1944)與其他國家的幾個數學家、數學史家和數學教育家在提出的一項決議中指出:“數學史在今天已成為一門具有無可否認的重要性的學科,無論從數學的角度還是從教學的角度來看,其作用變得更為明顯,因此,在公眾教育中給與其恰當的位置乃是不可或缺的事。”該項決議希望在大學里開設精密科學史課,包括數學與天文學史、物理與化學史、自然科學史、醫學史四部分。該項決議還建議在中學課程中介紹精密科學的歷史。[3]
到了20世紀70年代,數學史對數學教育的重要意義已成為西方數學教育家們的共識,數學史與數學教育之間關系的理論研究也引起廣泛關注并提到了國際數學教育的議程中。1972年,在第二屆國際數學教育大會上,成立了數學史與數學教學關系國際研究小組(簡稱HPM,1976年開始隸屬于國際數學教育委員會),這標志著數學史與數學教育關系作為一個學術研究領域的出現。[3]
在我國,數學史的教育價值也早已被一些學者所認識。近年來,論述數學史教育價值的文章不斷增多,在數學教學中融入數學史的呼聲越來越強烈,特別是《普通高中數學課程標準(實驗)》的頒行把數學史融入數學教學的行動從幕后推到了前臺。2005年5月在西安召開了我國及時屆數學史與數學教育會議,這表明,數學史與數學教育這一領域已經得到我國數學史與數學教育界的普遍關注。
總之,數學教育取向的數學史的教育價值早已被人們所認識,關于數學史與數學教育的關系的研究正在不斷深入,融數學史于數學教學已經從理念逐步變為行動,也成為通過數學教育對學生進行德、智、美育的切入點。通過數學教育取向的數學史的學習,進一步認識數學史與數學教育的內在密切聯系,在數學教育教學過程中發揮數學史的教育價值,優化學習者的知識結構,提高人才培養質量。
概括而言,數學教育取向的數學史的教育價值主要在于以下幾個方面:
2.1 給數學教學積累豐富的教育性資料
數學具有嚴謹的邏輯性、高度的抽象性、應用的廣泛性、深刻的文化性、知識的延續性、獨特的優美性等特點。作為數學教師,只有通過數學史積累豐富的教育性資料,才能獲取相關知識點(如,數學概念、公式、定理和方法等)的教學啟示,為豐富和活躍數學教育教學活動打好基礎。
數學史對于數學教師而言不僅是教學中必需的知識,而且也是形成數學思想和方法以及培養專業精神和科學探索精神的源泉。
荷蘭著名數學史家迪克斯特休(E.JanDijk-sterhuis,1892~1965)強調數學史在師范教育中的重要作用時指出:“中學數學教師的主要任務是向下一代傳授數學知識,并且,如果可能的話,激起他們對于人類千百年以來在該領域中所取得成就的熱愛與崇敬。對于這些師范生來說,關于這門學科歷史演進的知識乃是一種財富,這種財富不僅是寶貴的,而且是不可或缺的,它---自然還需要掌握現代數學知識---將使他們能夠令人滿意地完成自己的職責。他們經常需要去關心過去數學發展的各個階段,他們必須把這些階段講得清晰一些,對孩子有吸引力一些。孩子們必須通過這種方式得到思維的訓練。”
2.2 為數學課程和教學設計提供豐富的史料
近幾年來,在國內外數學教育改革中,強調數學的文化價值,使數學史知識得到廣泛的關注。
數學史已成為數學課程和數學教學設計的豐富史料,已成為數學教學內容的有機組成部分。
《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出“數學文化作為教材的組成部分,應該滲透在整套教材中。為此,教材可以適時地介紹有關背景知識,包括數學在自然與社會中的應用,以及數學發展史的有關資料,幫助學生了解在人類文明發展中數學的作用,激發學習數學的興趣,感受數學家治學的嚴謹,欣賞數學的優美。”《普通高中數學課程標準(實驗)》把“數學史選講”作為選修課加以開設,并在理念部分指出:“數學是人類文化的重要組成部分。數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢,數學對推動社會發展的作用,數學的社會需求,社會發展對數學發展的推動作用,數學科學的思想體系,數學的美學價值,數學家的創新精神。數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用,逐步形成正確的數學觀。”在選修課系列3-1“數學史選講”中列出了可供選擇的11個專題,并提出了具體要求:“通過生動、豐富的事例,了解數學發展過程中若干重要事件、重要人物與重要成果,初步了解數學產生與發展的過程,體會數學對人類文明發展的作用,提高學習數學的興趣,加深對數學的理解,感受數學家的嚴謹態度和鍥而不舍的探索精神。”“完成一個學結報告。對數學發展的歷史軌跡、自己感興趣的歷史事件與人物,寫出自己的研究報告。”“本專題由若干個選題組成,內容應反映數學發展的不同時代的特點,要講史實,更重要的是通過史實介紹數學的思想方法,選題的個數以不少于6個為宜。”這將會大力推動數學史和數學教學的融合,進一步發揮數學史的教育價值。[4][5]
2.3 深化對數學原理、概念、思想和方法的理解
數學有產生發展的特定歷史過程。只有懂得數學發展史,才能深刻理解數學。在數學教學中融入數學史內容,讓數學教學鮮活起來,有助于學生對數學概念、方法和原理的理解與認識的深化,幫助學生理解數學及其價值,形成正確的數學觀。數學家研究數學的時候帶著激情在思考,一旦研究有了確切結果,呈現在我們面前的則是冰冷的美麗學術形式。因此,我們要通過數學史的學習,了解當時的數學家為什么和如何研究數學。一個數學原理、一個具體的數學概念,一個有效的數學思想方法究竟是怎樣產生的?一個數學符號是怎樣演變形成的?為什么古希臘人要用公理化方法展開數學,從而形成演繹幾何體系?
他們所處的時代背景如何?中國古代數學的特點和古希臘數學的特征有何不同?等等。弄清這些問題,對學生理解數學很有好處。在這方面,值得研讀的數學名著之一是美國著名數學史家M·克萊因(KlineMorris,1908~1992)1972年出版的著作《古今數學思想》(1979年有中譯本)等。
丹麥數學家、數學史家鄒騰(H.G.Zeuthen,1839~1920)早在1876年的一篇數學史論文中就強調數學專業的學生學習數學史的必要性,他指出:“學生不僅獲得了一種歷史感,而且,通過從新的角度看數學學科,他們將對數學產生更加敏銳的理解力和鑒賞力。”[3]對于一個數學教師而言,如果沒有數學史方面的知識積累和修養,很難把數學課上好。
2.4 激發學習興趣和愛國熱情
融數學史于數學教學,使學生了解數學與人類文明發展的密切關系,可以激發學生的學習興趣,活躍課堂氣氛,提高教學效果。數學史可以使學生了解數學的發展,了解中國古代數學的輝煌成就,了解中國近代數學落后的原因和中國現代數學研究發展的現狀,充分介紹中國現代數學家的貢獻,以激發學生的愛國熱情,培養胸懷寬廣的奉獻精神,振興民族科學。華羅庚(1910~1985)、陳景潤(1933~1996)、陳省身(1911~2004)等著名數學家的光輝事跡,中學物理教師陸家羲(1935~1983)在數學研究上取得的成就和獻身精神等等,不僅是進行數學專業教育的典型材料,而且是進行思想教育、啟發人格成長的良好材料。實現數學教育的德育功能,數學教育取向的數學史學習是不可缺少的內容。數學是全人類的共同財富。在科學發現上,各個國家和各個民族應該彼此借鑒,互相學習,共同提高。要把外國的一切文化,包括數學成就都充分尊重,吸收過來。“洋為中用”,為祖國建設服務,實際上就是愛國主義教育。
人類的數學文明最早起源于巴比侖,其次是埃及。巴比侖的泥板、埃及的紙草書上的數學記載都在公元前1000年以上。即便是后來的古希臘的數學文明也遠早于中國。中國古代數學雖然出現得比地中海文明要遲許多,但是具有自己的特點,同樣為人類作出了重要貢獻。我國著名數學家吳文俊院士曾經十分深刻地指出,中國古代數學的傳統是“算法數學”.中國算學雖然缺乏古希臘式的公理化演繹體系,卻十分地用算法的形式表達出來。20世紀70年代,吳文俊從研究中國古算受到啟發,并結合現代計算機技術進行思考,發展出了世界經驗豐富的“數學定理機器證明”方法(世稱“吳方法”)。這樣的古為今用,才是真正的愛國主義,才能真正激發起民族自豪感。
2.5 強化應用和創新意識
提高學生對數學的宏觀認識,數學教師的任務不僅要把書本上的內容講清楚,還要對數學發展的來龍去脈有清楚的介紹。一個的教師,不僅要授人以業,還要授人以法,進而授人以道。
教師要掌握這些“法”和“道”,必須宏觀地理清數學發展的脈絡,深入理解數學的本質。
對于進行數學創新來說,數學史研究更具有指引作用。數學史中記載了許多數學家發明發現的生動過程,向學生介紹這些過程,有助于學生理解掌握創造的方法、技巧,從而增強其創造力。如公元263年,劉徽對我國數學古籍《九章算術》的注釋中提出了計算圓周長的“割圓”思想。“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體,而無所失矣”,這些對極限思想的樸素生動的描寫,對后人是一種創新激勵。大量的數學史料,對于培養學生堅韌不拔的探索精神,形成良好的認知結構和知識結構都具有重大意義。
2.6 提高人文修養
許多數學家都是文理兼修的飽學之士,他們都具有辯證的認知結構和文理貫通的知識結構。因而,歷史上數學家的業績與品德也會在青少年的人格培養上發揮十分重要的作用。在高等學校里,通過數學史學習,可以使數學系的學生在接受數學專業訓練的同時,獲得人文科學方面的修養,文科或其它專業的學生通過數學史的學習可以了解數學概貌,獲得數理方面的修養。通過數學史學習可以對學生進行人文教育,進行美育熏陶。在中小學數學教育中恰當地融入數學教育取向的數學史,對學生進行人文教育和美育熏陶,是數學課程改革中值得重視的一個重要課題。
3、在數學教學中融入數學史應注意的問題
如何在基礎教育數學教學中滲透數學教育取向的數學史,是一個國際數學教育界共同關心的問題。1998年,國際數學教育委員會在法國馬賽組織了一次“數學史與數學教育”的專題研討會。
這次會議的主題是數學文化,要求數學教學充分反映數學的文化底蘊,從課程內容,概念形成,證明方法,習題配置等各個方面,多方位地使數學史融入、豐富和促進數學教學。
數學文化觀念下的數學史教學,要把握各民族文化發展的歷史進程,看到世界各國的科學技術是如何各自發展,又如何彼此融合,互相促進。
數學是人類追求真理的文化結晶。我們要從數學史中汲取對我們今天有用的文化內涵。
3.1 融數學史于數學教學應重視科學性、實用性、趣味性和廣泛性
(1)科學性是指教師向學生傳授的數學史知識必須是正確的。應該尊重歷史,尊重事實,既不可隨意編造,也不能無端拔高,更不可進行藝術加工,不可把數學史當作故事,隨意虛構。
(2)實用性是指所講的數學史對學生的數學學習及將來工作有直接幫助作用。例如,初等數學中的數的起源與記法、發現無理數的過程、圓周率、勾股定理、笛卡爾對直角坐標系的貢獻等等;高等數學中的微積分的概念、函數的概念、非歐幾何的創立,不僅史料豐富,而且內容精彩,非常適合于課堂教學,對學生理解所學的知識有很大的幫助。但受課時的限制,所選內容要精當,要有所側重。
(3)趣味性是指課堂教學要有趣味,學習內容可以激發學生的學習興趣。數學史上驚心動魄、引人人勝的例子不勝枚舉,教師應恰當選材,使課堂教學娓娓動聽。講授時要合理地運用語言,全身心地投入表達,語調與情節配合,知識性與趣味性共生,應避免照本宣科或嘩眾取寵,要寓教于樂,注重實際效果。
(4)廣泛性是指選取的數學史知識要涉及面廣。數學是幾千年來全人類孜孜以求、不斷探索、歷盡千辛萬苦共同取得的理性財富。在整個數學科學發展長河中,數學是在人類社會變革推動之下,各國數學家相互交流學習,共同探索的結果。因此,在進行數學教育取向的數學史教學時注意選擇不同時期、不同國度的史料。這樣才能地、真正地、地展示數學史的全貌。
3.2 融數學史于數學教育關鍵在教師
(1)教師應有廣博的數學史知識以及政治、經濟、哲學、文化、歷史、地理等多方面的知識,教師應加強數學史知識的學習和多學科知識的充實,豐富自己的閱歷。這樣講課才能得心應手,將課講活講透。不能將數學史知識生搬硬套地應用到數學教育中。
(2)數學史知識是穿插在授課內容中的,不能喧賓奪主,應以完成授課計劃為主。在授課過程中自然引出,不應過分渲染,忽視了正常的教學內容。正確把握好數學史和課堂教學內容的主次。
(3)除課堂教學外,應為學生提供適當的參考文獻,引導學生閱讀課外讀物,例如,各種專題論述、人物介紹、學科進展等,使學生開闊眼界,啟發和引導學生進行正確閱讀,繼而進行自學,使學生終身受益。
(4)數學史中教書育人的作用是其他數學課無法取代的。這要求教師應有積極主動的態度,為人師表,在理想、道德、情操方面為學生樹立榜樣,提高學生的數學素質和思想素質,要把愛國主義和國際意識統一起來。
3.3 努力改變“高評價,低應用”的現象
如何將數學史融入數學教學,是近幾年來國際上數學史與數學教學關系國際研究小組(HPM)關注的中心話題,一些國際知名的HPM研究者相繼對數學史融入數學教學的層次、過程、形式和途徑進行了深入探討。但是,由于數學教育的復雜性及其現實條件,真正具有普遍推廣價值的研究結果比較少。在我國,盡管有很多學者大聲呼吁“應該講點數學史”,而探討如何去做的實質性試驗研究明顯偏少。于是,世界各地在融數學史于數學教學方面不同程度地都存在“高評價,低應用”的相悖現象。這個問題在我國進行基礎教育數學新課程改革的今天顯得更加突出。
究其原因,從數學教師的角度來看,主要有“四無”,即手頭無資料,胸中無知識,課程中無設計,課堂上無時間;從考試的“指揮棒”作用上來看,主要有“三不”,即考試不要求,平時不檢查,學生不愿意花時間;從教學資源方面來看,主要有“二少”,即研究投入少,教學案例少。因而導致教學資源(包括顯性的和隱性的)不足,進而影響學生綜合素質的提高。因此,我們要增強教學資源開發意識,加強試驗研究,努力改變“高評價,低應用”的相悖現象。國家數學課程標準的頒行,考試制度的改革,將會對融數學史于數學教學、發揮數學史的教育價值有一個實質性的推進。
數學教育論文:[小學數學]對小學數學教育幾個問題的思考
在國際上，數學教育始終都是備受關注的領域。在基礎教育課程體系中，小學數學一直處于重要位置。隨著新世紀的到來，數學科學本身有了大的發展，人們對小學數學教育的要求也發生了變化，小學數學教育面臨巨大挑戰，理論上與實踐上日益暴露出很多復雜的矛盾沖突。
一、關于滿足學生興趣需要與小學數學教育的強迫性之間的矛盾沖突
在教育問題上，經常會出現這樣的情況，矛盾和沖突的雙方似乎都有一定的合理性。滿足學生的興趣和需要與小學數學教育的強迫性就是這種矛盾的雙方。現代社會要求尊重每一個學生的權利，尊重學生的興趣和需要。它是現代教育的一個原則。然而，捫心自問，對學生真正需要和感興趣的事情，我們成人無論如何努力，恐怕永遠都不能地滿足他們。對一個具有強烈的社會責任感的教師而言，出于長遠考慮，從社會和國家的要求出發，有時會強迫學生服從教師的意志，聽從教師的安排，尤其是在基礎教育階段更是如此。在小學階段，數學教育具有基礎性和普及性，是一種為學生打基礎的教育，是要求人人都要接受的普通教育。當學生對數學缺乏興趣時，滿足學生興趣需要與小學數學教育的強迫性之間的矛盾就顯得更為突出。
事實上，我們無法否認有一部分學生是極其喜愛數學的，哪怕有升學的壓力和高分的誘惑，對這些孩子來說，熱愛數學是首要的學習動力源泉。但同時，我們也得承認有相當一部分學生是不喜歡數學的，甚至還有極少一部分學生是厭惡數學，一聽到數學就頭疼的。對這些學生來說，得到父母的肯定和教師的贊揚以及滿足升級、升學的要求等，則是學習數學的主要動力。遵循滿足學生需要和興趣的原則，對那些不喜歡數學的孩子，教師應該表示寬容和理解。但對孩子來說，一個能夠容忍他在數學課上看漫畫書、開小差的教師，就其一生來說，是他的幸還是不幸呢?若因教師的寬容和放任，兒童失去了更好的發展機會，等長大成人以后一事無成，他對這樣的教師是心存感激，還是心懷怨言呢?但是，反過來，如果教師對孩子實施強迫性的教育，致使他們對數學產生了一種消極的不愉快的情緒，影響了他們學習的積極性，甚至懷疑他們自己的能力，對數學產生了畏懼心理，這又豈不是得不償失?
因此，在小學數學教育上，如何既能滿足學生的興趣需要，又能達成小學數學教育的目標是一件極為困難的事情。在這一問題上，前蘇聯教育家阿莫納什維利給我們提供了很好的成功案例和積極的思想觀念。他說：“如果一個兒童學習有困難，而我們確實想幫助他，那么，最主要的事——我們應該從何人手，什么是我們應該始終不渝地信守的原則——就是使他能感到，他像所有其他兒童一樣，也是有才能的，他也有自己的特殊的‘天賦’。”[1]在這里，阿莫納什維利所謂的“應該始終不渝地信守的原則”其實就是人性的原則。這個人性的原則超越了簡單地滿足學生的興趣需要或實施強迫性數學教育的理念，既不以升級為目的，也不是簡單地滿足學生當前的需要，而是以使學生獲得自信和對學習的興趣為目的。基于此，在處理學生興趣需要與數學教育的強迫性矛盾時，我們的初步認識是既不能簡單地服從學生的興趣和需要，降低對他們的要求，也不能過分強迫學生，給學生施加升級和升學的壓力，而是要淡化要求，降低強迫性，創造一個合乎人性的學習環境，幫助學生取得進步，增強學生的自信心。
二、關于大眾數學教育與精英數學教育之間的矛盾沖突
20世紀80年代以來，國際數學教育界就存在著“大眾數學教育”與“精英數學教育”的矛盾沖突。所謂“大眾數學教育”是一種面向人人，希望使數學對大多數學生來說更有吸引力和力所能及的教育理念。在我國，主導的大眾數學教育思想認為，“大眾數學意義下的數學教育體系所追求的教育目標，就是讓每個人都能夠掌握有用的數學”。[2]其基本含義包括“人人學有用的數學”“人人掌握數學”“不同的人學習不同的數學”。[3]國家教育部2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》又將這一思想進一步闡發為：“人人學有價值的數學”“人人都能獲得必需的數學”“不同的人在數學上得到不同的發展”。所謂“精英數學教育”，就是指以培養數學精英人才為目的的數學教育，比如為大學數學專業輸送人才、培養以數學研究或應用為職業的人等。
長期以來，我國的數學教育是一種典型的精英教育。人們批評這種教育是為了個別學生的發展，犧牲大多數學生的發展利益。數學教育的內容不是學生掌握不了，就是學了也沒用。這種教育的價值是為高一級的學校篩選有能力的人，體現的是“篩子”的功能。它不能使大多數人體驗到學習數學的成功喜悅，獲得學習的自信心。但是，現代社會的發展又需要精英，需要有專業知識和專業精神的人，全盤否定精英教育的價值也是不可取的。因此，大眾數學教育強調“不同的人在數學上得到不同的發展”，就有解決大眾數學教育和精英數學教育的矛盾沖突的意思，認為大眾數學與精英教育并不對立。“恰恰相反，大眾數學意義下的數學課程提供了更為廣泛的現代數學分支的原始生長點，它為對數學有特殊才能和愛好的學生提供了更多的發展機會”。[4]在美國，大眾數學教育和精英數學教育的矛盾具體化為“公平”和“”之間的矛盾。“許多專門的計劃都在探索著如何促進公平和。其中好的計劃是對具有不同需要水平的學生提供不同水平的期望。”“提高期望可保障對一切人公平和。”[5]這也就是所謂的“數學上普遍的高標準”，是一種要求人人能數學地思考的教育觀念。
一些數學家對大眾數學思想提出質疑，[6]包括這種保障對一切人公平和的數學教育的質疑。他們的問題有：1.“這是否還是數學”。有數學家懷疑大眾數學由于過分強調問題的開放性和問題的“真實意義”，導致學生對數學的本質形成錯誤的認識，認為數學是無意義和毫無用處的，因而有人質問“大眾數學是否就意味著沒有數學”了呢?2.“(大眾)數學：一或多?”數學界對大眾數學有不同的理解。經典意義上的數學是希臘人開創的傳統，強調演繹和推理；古埃及和古巴比倫的數學傳統是“經驗的方法”；我國的傳統是“問題一算法”，強調實用、經驗歸納等。因此，人們不禁要問“我們究竟需要什么樣的大眾數學”?3.“是否人人都需要數學?”“是否人人都需要高質量的數學?”在數學家Noddings看來，“數學上普遍的高標準”不是一個正確的口號，他說：“我將幫助那些對數學有著強烈興趣的學生學習數學家觀察世界的方式，但我并不要求所有的學生‘像數學家那樣地思維’，他們應當按照自己的目標來學會如何應用數學”“除基本的算術以外，任何現行的課目都不能被認為是必要的”。
顯然，大眾數學教育和精英數學教育之間的矛盾并沒有那么容易解決。稍有一點專業知識的人都明白，一個人如果沒有精深的數學專業素養是不可能領略數學之美，透徹領會數學內蘊之深厚的。大眾數學教育所倡導的數學教育思想必須依托于數學學科的成熟發展。對個體來說，整體認識數學全貌及其全過程，具備到位的數感以及數的意識等，非得有專業訓練不可。我國基礎教育數學新課程改革要求課程內容的學習強調學生的數學活動、發展學生的數感、符號感、空間觀念、統計觀念以及應用意識與推理能力等。還有當前人們試圖通過數學教育來傳達的種種關于數學價值的闡釋，比如，“數學是一種文化”“數學是理解世界的工具”“數學是一種意識”“數學是一種思維方式”“數學是一種技術”等等，這一切對小學生來說是否是一種更高、更難達到的要求，是值得思考的。在數學教育問題上，有時要求越多，越不知如何去做，的結果就可能不盡如人意。有時抓住一點，扎扎實實，深入做下去，反而兼顧整體。
三、關于數學專家的建議與學校數學教育目標之間的差距
數學專家的期望能否直接進入學校教育領域，成為教育的目的呢?這一問題也值得討論。
1989年，美國促進科學協會出版了《普及科學——美國2061計劃》。計劃內容涉及學習目標問題。但是“參與2061計劃及時階段的數學家在本報告中提出的一些思想，將在計劃的第二階段由另一些人轉化成課程方案，這些人的職業工作使他們非常熟悉有關孩子們早期經歷的各種解釋”。[7]由此可以看到，美國2061計劃的專家建議并不是直接進入教育領域，而是通過一系列的轉化工作。任何一門學科都有極其豐富的文化價值和教育價值，但是否有價值就要進入學校教育領域呢?從目前學校的狀況來說，這是不可能的。一門科學要想成為學校的一門學科，其內容要想進入學校課程領域，必然經過一個被選擇和篩選的過程。這個篩選過程在古典課程論專家拉爾夫·泰勒那里被理解為兩個環節：一是在選擇教育目標時運用哲學。究其原因是由于達到教育目標需要有一定的時間，學校的目標應該是少量的，而不應該太多。如果試圖達到眾多目標，而實際完成的卻極少，那么，這種教育計劃是無效的。同時有些目標之間也存在一定的矛盾沖突，這樣容易引起學生的困惑，因此為了選擇少量非常重要而又互相一致的目標，必須對已經獲得的大量龐雜的目標進行篩選。而“學校信奉的教育和社會的哲學可用作及時個篩子。人們可以根據學校的哲學陳述的或隱含的價值觀，對最初列出的教育目標加以鑒別，確定那些具有高度價值的目標。”[8]二是在選擇教育目標時運用學習心理學。“這道篩子是學習心理學說提示的選擇教育目標的準則。教育目標即教育宗旨，是經過學習而得到的結果。除非這些教育宗旨是與學習的內部條件相一致的，否則它們作為教育目標是沒有價值的。”[9]泰勒的這兩個篩選教育目標的原則是針對一般的課程編制而言，是極為有價值的，對小學數學教育目標的確定也很有啟發。除此之外，筆者以為，確立小學數學教育的目標還必須考慮以下幾個方面。
首先，是促進學生發展的原則。在這點上，維果茨基的最近發展區理論給我們提供了很好的借鑒。維果茨基認為，“只有跑到發展前面的教學才是好的教學”。[10]小學數學教育目標應該設置在兒童的最近發展區內。低于兒童現實發展水平的目標要求是沒有意義的，而高于兒童明天的發展水平，任學生付出多么大的努力都不能達到的目標同樣是沒有價值的。比如，培養學生的“數感”問題、學生對數學與日常生活之間的聯系的體驗問題等，都是有層次之分的。數學專業人士所擁有的數感，以及他們所感受的數學對生活的重大意義不是所有的人都能理解和接受的。就連“數學是思維的體操”這樣一句很多人耳熟能詳的名言，恐怕也不是小學階段的孩子們能夠理解的了的。至于數學文化、數學意識、數學思維、數學技術等種種數學觀念，如何以合理的方式進入學校，以促進學生的較大發展，都是必須解決的問題。
其次，必須考慮師資條件。20世紀60年代，美國的“新數學”運動失敗了。其中一個重要的原因就是沒有充分考慮當時的師資條件。“新數學”之新是毫無疑問的，“新數學”的教育理念也是先進的、現代的，但它對教師的要求之高也是眾所周知的。盡管它也為教師提供了相應的培訓和輔助教學材料，但終因要花費大量的時間和金錢，而并沒有多少學校和教師真正采用和實施。因此，要求教師必須具備數學家的素養才能勝任的數學教育，有可能也會重蹈“新數學”運動的覆轍。
再有，經濟條件也是一個重要制約因素。比如，吳文俊院士1995年在《數學教育現代化問題》一文中說：“我今天講的這個東西是我多少年一直想講的。在好多年前，至少是1983年或者更早，我就想在中學里邊推行，可就是不敢，因為中學里邊是不能隨便講的，而且當時條件不具備，你要用計算機，可在中學里邊根本不可能。”[11]一種教育目的的達成如果需要大筆經費的支撐，而這一大筆經費又根本是個畫餅，是目前社會的經濟發展水平不能提供的，這樣的教育目標自然會因其不現實而不能達成。
四、關于小學數學教育目的的功利性與過程的非功利性之間的矛盾沖突
小學數學教育還須處理功利性目標與非功利性過程之間的矛盾沖突。教育是一種實踐活動，就其追求來說，是現實的、功利的。人類任何科學領域的內容要進入學校領域都是以其是否有價值來衡量的。然而一旦進入學校教育領域，人們要求的理想的學習方式又是非功利的。比如，美國學者要求人人都來關心數學教育時，強調的都是數學教育的功利價值，像這樣的陳述有“數學是打開機會大門的鑰匙”“它以直接的和基本的方式為商業、財政、健康和國防作出貢獻。它為學生打開職業的大門；它使國民能夠作出有充分依據的決定；它為國家提供技術經濟競爭的學問。”“對所有學生進行品質的數學教育是興旺發達的經濟所必需的”等等。[12]大多數數學專家則認為引導學生對數學本身感興趣，比對數學的應用感興趣更有價值。這是一種追求數學的內在學習價值的觀念，是非常好的。但是，對不想從事與數學專業有密切關系的專業的人們來說，我們不能不理解他們的功利追求。我們不但不反對人們這樣問：學數學對我有什么用?有時反而還要順著這一問題思考：對不想做數學家，不想從事數學專業的人來說，學數學有什么用呢?比如，泰勒認為“向學科專家提出的問題應該是這樣的‘這門學科對外行或一般公民有什么貢獻?’學科專家倘若能夠回答這樣的問題，就能作出重大的貢獻，因為他們可能具有這個專業領域大量的知識，而且其中許多人可能已有機會看到這門學科對他們自己以及對與他們一起工作的人有什么用處”。[13]美國2061計劃及時階段數學專家的小組報告的及時句話就是“本報告回答一個問題：‘當一個人到了18歲的時候，有哪些重要的數學思想是他應該知道并且明白的’”[14]而這里所謂“重要的數學思想”，“并不是按照培養數學家或者即使是培養大學生的標準來設計的”。[15]
無論是泰勒還是參與2061計劃的數學專家都盡量避免從個別“數學天才”的角度來回答上述問題，而強調數學的應用價值，使數學教育目的具有鮮明的功利追求。但在我們看來，數學教育的組織如果僅以滿足大多數外行的要求為原則，則有可能會降低數學的科學性、使數學被大眾歪曲應用，甚至對數學本身產生難以消除的誤解。因為真正理想的數學教育過程是非功利性的，在這樣的過程中，學生的學習是被數學本身的魅力和數學學習本身的樂趣所引發，學生的狀態是積極主動的、自覺自愿的。只有非功利性的數學教育過程才能充分發揮學生的潛力，因為兒童都有一種與生俱來的以自我為中心的探索性動機，正如蘇霍姆林斯基所說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探索者。而在兒童的精神世界中，這種需要則特別強烈。”[16]因此，在處理這一問題上，保持謹慎的態度不失為一種明智的選擇。我們體會，尊重數學家的建議，借鑒贊科夫的教學過程性原則，盡量挖掘數學本身的內在價值，將數學教育組織得豐富有趣，既能吸引學生，又能保障在學生力所能及的基礎上，接受具有一定難度的挑戰，可能有助于處理這一矛盾沖突。
數學教育論文:數學基礎教育中的“雙基”如何發展為“四基”
數學基礎教育中的“雙基”提法,在教育部2011年12月28日頒布的《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱為《課標》)中被發展為“四基”的提法,即從“數學的基礎知識、基本技能”發展為“數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”.那么,“雙基”提法為什么要發展為“四基”的提法?其背景是什么?“四基”提法的內涵和外延是什么?“四基”對于基礎教育的人才培養意義何在?現談談對北的一些淺見.
一、“雙基”為什么要發展為“四基”
“雙基”發展的“四基”,在《課標》中的表述為:“通過義務教育階段的數學學習,學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.”[1]
早在教育部2001年6月7日頒發的《基礎教育課程改革綱要(試行)》(以下簡稱為《綱要》)中,就規定了基礎教育階段所有課程應該努力達到的三維目標,即“知識與技能”、“過程與方法”、“情感態度與價值觀”這樣3個維度的目標.因此,義務教育數學課程的課程目標首先應該符合上述三維目標;同時,還要結合數學學科的特點把它們具體化.這種“具體化”,未必僅僅用“四基”就能夠完整、地表達.但限于文章討論的范圍和篇幅,下面只圍繞“四基”論述.
新中國的數學基礎教育,歷來重視“雙基”,即要求學生基礎知識扎實,基本技能熟練,這是正確的,其歷史貢獻也是應該肯定的,所以《課標》中的“四基”繼續保留和強調了“雙基”.但是,對于“雙基”的內容,即對于什么是學生應該掌握的“基礎知識”和“基本技能”,在“知識爆炸”的時代,在現代信息技術突飛猛進的時代,在獲取知識、技能的渠道大大增加的時代,應該與時俱進.
過去提到數學的“雙基”時,通常是指:數學的基本概念、基本公式、基本運算、基本性質、基本法則、基本程式、基本定理、基本作圖、基本推理、基本語言、基本方法、基本操作、基本技巧,等等.
但是許多年來,“雙基”概念一直在發展中深化.至2000年,中華人民共和國教育部制定的《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱(試驗修訂版)》中的表述,數學“基礎知識是指:數學中的概念、法則、性質、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學思想和方法.基本技能是指:能夠按照一定的程序與步驟進行運算、作圖或畫圖、進行簡單的推理”[2].并且,“雙基”在此已經是與思維能力、運算能力、空間觀念等相互聯系表述的.
在“知識爆炸”的時代,對于過去數學“雙基”的某些內容,如繁雜的計算、細枝末節的證明技巧等,需要有所刪減;而對于估算、算法、數感、符號意識、收集和處理數據、概率初步、統計初步、數學建模初步等,又要有所增加.這就是數學“雙基”內容的與時俱進.
那么,為什么有了“雙基”還不夠,現在還要增加兩條,成為“四基”?這可以有下面3個理由.及時,因為“雙基”僅僅涉及上述三維目標中的一個目標——“知識與技能”.新增加的兩條則還涉及三維目標的另外兩個目標——“過程與方法”和“情感態度與價值觀”.第二,因為某些教師有時片面地理解“雙基”,往往在實施中“以本為本”,見物不見人,而教育必須以人為本,新增加的“數學思想”和“活動經驗”就直接與人相關,也符合“素質教育”的理念.第三,因為僅有“雙基”還難以培養創新性人才,“雙基”只是培養創新性人才的一個基礎,但創新性人才不能僅靠熟練掌握已有的知識和技能來培養,獲得數學思想和活動經驗等也十分重要,這就是新增加的兩條.
二、關于數學的“基本思想”
使學生獲得數學的基本思想,確實應該作為數學課程的一個重要目標.數學課程固然應該教會學生許多必要的結論,但絕不僅僅以教會這些定理、公式和計算程序、解題方法為目標,更重要的是讓學生在學習這些結論的過程中獲得數學思想.數學思想是數學科學發生、發展的根本,也是數學課程教學的精髓.
但是,《課標》在這里并沒有展開闡述“數學的基本思想”有哪些內涵和外延,這就給研究留下了討論的空間.而且由于它過去并沒有被充分地討論過,所以可能仁者見仁,智者見智,不同的學者可能會有不一樣的說法.這里也談談自己不成熟的觀點,與同行交流.
數學思想的內涵和外延都很豐富,通俗地說,例如有從數學角度看問題的出發點,把客觀事物簡化和量化的思想,周到、嚴密、系統地思考問題,以及建立數學模型的思想,合理地運籌帷幄,等等.一個人進入社會后,如果不是在與數學相關的領域工作,他學過的數學定理和公式可能大多都用不到,而在學習數學知識的過程中獲得的這些數學思想卻一定會使他終生受益;雖然有些人對此是有意識的,有些人是無意識的.《課標》在這里的措詞為數學的“基本思想”,而不是數學的“基本思想方法”,這是明智的、恰當的,因為“思想方法”可能更多地讓人聯想到具體的“方法”,如換元法、代入法、配方法,層次就降低了,且沖淡了“思想”這個關鍵詞.并且,其實雙基中已經含有數學的這些具體方法.
數學的基本思想,主要有數學抽象的思想、數學推理的思想、數學模型的思想、數學審美的思想.人類通過數學抽象,從客觀世界中得到數學的概念和法則,建立了數學學科及其眾多的分支;通過數學推理,進一步得到大量結論,數學科學得以豐富和發展;通過數學模型,把數學應用到客觀世界中,產生了巨大的社會效益,又反過來促進了數學科學的發展;通過數學審美,看到數學“透過現象看本質”、“和諧統一眾多事物”中美的成分,感受到數學“以簡馭繁”、“天衣無縫”給我們帶來的愉悅,并且從“美的角度發現和創造新的數學.
當然,由上述數學的“基本思想”演變、派生、發展出來的數學思想還有很多.例如由“數學抽象的思想”派生出來的有:分類的思想,集合的思想,“變中有不變”的思想,符號表示的思想,對應的思想,有限與無限的思想,等等.例如由“數學推理的思想”派生出來的有:歸納的思想,演繹的思想,公理化思想,數形結合的思想,轉換化歸的思想,聯想類比的思想,普遍聯系的思想,逐步逼近的思想,代換的思想,特殊與一般的思想,等等.例如由“數學建模的思想”派生出來的可以有:簡化的思想,量化的思想,函數的思想,方程的思想,優化的思想,隨機的思想,統計的思想,等等.例如由“數學審美的思想”派生出來的可以有:簡潔的思想,對稱的思想,統一的思想,和諧的思想,以簡馭繁的思想,“透過現象看本質”的思想,等等.
舉例說,“分類的思想”和“集合的思想”可以是這樣由“數學抽象的思想”派生出來的:人們對客觀世界進行觀察時,常常從研究需要的某個角度分析聯想,排除那些次要的、非本質的因素,保留那些主要的、本質的因素,一種有效的做法就是對事物按照其某種本質進行分類,分類的結果就產生了“集合”.把它們上升到思想的層面上,就形成了“分類的思想”和“集合的思想”.
在用數學思想解決具體問題時,對某一類問題反復推敲,會逐漸形成某一類程序化的操作,就構成了“數學方法”.數學方法也是具有層次的.處于較高層次的,例如有:邏輯推理的方法 文秘站:,合情推理的方法,變量替換的方法,等價變形的方法,分情況討論的方法,等等.低一層次的數學方法,還有很多.例如有:分析法,綜合法,窮舉法,反證法,抽樣法,構造法,待定系數法,數學歸納法,遞推法,消元法,降冪法,換元法,坐標法,配方法,列表法,圖像法,等等.
數學方法不同于數學思想.“數學思想”往往是觀念的、的、普遍的、深刻的、一般的、內在的、概括的;而“數學方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的.數學思想常常通過數學方法去體現;數學方法又常常反映了某種數學思想.數學思想是數學教學的核心和精髓,教師在講授數學方法時應該努力反映和體現數學思想,讓學生體會和領悟數學思想,提高學生的數學素養.
三、關于數學的“基本活動經驗”
使學生獲得數學的基本活動經驗,也確實應該作為數學課程的一個重要目標.數學教學,本質上是師生共同進行數學活動的教學,所以學生獲得相關的活動經驗當然應該是數學課程的一個目標.特別是,其中有些精神“只能意會,難以言傳”,必須要學生自己在親身經歷的過程中獲得經驗;有些內容雖能言傳,但是如果沒有學生在數學活動中親身體會,理解也難以深刻.但是,《課標》并沒有展開闡述“數學的基本活動經驗”有哪些內涵和外延,這也給研究者留下了討論的空間.在這里也談談自己不成熟的觀點,與同行交流.
什么是數學活動經驗?“活動經驗”與“活動”密不可分,所說的“活動”,當然要有“動”,手動、口動和腦動.它們既包括學生在課堂上學習數學時的探究性學習活動,也包括與數學課程相聯系的學生實踐活動;既包括生活、生產中實際進行的數學活動,也包括數學課程教學中特意設計的活動.“活動”是一個過程,因此也體現出,不但學習結果是課程目標,而且學習過程也是課程目標.
其次,“活動經驗”還與“經驗”密不可分,當然就與“人”密不可分.學生本人要把在活動中的經歷、體會總結上升為“經驗”.這既可以是活動當時的經驗,也可以是延時反思的經驗;既可以是學生自己摸索出的經驗,也可以是受別人啟發得出的經驗;既可以是從一次活動中得到的經驗,也可以是從多次活動中互相比較得到的經驗.特別關鍵的是,這些“經驗”必須轉化和建構為屬于學生本人的東西,才可以認為學生獲得了“活動經驗”.應該注意的是,所說的“活動”都必須有明確的數學內涵和數學目的,體現數學的本質,才能稱得上是“數學活動”,它們是數學教學的有機組成部分.教師的課堂講授、學生的課堂學習,是最主要的“數學活動”,這種講授和學習,應該是漸進式的、啟發式的、探究式的、互動式的.此外,還有其他形式的“數學活動”,例如學生的自主學習,調查研究,獨立思考,合作交流,小組討論,探討分析、參觀實踐,以及作業練習和操作計算工具,等等.
還應該強調的是,學生在進行“數學活動”的過程中,除了能夠獲得邏輯推理的經驗,還能夠獲得合情推理的經驗.例如,根據條件“預測結果”的經驗和根據結果“探究成因”的經驗.這兩種經驗對于培養創新人才也是非常重要的.
數學活動的教育意義在于,學生主體通過親身經歷數學活動過程,能夠獲得具有個性特征的感性認識、情感體驗,以及數學意識、數學能力和數學素養.
讓學生獲得“數學活動經驗”,還能夠培養學生在活動中從數學的角度思考問題,直觀地、合情地獲得一些結果,這些是數學創造的根本,是得到新結果的主要途徑.數學活動經驗并不僅僅是實踐的經驗,也不僅僅是解題的經驗,更加重要的是思維的經驗,是在數學活動中思考的經驗.因為,創新依賴的是思考,是數學活動中創造性的思維.而思維方法是依靠長期活動經驗積累獲得的,思維品質是依靠有效的、多方面的數學活動改善的,并不是僅僅依靠接受教師的傳授獲得的.愛因斯坦說:“獨立思考是創新的基礎.”獲得數學活動經驗,最重要的是積累“發現問題、提出問題”的經驗,以及“分析問題、解決問題”的經驗,總之,是“從頭”想問題、思考問題、做問題全過程的經驗.
學生形成智慧,不可能僅依靠掌握豐富的知識,一定還需要經歷實踐及在實踐中取得經驗.數學思想也不僅在探索推演中形成,還需要在數學活動經驗積累的基礎上形成.
數學的基本活動經驗可以按不同的標準分成若干類型.比如,有的學者把它分為如下4種:直接的活動經驗,間接的活動經驗,設計的活動經驗和思考的活動經驗.直接的活動經驗是與學生日常生活直接聯系的數學活動中所獲得的經驗;間接的活動經驗是學生在教師創設的情景、構建的模型中所獲得的數學經驗;設計的活動經驗是學生從教師特意設計的數學活動中所獲得的經驗;思考的活動經驗是通過分析、歸納等思考獲得的數學經驗[3].學生只有積極參與數學課程的教學過程,經過獨立思考,經過探索實踐,經過合作交流,才有可能積累數學活動經驗.
《課標》中還專門設計了“綜合與實踐”的課程內容,強調以問題為載體,讓學生在綜合運用知識、技能解決問題的實踐中獲得數學活動經驗.在學生獲得數學的基本活動經驗的過程中,就必然有情感態度與價值觀的提升.這樣,“四基”就體現了《綱要》中“三維目標”的要求.
四、“四基”是一個有機的整體
“四基”雖然是由4個部分構成的,但“四基”不應僅僅看作是4個事物簡單的疊加或混合,而應是一個有機的整體,是互相聯系、互相促進的.
基礎知識和基本技能是數學教學的主要載體,需要花費較多的課堂時間;數學思想則是數學教學的精髓,是統領課堂教學的制高點;數學活動是不可或缺的教學形式與過程.“四基”既然比原來增加了兩條,教師在課堂教學的安排上就應該有意識地給數學思想的教學預留適當的時間;但是數學思想的教學不能空洞地進行,一定要以數學知識為載體進行,并且應該注意將數學知識與數學思想融為一體,因勢利導,水到渠成,畫龍點睛;教師在講解數學思想時,應該避免“兩層皮”,避免生硬牽強,避免長篇大論.在課堂數學活動的時間安排上,大量的應該是教師啟發式傳授和學生在教師指導下獨立思考、自主探究的時間;其他形式的數學活動也應安排適當的時間.
此外,“四基”既然比原來增加了兩條,那么,在教學評價上也應該給數學思想和數學活動以適當的位置和空間.《課標》在“四基”的表述前用了“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的”這樣一個限制性定語,這一方面避免了在“四基”的名義下不適當地擴大教學內容,一方面也強調了學生獲得數學“四基”的現實意義和長遠意義.其現實意義是——學生適應社會生活所必需;其長遠意義是——學生進一步發展所必需.
如果數學課程能夠使學生獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗,那么培養發展的創新性人才就具備了很好的條件
數學教育論文:以研究性學習推進小學數學教育的創新
以研究性學習推進小學數學教育的創新
我國已經進入了建設小康社會、加快推進社會主義現代化的新的發展階段，正在向現代化建設第三步戰略目標邁進。要完成這一歷史任務，必須不斷推進教育創新。然而，傳統的“傳授-------接受”的舊觀念至今影響著一部分教師，舊的教學觀念還是影響著現代的教學；以學生考分高低評價教師的優劣，也使得有些教師急功近利；更主要的是“以學生發展為本”的教育理念還沒被廣大教師真正內化并變成自覺的教學行為。縱觀小學數學課堂：學生的學習方式是單一的、被動的，往往缺少自主的研究、探索；學生學習的合作、獨立獲取知識的機會很少；教師缺少對學生學習的情感、態度以及個體差異的關注，忽視學生創新精神和實踐能力的培養；學生在學習活動中應該表現出來的高度的主動性、自主性和創造性受到壓抑。事實上，學生的數學學習不應只是簡單的概念、公式、法則的掌握和熟練的過程，而應該更具有發現性、探索性和思考性。教師要鼓勵學生用自己的方法去發現問題、探索問題和思考問題。因為學生用自己的方法去發現、探索、思考的問題才會成為學生的真正的問題，期間他們所得到的知識才能真正為學生所掌握。我想推進小學數學教育的創新，首先應大力提倡研究性學習,具體可以從以下幾個方面闡明:一、研究性學習的理論基礎：1、研究性學習符合小學生的心理特點。小學生往往對周圍的事物充滿好奇，特別好問，他們具有創造和研究的潛能。研究性學習本身可以滿足學生的這種心理需要，能激發學生學習的興趣、動機以及求知欲。2、研究性學習過程是積極的有意義的學習過程。因為真正有意義的學習，不是被動接受現成的書本知識，而是學生以積極的心態，在自己已有知識經驗的基礎上對新問題進行積極探索、主動建構的過程。3、研究性學習符合學生的認知特點，尊重學生學習的認知規律。因為學生對客觀現實的認識來自于對外界嘗試、研究、索性的活動，而學生用自己的學習方式研究新知，對他們來說是好的方法；教師再進行“因勢利導”，這樣更符合學生的認知特點和規律。3、研究性學習有利于培養學生的創新意識和實踐能力。研究性學習提倡學生自由研究、自由創造，為學生提供更多的活動機會以及表現與發展的機會，鼓勵學生自由奔放和新異的想象，使學生的創造潛能得到發揮。4、研究性學習能促進學生主體性的發展。因為學生只有在努力研究新知、解決問題的過程中，其學習的自主性、主動性、創造性才能得到充分發揮，主體性才能得到充分發展，個性得到的解放。6、研究性的學習能夠培養學生處理信息的能力：（1）發現問題，提出問題，解決問題的能力，學生可以自由的設想，嘗試，解答，檢驗，得出結論，交流思想。（2）發展學生獨立研究與合作的精神，學會通過同伴之間的積極的相互影響來提高學習的效率，培養學生合作意識和人際交往能力。（3）讓學生通過親身參與研究、實踐活動，去獲得積極的情感體驗，逐步形成一種在日常學習與生活中樂于尋疑、質疑、解疑的心理傾向。（4）充分發揮學生數學學習的自主性、主動性和創造性,促進學生主體性的發展。
二、實施研究性學習筆者認為要做到以下三點：（1）要創設一個問題的情境。“發明千千萬，起點在一問”，發現問題往往比解決問題更重要。問題是好的老師，學生研究學習的積極性、主動性，往往來自于充滿疑問和問題的情境。創設問題情境，就是在教材內容和學生求知心理之間制造一種“不協調”，把學生引入一種與問題有關的情境的過程。通過問題情境的創設，使學生明確研究目標，給思維定向；同時產生強烈的研究欲望，給思維以動力。設計問題情境，力求體現“五性”：1、障礙性：引起沖突，產生不平衡，提出智力挑戰。2、趣味性：富有趣味，引發學生積極思維。3、開放性：解題思路靈活多樣，答案不一定。4、差異性：適合各層次學生，由淺入深作出回答。5、實踐性：以個人或小組的探究實踐活動，尋求方法。同時，教師應注意對于問題情境中所隱含的“問題”，不要作簡單的答復，應該讓學生在學習實踐活動中自己去發現、提問。學生自己發現問題更貼近其思維實際，更能引起學生主動的研究。（2）既要注重學生的獨立研究，又要注重學生的合作學習。獨立研究：每個學生根據自己的體驗，用自己的思維方式自由地、開放地去研究，去發現，去再找出有關的數學知識，期間的過程往往是獨立的。因為學生學習知識的過程，是主動建構知識的過程，而不是被動接受外界的刺激；學生是以原有的知識經驗為基礎，對新的知識信息進行加工、理解，由此建構起新知識的網絡層面。教師無法代替學生自己的思考，更代替不了幾十個有差異的學生的思維。通過學生動手“研究數學”，使他們親身體驗獲得知識的快樂。獨立研究的目的，不僅在于獲得數學知識，更在于讓學生在研究的過程中學習科學研究的方法，從而增強學生的自主意識，培養學生的研究精神和創造能力。教學中教師要鼓勵學生獨立研究，努力做到：1、要給學生自由探究的時間和空間，不要將教學過程變成機械重復教案的過程；2、要鼓勵學生大膽猜想。質疑問難。發表不同意見，不要急于得到圓滿的答案；3、要給學生以思考性的指導，特別是當學生的見解出現錯誤或偏離時，要引導學生自己發現問題。自我矯正，將機會留給學生，不要代替學生自己的思考。總之，凡是學生能發現的知識，教師決不代替；凡是學生能獨立解決的問題，教師決不暗示.合作交流：所謂合作交流，是指在學生個體獨立研究的基礎上，讓學生在小組內或班級集體范圍內，充分展示自己的思維方法及過程，相互討論分析，揭示知識規律和解決問題的方法、途徑。在合作交流中學會相互幫助，實現學習互補，增強合作意識，提高交往能力。為了提高合作交流的有效性，教師要重視合作技能的培養：1、聽的技能：要培養學生專心傾聽別人發言的習慣，要能聽出別人發言的重點，對別人的發言作出判斷，有自己的見解。2、說的技能：要培養學生敢說的勇氣，說話時要聲音響亮、條理清楚、語句完整，語言簡練且能突出重點。3、交往的技能：尊重別人，不隨意打斷別人的發言，善于采納別人的意見，給別人有插話的機會，修改、補充自己原先的想法，體會他人的情感，控制自己的情緒。4、策略的技能：學會根據任務性質來決定應該采用的策略，促使合作更加有效。例如：先獨立思考再合作討論，達到開闊每個人思路的目的，或先明確分工再合作，使每個成員都可以發揮自己的所長，既學得快又學得好；等等。同時，教師要注意合作內容的選擇，如：發現知識性規律的合作；辨析概念性問題的合作；優化解決問題策略的合作。三、研究性學習的環節：問題情境----獨立探究----合作交流----實踐運用----評價體驗，五個環節可構成研究性學習的一個活動系統，每個環節中學生的活動是開放性的，而環節與環節是緊密相連的，為學生系統地提供自己研究、探索、充分展現、愉快合作、自我體驗的時間和空間，也有利于教師 指導作用的發揮。
四、研究性學習在實際運用中應注意的問題：小學數學大綱提出“探索和解決簡單的實際問題”，重點強調學生解決問題是一個探索的過程，而不是一個簡單地用現成的模式解決問題的過程。讓學生在研究、探索中了解實際問題中的各種關系，進而將實際問題用數學關系表示出來，這對學生數學的應用意識的培養和數學思維水平的提高具有重要意義。教師設計練習，不僅要有利于幫助學生鞏固、掌握知識，更要有利于學生數學的應用意識及實踐能力的培養。那種題目條件確定、結構良好、答案的，只需重復所學知識即可解決問題的“標準式”的練習，往往造成學生思維定勢，妨礙學生思維發展，對培養學生創新精神和實踐能力顯然不利。為此，教師在設計練習時還必須重視設計結構不全、條件不明、必須發揮創造性、結合有關經驗才能解決的問題，特別要重視開放性練習的設計。設計開放性練習，可以從以下角度著手：(1)解題策略的開放。讓學生多角度地進行思考，用不同的方法解決問題，在此基礎上進行解題策略的比較，逐步樹立策略優化的思想。(2)題目條件的開放。讓學生能從實際出發，對所要解決問題的條件作分析、周密思考，根據不同條件對問題作出不同的解釋，提高分析及解決實際問題的能力。(3)所求問題的開放。讓學生由已知條件出發，去思考所能解決的各種問題，進行發散思維訓練，培養思維的創造性。(4)題目答案的開放。讓學生面對條件、問題相同的題目，進行不同角度的思考、分析，獲得不同的答案，對學生進行求異思維的訓練，學會辯證地看問題，培養學生的創新精神。評價體驗，其主要目的在于促進學生主體性的發展。學生主體發展的主要因素有：主動發展的動力和和主動發展的能力。評價體驗的主要任務在于增強學生主動發展的動力，提高主動發展的能力。為此，教師在課堂教學中要重視：一是對學生進行獨立研究、合作發現、實踐運用等學習活動中表現出的自主性、主動性、獨創性等主體精神和品質進行評價，使學生獲得主動研究獲取知識的情感體驗，增強學生學習的信心和動力。二是要引導學生對研究學習的活動過程進行反思，重點是提煉解決問題、獲取新知的數學思想方法和有效策略，使學生對數學思想方法和學習策略有所體悟，并自覺地將思維指向數學思想方法和學習策略上，以提高主動獲取新知、解決問題的能力。五、小學段研究型教學的目標定位：1、總體上實現對學生進行“主人、主體、主角”的三主人格培養。2、激發小學生對科學技術問題的好奇心和探索欲望，使學生初步具有愛科學、學科學、用科學的熱情和追求。3、初步培養獨立探究和合作學習的精神，了解從事獨立學習必須具備的精神、氣質和品格，知道什么是合作精神，什么是實事求是的態度和價值觀。4、讓學生獲得親身參與知識和積極情感體驗，初步形成一種在日常學習與生活中喜愛質疑、樂于探究、努力求知的心理傾向。5、初步學會用一些最基本的工具和儀器，初步應用所知識解決一些最基本的生活問題和解釋一些自然現象。6、初步了解科學思維方法，培養科學思維的能力，初步養成動腦筋、提問題、想問題、找資料、找答案的習慣，初步培養創新精神和創新意識。
數學教育論文:情感教育在數學教學中的價值運用
誰都知道,“教書育人”是教師的基本職責。如何在課堂教學中利用所教學科的空間進行“育人”,這是為師者不可回避,并且值得深思的問題。不同學科在課堂教學中的“育人”要求和“育人”時機各有千秋,在數學教學中如何進行“育人”,具體地說,如何讓情感教育在數學教學中充分發揮催化作用。筆者認為以下幾點應引起重視。
1.倡導師生雙向情感交流,營造和諧的教學氣氛
人是有感情的,感情表露就成為情緒,而它帶有一定的盲目性,有時甚至可以左右一個人的行為.心理學家得珀認為:情緒絕大多數時間里處于溫和的激活狀態中,因而起著動機的作用,它們在無意識的情況下控制著我們的行為,并指導著行為的方向.又如孟昭蘭先生也曾指出:情緒可以影響和調節認知過程,它能促進或阻礙工作記憶、推理操作和問題解決.我們會經常感到,在情緒良好的狀態下工作時,思路開闊、思維敏捷、解決問題迅速.反之,則思路受阻、操作遲緩、更無創造性可言.突然出現的強烈情緒甚至可以中斷正在進行的思維加工;持久而熾熱的情緒則能激發無限的能量去完成活動.我們更多的應該象關注“氣象”一樣注意自己的情緒。
由此可見,倘若教師只考慮到學生學習是一種理智行為,只是注意其科學性并把問題講清楚了,沒有通過順暢的感情交流,不把握學生的接受情緒,就會導致知識的傳授過程滯阻.宛如向板結成一塊的花盆中灌水,雖然上面滿溢,可是實際滲透潤滑不多,從前面的例子看,甲可能過多地調用了高三的教學手段和評價標準,以致教學效果降低;而乙的做法恰好相反,他利用年齡特點和學生融洽相處,通過雙向交流捕獲學生的各種信息,隨時調整節奏,在順暢的交流線上傳授知識,提高了教學效益。
2.倡導師生雙向情感交流,以教師為主導
教育理論明確指出,師生交往和影響是雙向的.但由于師長的特殊位置,使他(她)處在主導的地位上,教師必須考慮到學生年齡、年級、性別的不同,群體和個體的差異,主動采用相應的感情交流途徑與方法.上面的調查中發現,乙有一點很明確,自己初為人師,多有欠缺,必須千方百計調動學生這方面的積極性,故其始終注意到學生的情緒,力圖通過感情交流達到師生之間的共鳴,提高教學效益.例如,學校開運動會,乙忙里忙外,為學生供水,借釘鞋,出主意,儼然是他們群體中的一員,使學生無不感到“老師是我們的”.這種堂外感情交流為堂內感情交流鋪設了通道,似有放長線的樣子。
3.倡導師生雙向情感交流,以學生為主體
主體意識的發展使高中生的求知欲望和多方面能力以及良好個性品質迅速發展.發展自我的需要,對形成一個人積極向上的心理、促使個性健康的發展都有重要意義.這種發展自我的需要給數學教學中培養學生能力提供了契機。
3.1引導學生評價數學學習效果,提高自我評價能力
在數學教學中,教師應引導學生對自己的學習效果作自我評價.例如,試卷與作業的批改,可采取教師批改、學生各自改、學生互相批改等多樣化方式相結合.教師注意引導學生將自我評價與別人評價多作比較,逐步學會客觀評價,從而提高自我評價能力。
3.2引導學生反思數學解題過程,激發學生創新動機
西南師大陳重穆教授指出:“問題解決了,作為學習事情還未做完,還要看一看、想一想,有什么經驗教訓?是否可以做得更好、更美?這里使用的解題方法能否解決其它問題?這似乎是多余的一看、一想,卻常常是創新的生長點.”所以,反思對于激發學生的創新思維有十分重要的意義。
3.3引導學生在數學課堂多發言,提供表現自我機會
由于高中學生心里充滿表現自我的沖動,于是常常以各種方式在各個領域表現自己,處處爭強好勝.因此,我們在數學教學中應根據這一特點,讓學生自我發言,為他們提供表現自我的機會,以提高學生的口頭表達、分析問題、探索問題等能力.發言的內容是多方面的.在教學新課的難點處、關鍵處;讓學生互相討論,討論能明確是非、糾正錯誤、發現真理、掌握知識;在解題教學中,抓住學生的閃光點,進行肯定與鼓勵.即使是錯誤思考,也應該表揚其上課積極思考精神,錯誤就很可能是成功的先兆,錯誤之中往往隱含著某些新方法.愛因斯坦曾說過:“提出一個問題,比解決一個問題更重要.”提問的過程是發展創新思維的過程。
4.倡導師生雙向情感交流,消除心理障礙
我們覺得應正確理解“師道尊嚴”的內涵,現代教學中的師生關系決不是舊時代的師徒關系,教師要清除盲目的唯我獨尊的心理,提倡發揮教師的主導作用,主動積極地進行雙向感情交流.無論是人格尊嚴角度還是教學工作本身需要,都要求我們這樣去做。
“勿以善小而勿為”.有的教師認為真本領應當表現在教書上,于是只重教材的研究,講課的探討,解題的指導,而漠視師生的感情交流,似乎這種注重感情交流的做法是學前班的老師的事情,忽視了中學生同樣有這種需求,只是交流方式、檔次的不同而已.我們提倡具體地了解學生,有針對性地進行師生雙向交流,以求達到效果。
不同行業有其不同特點,工作中各有其樂趣,也有其煩惱.我們認為老師當以敬業為先,要通過自身的修養化解怨尤行業、怨尤學生的心態,方可能滿腔熱情地和學生溝通,共創教學的輝煌。
師生間的感情交流從總的方面來說是陶冶心情的教育手段之一,低限度地講,至少也是知識傳授渠道的良好潤滑劑,積極地利用,不斷地改進完善,必有利于教學效益的提高。
數學教育論文:90年代美國中小學數學教育的改革
一 60—80年代美國中小學數學教育改革概述
美國中小學數學教育的改革遠在50年代末60年代初就已經開始。當時由于蘇聯衛星上天，美國的科學技術相對落后，出于競爭和培養尖端人才的需要，在全國中小學廣泛開展了新數學教育運動。一方面把大學一、二年級的數學內容下放到中學，另一方面在中小學增加一些近代和現代的數學內容。由于過分重視理論知識而忽視聯系實際，注意培養尖子的需要而忽視面向全體學生的需要，強調培養學生能力而忽視數學基礎知識的教學和基本技能的訓練，結果少數學生數學成績有所提高，而大多數學生成績下降，受到家長和社會各界的批評。70年代在美國掀起一場“回到基礎”的運動，從教科書中刪去新數學內容，重新強調數學基礎知識的教學和基本技能的訓練。但是這種倒退，同樣不能適應美國現代科學技術發展要求提高中小學生數學水平的需要。
1980年美國全國數學教師協會在充分調查研究的基礎上提出了對80年代中小學數學的建議（文件標題為《行動計劃》），針對當時社會的需要和中小學數學教育改革中存在的問題提出八條建議：1.解問題是80年代學校數學的重點；2.數學的基本技能應包括比計算能力更多的內容；3.數學教學要在各年級充分利用計算器和計算機；4.既講效果又講效率的嚴格標準應當應用于數學教學；5.要采用比傳統的測驗更為廣泛的措施來評價數學教學和學生學習的成績；6.要求所有學生學習更多的數學并且設計一種具有大范圍選修的靈活課程以適應學生的不同需要；7.要求數學教師具有較高的專業水平；8.把公眾對數學教學的支援提高到與理解數學對個人和社會的重要性相稱的水平。每條建議都做了具體的闡述。
在這之后，一些州根據上述建議重新編訂了數學教學大綱，把數學課程延長1—2年，有些州和教科書出版公司改編了中小學數學教科書。以紐約州為例，1981年開始起草幼兒園——八年級數學教學大綱，以后陸續起草七——十一年級數學教學大綱，經過試驗并加以修改后在全州實行。這套教學大綱有以下幾個特點：
1.適當增加教學內容：例如小學增加關系、找規律，指數和科學計數法，相似與合同，簡單的概率、排列、組合，不等式，解多步的問題等；七、八年級減少重復的算術內容后，增加實數運算，解一元一次方程和不等式，直角三角函數（tan，sin，cos），排列，兩個或多個事件的概率，計算機初步知識及應用等；九——十一年級增加簡易邏輯（包括簡單句和復合句的真值、重言式、推理的定律、證明），復數，關系和函數（包括反函數、指數函數、對數函數），域的性質，三角方程和解三角形，變換幾何，曲線方程，排列和組合，伯努利試驗，二項式定理，統計（包括四分位數、標準差、常態分配曲線）等。
2.安排一些選學內容：如七、八年級安排計算機編程序，不等式的圖象，多邊形的外角，凸多面體和規則多面體等；九——十一年級安排群的初步概念等。
3.采用綜合課程，即使是九——十一年級，也不分代數、幾何等科，以加強知識間的聯系。
4.在教法上強調讓學生探究、發現、討論，在掌握計算技能的基礎上發展學生的邏輯思維和創造思維，以及應用數學解問題的能力。
對于準備升大學的學生，要達到大學委員會所提的目標。
加利福尼亞州于1985年也公布了幼兒園——十二年級數學框架，在內容上與紐約州的有不少相同之處，但是也有其特色，如各階段都重視邏輯的教學，九——十二年級的課程比較靈活，有綜合數學，有分科數學，以適應不同學生就業和升學的需要。
二 90年代美國中小學數學課程的改革
80年代美國中小學數學教育雖然進行一些改革，但是學生的成績沒有明顯的提高。據1988年美國教育部長的一份報告，在1982—1986年間，13歲學生的數學水平沒有任何提高。17歲青年中只有51％的人能夠令人滿意地運算和論證較復雜的題目。據1989年一篇文章報道，及時年系統學習代數（一般在九年級），有40％的學生不及格。據美國全國數學教師協會的報告，只有少數學生能學完高中數學課程，其中大多數是白人男生。這與美國的現代社會極不適應。另外，據國際教育評價協會的資料也表明，美國中小學學生的數學成績仍然處于落后地位。在20個國家和地區中，七年級數學測試結果，美國居第14名；十二年級數學測試結果，美國居第12名。這些情況引起了美國社會各界的關注，連美國總統布什擬訂的2000年教育六大目標中也提出
要求，美國學生在科學及數學方面的成績要超過世界上任何一國的學生。
為了適應美國社會發展的需要，扭轉中小學數學質量低下的局面，全美數學教師協會于1989年擬訂了中小學數學課程和評價標準。這是美國有史以來及時次制訂統一的標準和要求。長期以來，美國中小學的教育計劃、課程等都是由各州分別制訂的。這次制訂統一的標準，有以下幾個目的：1.為了保障質量；2.指出數學教育所期望達到的目標；3.促進改革。但是這套課程標準同中國過去所說的課程標準不同。它只著重說明中小學數學教育的目標，確定學習的主要課題以及學習課題之間的關系，為中小學數學課程的發展提供一個框架，而不是一套指令。有關課程內容的具體安排留給各地根據具體情況來擬訂，并且強調允許和鼓勵各地發揮自己的積極性和創造性。
（一）擬訂課程標準的指導思想
擬訂中小學數學課程標準的基本指導思想是，美國已從工業社會進入信息社會，在這個社會中，低價的計算器、計算機和其他技術正在改變著自然科學、生命科學、社會科學、商業、工業以及政府的性質。緩慢的機械的交流手段已被電子的交流手段所代替。經濟變革的步伐正在加速。相應地社會需要也有了很大變化：1.需要有數學知識的勞動者，這就是說，新的生產方式需要有技術能力的勞動力，需要能應用數學思想解決普通的和復雜的問題的能力。2.需要能終身學習，在今后25年中，一個勞動者至少要改變4—5次工作，這就要求人們能適應變化的情況，從而要求中小學數學必須是動態的形式，其中心是能應用數學來解問題。3.需要所有的學生都有學習數學的機會，但目前學習較多數學的大都是白人男性，數學已成為社會求職的過濾器，從而使很多婦女和大多數的少數民族只能做科學技術中較低的工作。4.需要能處理信息的選民，現代社會的一些問題如環境保護、核能、國防、醫療、太空探索以及稅收等都需要公民具有技術知識，并且能閱讀和解釋復雜的有時甚至是矛盾的信息。總之，今天的技術社會希望學校能確保所有的學生都有機會成為有數學知識的人，能擴展他們的學習，成為善于了解問題并能處理信息的公民。
（二）中小學數學教育的目標
這套課程標準為中小學學生擬訂了以下5個目標：1.了解數學在現代社會發展中的作用，并能探索數學和所服務的學科之間的關系；2.相信自己有學好數學的能力；3.成為具有解數學問題能力的人；4.學會運用數學語言交流他們的思想；5.學會數學上的推理。總之，要使學生成為具有數學知識和進行探索、猜想以及邏輯推理的能力，并有效地應用數學方法解問題的人。
（三）中小學數學課程的分階段標準
由于這套課程標準只為中小學數學課程的發展提供一個框架，因此不詳細列出各年級教學課題的范圍和順序，而是把幼兒園——十二年級劃分為3個階段，按階段擬訂課程標準。
1.幼兒園——四年級課程標準。
這階段共有13條標準。前3條分別論述作為解問題的數學，作為交流的數學，作為推理的數學在本階段的要求，第4條論述本階段數學知識間的聯系。在這4條中提出的教學要求主要有：
（1）使學生解各種結構的問題和日常生活問題，學習和應用解問題的策略。
（2）使學生了解數學語言和符號與日常生活的聯系，把表示、談、讀、寫、聽數學作為學習和使用數學的重要組成部分。
（3）使學生能夠作出有關數學的邏輯結論，證明自己的答案和解答方法。
（4）使學生認識概念與算法的聯系，不同的數學課題間的關系。
第5—13條分別論述本階段教學的課題的要求。這個階段教學內容的更新主要有以下幾點：
（1）加強整數的概念和分數、小數意義的教學。
（2）加強運算意義的教學；重視口算和估算，并能實際應用；減少復雜的筆算；適當使用計算器。
（3）重視有關計量單位的概念和幾何圖形的性質，發展空間觀念，重視實際測量。
（4）增加數據的收集和整理，閱讀、分析和解釋數據，概率的初步探討。
（5）增加對規律的認識，用變量表示關系。
這階段對教學方法的改革提出的主要要求：
（1）強調數學教學的方向應放在理解概念上，這比放在獲得多少技能上更為重要。
（2）要讓學生積極地做數學，其中包括操作、探索、提問、證明、表示、求解、構建、討論、應用、調查、記述、預測等。
（3）強調發展學生的思維和推理能力。
（4）適當使用計算器和計算機，以幫助兒童探究數學概念和規律，并且便于學生把注意集中在解問題的方法上。但是它們不應代替基本的口算和合理的筆算。教師要培養學生用多種方法計算，并注意計算結果是否合理。
2.五——八年級課程標準。
這階段共有13條標準。前4條的標題與及時階段的前4條標題相同，但教學要求則在及時階段的基礎上有所提高。主要有：
（1）研究和應用各種解問題的（著重多步的和非常規的）策略，概括新問題的解法和策略。
（2）發展對數學概念的一般理解，包括定義的作用，應用讀、聽和視圖等技能來解釋和評價數學概念，討論數學概念并進行猜想和有說服力的論證。
（3）認識和應用演繹推理和歸納推理、空間推理以及借助比例和圖象進行推理，評價自己的思維。
（4）理解數學是一個綜合的整體，用圖象的、數字的、代數的和口頭的數學模型或表示來探索問題并記述結果，應用一個數學概念進一步理解其他數學概念。
第5—13條分別論述本階段教學課題的要求。這個階段教學內容的更新主要有以下幾點：
（1）強調發展運算的概念，探索整數、分數、有理數運算之間的關系；減少單純記憶法則和算法；在解問題和檢驗結果的合理性時使用估算。
（2）增加識別和應用函數關系，發展和使用圖表、圖象和規律來表示關系，分析函數關系以解釋一個量的變化引起另一個量的變化。
（3）增加用多種方法解線性方程，以及非正式的探究不等式和非線性方程。
（4）重視對幾何圖形的性質和關系的理解，探索幾何圖形的變換。
（5）強調用統計方法來表述、分析、評價某一論點并作為決策的手段。
（6）強調通過某些含有概率的情境創造實驗模型和理論模型，在此基礎上作出預測，并在實際中應用。
（7）增加估量和加強應用計量解問題。
這階段對教學方法的改革提出的主要要求：
（1）讓學生個人和分組進行探索、猜想、分析和應用數學。
（2）教學時要注意綜合性、整體性，而不是孤立地教學所列的每個課題。
（3）數學課程要便于接受，使所有的學生都獲得數學知識和生活所必需的工具。
（4）適當使用計算器、計算機和錄音機，以便使學生集中注意解題的方法和其他重要內容。
（5）要把學習的評定作為教學的一個組成部分。
3.九——十二年級課程標準。
這階段共有14條標準。前4條的標題與前兩個階段的前4條相同，但教學要求又在前兩個階段的基礎上加以提高。主要有：
（1）綜合應用數學解題的策略來
解數學內部和外部的問題，把數學模型的方法應用于現實世界的問題情境。
（2）形成數學定義，并通過探究對所發現的進行概括的表示，能記述在解問題時怎樣達到正確答案或所遇到的困難，聯系他們讀過的或聽過的數學能提出明確的和引伸的問題。
（3）進行猜想和檢驗猜想，遵循邏輯的論證，判斷論證的有效性。
（4）認識同一概念的等價表示，運用和評價數學課題間的聯系，運用和評價數學與其他學科的聯系。
第5—14 條分別論述本階段教學的課題的要求。這個階段教學內容的更新主要有以下幾點：
（1）代數增加數系的結構，矩陣及其應用；強調用計算機理解概念，用以計算機為基礎的方法解方程和不等式；用圖表、符號和圖象表示關系，并且在它們之間能夠轉化。
（2）幾何增加變換幾何、三維幾何，重視代數與幾何的關系；削弱作為完整公理體系的幾何，但是演繹論證還應加強。
（3）加強直角三角形的比、三角函數與圓函數之間的聯系，用圖象解三角方程；削弱用筆算解三角方程，復雜恒等式的驗證。
（4）統計增加集中趨勢、變異性及相關、抽樣。
（5）概率增加隨機變量、離散概率分配、常態曲線及其性質。
（6）增加離散數學，其中包括有限圖、速推關系、算法分析等。
（7）增加非正式探討微積分初步概念，主要包括圖象的極大點和極小點，通過無限數列和極限以及曲線下的面積了解極限過程，導數。
標準中十分強調這個階段的中心內容是由記憶孤立的事實和計算方法轉到概念理解、數學的多種表示、數學的聯系，數學模型和解數學問題，并把統計、概率和離散數學上升到較為中心的位置。
上述內容為所有學生必須在十一年級學完的，準備升大學的學生，十二年級還要進一步學習離散數學和微積分基礎，對其他課題也提出更高的要求。但是同時也說明，對所有學生必學的課題和準備升學的學生增加學習的課題，都允許在深度上有適當的彈性。
為了加強數學課題間的聯系，這個階段也采用綜合課程，不分科。
這個階段對教學方法的改革提出的主要要求：
（1）采用多種教學方式，如小組學習、個人探索、同伴教學、全班討論、設計作業等，讓學生積極獨立構建和應用數學思想，為畢業后工作或升學做好準備。
（2）建立并應用數學課題間的聯系。
（3）使用計算器和計算機來教和做數學，鼓勵學生使用現代技術進行探究、猜想和驗證自己所發現的東西。
（4）把學習的評定作為教學的一個重要組成部分，并且應與教學的重點方面如使用現代技術密切配合。
（四）中小學數學課程標準的實施情況
由于這套課程標準不是政府的指令，只是美國全國數學教師協會擬訂的指導性文件，而且才公布兩年多，很少看到報道實施情況的材料，也還沒有看到哪個州已經擬訂好新的數學教學大綱。但是已有極少數出版公司編寫出新的數學教科書。有少數已經發行，有的將于1992年秋發行。據美國全國數學教師協會主席談，目前已有30％的學校實行新課程標準，但是有些教授認為目前不可能達到這個比率。
關于這套課程標準的評價，有人不大贊同搞統一的標準，也有人認為標準中的設想很好，但是很難實行。現在全美數學教師協會正在加強對這套標準的宣傳，每年召開幾個地區性會議，通過會議一方面廣泛宣講課程標準的精神，另一方面交流實行新標準的經驗。
三 90年代美國中小學數學教育的改革實驗和研究
近年來，在美國為了提高中小學數學教學質量，進行很多改革實驗和研究。下面就了解到的做一簡單介紹。
（一）提高少數民族和貧苦學生的數學水平的實驗研究
這項實驗是美國大學委員會搞的，稱為“公平2000年設計”，簡稱“公平2000年”。目的在于提高黑人、西班牙裔、美國土著以及女學生和貧困學生的數學水平，爭取在20世紀末消除他們在大學升學率和在大學學習成功率方面與非少數民族的差距。1990年秋在6個地區的八、九年級進行了試點。首先，抓教師和指導顧問的培訓，使他們確信采取適當支援方式，每個學生都能學好數學。其次，由教師和指導顧問聯合給學生樹立學好數學的信心和升大學的勇氣。第三，要求所有學生學習必修的代數、幾何課程。第四，研究改進教學方法，如加強分組教學等。關于實驗的初步效果還沒有看到報道。
（二）運用現代技術提高學生數學水平和教師專業水平的研究
這方面的研究較多。例如，利用播音教學數學，即把設計好的課堂教學過程通過收音機或錄音機播放出來，其中包括講解、提問、練習等。教師在課堂上的工作主要是配合播音教學輔導學生。據說在條件較差的國家和地區試驗效果較好。目前在美國廣泛地開發各年級數學教學軟件，供教師作為課內外輔助教學的材料。有的研究單位把幼兒園——十二年級數學的全部內容和教學過程制作在一個小的密集激光盤上，相當15000面左右的容量，供教師、學區、州的督學、教師培訓者以及大學教師參考使用。
數學教育論文:數學教育目標的制定如何體現素質教育思想
教學目標要在素質教育思想的指導下，根據《九年制義務教育全日制小學數學教學大綱》（以下簡稱《大 綱》）的要求，結合教學內容和學生特點制定。筆者認為在制定教學目標時，教師要處理好“兩個關系”，注 意體現“四性”。
一、處理好三類目標之間的關系以及顯性目標與隱性目標之間的關系
根據素質教育的思想，教學目標可以分為三大類，即教養目標、發展目標與教育目標。教師在結合數學自 身的特點和小學生心理發展的具體要求，處理好小學數學素質教育課堂教學三類目標的關系時，應遵循“將智 能發展目標放在首位，以基本知識、基本技能等教養目標為主線，同時滲透德育教育、情感教育等非智力因素 教育目標”的原則。前蘇聯教育家斯托利亞爾曾經指出：“在列舉數學教學目標時，我們把學生的發展（思維 的、智力活動的）放在首位。”“一定的發展只能是特別設計的有目的的教學的結果，所以我們把用‘數學思 維’這個名稱統一起來的思維活動結構的發展作為數學教學的特殊的首要目的。”素質教育要求我們將學生培 養成為“會認識、會做事、會做人”的合格公民。這無疑也要求我們將發展目標放諸首位。小學數學教材是根 據數學知識自身的發展規律，同時結合小學生的年齡特點與認知水平來編排的。這些知識是小學生將來作為勞 動者所必須掌握的。因此，小學數學教學目標應以教養目標為主線，使學生在掌握知識、形成技能的同時，智 能得到充分的發展，并使學生在認識、理解、運用數學知識的過程中受到思想品德教育，感受數學的美，體驗 到成功的樂趣，同時使得探索精神、合作精神、良好的學習習慣等各種非智力因素得到培養，以形成健康的個 性。
教學目標有顯性與隱性之分。顯性目標是指《大綱》明確提出來了的教學要求。一般地說，教養性目標是 顯性的。隱性目標是指那些需要教師在教學設計時認真思考才能確定的教學目標。一般來講，智能發展目標和 思想品德教育、情感培養等非智力因素方面的教育目標是隱性的。處理好這兩種目標之間的關系，一是教師要 認真鉆研《大綱》，領會《大綱》精神，制訂好顯性目標；二是教師要在認真分析教學內容及學生特點的基礎 上，結合教學過程的設計，將隱性目標顯性化，形成具體的教學目標。這樣，教師施教的三類素質教學目標就 會清晰地浮現在自己的腦海中，明確指揮自己的教學行為，從而達到素質教育的目的。
有位教師是這樣組織《奇妙的幻方》（活動課）的教學的——
（1）老師講解洛書神話，并給出彩圖（圖1）。
（2）學生就圖1進行觀察、發現，揭示出圖2。
（3）學生觀察圖2，說出自己所發現的秘密，老師有選擇地板書：
①這個圖中有9個方格，每個小格中有一個數字， 這些數字分別是1、2、3、4、5、6、7、8、9；
附圖{圖}
②每行、每列、對角線上三個數字之和都是15；
③5在正中央；
④每行、每列、對角線上，5兩端的兩個數之和都是10，……
（4）老師揭示課題，給出幻方、中心數等名稱，并加以說明。
（5）老師拿走九宮格中的數，學生拿出學具嘗試編幻方。 老師巡視指導，并讓5個學生將自己的結果寫在 黑板上。
（6）學生評價結果，說說自己的編排方法。 師生共同總結編排規律：先定中心數再配對定位。
（7）學生練習：①用2、3、4、5、6、7、8、9、10編幻方； ②編一幻方和是27的幻方。
從這一教學過程中，我們不難看出，教師明確了三類目標，并很好地處理了它們三者之間的關系。學生在 認識幻方的特征，探求幻方的編排方法的過程中，觀察能力、發散思維能力、表達能力、探索精神等都得到了 較好的培養；教師對洛書神話的講解以及教學過程中的一些表揚、激勵性語言還較好地激發了學生學習的動機 和興趣；學生在不斷地發展、積極探索的過程中，體驗到了成功的喜悅，并感受到了洛書、幻方的奇妙美。
二、體現性、針對性、過程性和明確性
柳斌同志指出，素質教育有三個要義：一是面向全體學生；二是使每個學生的德、智、體、美發展； 三是讓學生主動發展。根據第二要義，教學目標應包括知識技能目標、智能發展目標和非智力因素目標；再考 慮到小學數學教學內容的邏輯連續性和整體性，小學數學教學目標還應有學期（年）目標、單元目標和課時目 標。因此，性就是指小學數學教學目標的制定要從學生的發展和時間的積累兩個維度去構建。（教學目標 的二維平面結構如圖3所示。）
附圖{圖}
同時，教學目標的制定要考慮到學生的個別差異，增強針對性，使每一個學生都得到較大限度的發展。一 般來說，基本知識、基本技能目標具有強制性，要求每一個學生都必須達到，而智能發展目標和非智力因素目 標落實到學生身上是有差異的。教師在制定教學目標時要充分分析每一個學生的現有水平和潛在水平，在其最 近發展區內確立教學目標。
過程性則是指教學目標的制定要注意結合教學過程將教學目標具體化。教學目標是“教學中師生預期達到 的學習結果和標準”，是“路標”，它表現為具體的、特殊的、部分的價值。而教學目的是《大綱》規定的教 學要求，具有方向性，表現為終極的、普遍的、整體的價值。教學目的只有轉化為具體的“路標”才能有效實 施，否則很有可能變成空洞的口號。“路”是什么？“路”就是過程！一方面，教學目標決定著教學活動的開 展；另一方面，作為“路標”的教學目標的制定也要結合教學過程，尤其是隱性目標的顯性化更是如此。以上 兩方面的關系應該是：教學目的——教學過程初步安排——教學目標——較完善的教學過程。
明確性一是指教師對于教學目標的含義要明確。教師只有明確了教學目標的真正含義，才能圍繞教學目標 組織教學活動，保障教學目標的達成。二是指教學目標的表述要外顯，盡量使用操作性強、意思明確的語句， 水平詞的使用要，便于測控。
以上是筆者對如何制定好小學數學素質教育課堂教學目標的幾點認識。下面是有關“平均數問題”的教學 目標設計，供讀者對照參考。
（1）使學生理解平均數概念， 能說明平均數就是把幾個大小不同的數通過“移多補少”方式變成大小相 同的數后所得到的數；初步掌握求平均數的方法，理解求平均數就是“把幾個大小不同的數合并成一個數再平 分”的過程；能根據加法和
除法的意義推出求平均數的公式；能根據有關數據直接運用公式求平均數；部分學 生還能運用公式解思考題。 （2）通過讓學生自己解決“怎樣將4個杯子里的水變得一樣高”的問題，培養學生的分析能力、類比推理 能力和勇于解決問題的探索精神。
（3）通過讓學生說明平均數概念，總結求平均數的過程和公式，培養學生抽象概括的能力。
（4 ）在讓學生直接利用公式解決平均數問題和逆用公式解決思考題的過程中，培養學生的綜合能力與逆 向思維能力。
（5）通過學生小組活動、比賽，培養學生的協作精神和競爭意識。
數學教育論文:小學數學教育研究的新發展——第六屆國際數學教育會議討論簡介
第六屆國際數學教育會議于1988年7月27日至8月3日在匈牙利首都布達佩斯舉行。會上除了安排一個組專門討論小學數學教育中的問題以外，有些專題組的討論，以及小字報、專題報告會等也涉及到小學數學教育方面的問題。根據所了解的材料，對會議中所反映的小學數學教育研究的新發展，概要地介紹如下。
一 強調學習過程
一些代表認為，對應于教的過程，有必要提出學的過程。數學教育中重要的一點是如何彌合教與學之間的裂縫，如何使教數學與學數學盡可能互相伴隨著。提出這個問題的原因，主要是從促進學生在數學方面的進步，或者說逐漸的數學化來考慮的。認為數學化的進程的組成部分有：做模型、公式化、符號表示等。要通過教數概念、數的運算方法等來研究和分析教數學的特點，同時也不斷地進行逐漸的數學化過程。有一位代表以教乘法的初步認
識為例，說明引導學生由具體逐步抽象的過程。還有一位代表用除法（如）作例，說明從具體的實際問題出發，引導學生先想出非正規的分的方法，求出得數以后，逐步研究出一般的除的方法，在這之后再類推到被除數是較大數的除法。但是也有的代表認為，也不宜把這個過程拉得很長，還要研究如何用較少的時間使學生學會一般的除的方法。
二 新技術對小學數學教育的影響
與會代表大都認為新技術對于中小學數學教育具有很大的促進作用。使用新技術，特別是微型電子計算機，有助于理解數學概念；有助于掌握一些基本技能，特別是解決實際問題和幾何作圖的技能；有助于提高學生學習數學的興趣，使學生從過繁的機械運算中解放出來；還有助于改進數學教育的評價方法。
與會者著重討論了新技術對小學數學課程內容的影響。有人認為，隨著新技術的出現和使用，現行的教學內容將有很多被刪掉，而加入一些新內容，并強調要使學生學會一些數學方法，如收集、翻譯數據，有條理地排列，概括，歸納和演繹，做模型，類推，化簡等。但也有人提出質疑：在數學知識和技能都很差的基礎上，能學好數學方法嗎？有人認為，口算、筆算、估算、工具算等各種計算方法，只要在生活中和進一步學習中有用處，仍然應該學會，但要重理解、思考和評價，根據不同情況來選用。不少學者認為，計算器雖然有很大用處，但筆算仍是重要的，因此傾向于小學高年級再學習使用計算器。而且不能只把計算器作為一種計算工具，還要用它作為教具幫助理解數學概念，發展學生思維。因此使用計算器會引起內容和方法兩方面的改革。
有的學者談到新技術對教師的任務及其教學方法的影響問題。認為使用計算機以后，增加了學生獨立學習的成份，教師的作用會起一定的變化。教師的任務不是傳輸知識，而是組織學生積極活動，引導學生去探索和發現知識，讓兒童自己構建知識，培養合理的思維。由于新內容、新技術和新教法都影響著數學教育的目標，因此改進數學教育的關鍵因素就是繼續提高教師的專業水平。
會議也提出了使用新技術對教科書的影響問題。有人認為，由于計算機能為理解數學概念、訓練技能以及解問題提供材料，因此將會改變數學教科書的結構。蘇聯一位學者強調，現代的數學教科書應該有助于發展學生的創造性潛能。
會議上有的代表介紹了在家庭作業及課外輔導方面引入新技術的情況。例如，有人調查英國一些學校的學生家庭中擁有微型計算機的已超過60％，很多學生利用微機編程序來完成一些家庭作業。美國一家電視廠，把小學數學的主要內容制成錄相帶，配合學校的數學教學，每天在電視臺播放半小時，不僅學生收看，而且家長和教師也收看，取得很好的效果。也有的國家有人把小學高年級的內容，如質數和合數，整除性的檢驗，多邊形和多面體等，編成電視劇系列。其目的是通過數學概念的學習與愉快的體驗的聯系，來激發學生對數學的學習興趣。
三 錯誤在學習數學過程中的作用
近年來，數學教育工作者對錯誤在數學學習過程中的重要作用越來越重視。1987年數學學習國際組織在加拿大開會時曾進行過專門討論。這次會議上小學組就此問題也進行了研究。大都認為，學生在學習中出現錯誤和誤解，有助于教師確定學生在學習方面存在的問題的類型。教師只有弄清這一點，才能很好地做出自己的教學計劃，去幫助學生消除錯誤。錯誤和誤解都是基于不適當的理解。但是教師通過與學生討論錯誤，使他們看到錯誤之所在以及錯誤的原因，可以有效地消除錯誤，而且能使學生加強對數學的一般理解。還有人提出，不應把錯誤僅僅看作是教師用以診斷學生學習中的困難和尋找消滅錯誤的策略的工具，還應把它看作是激發學生探索數學知識的動機和手段。要使學生認識到出現錯誤并不是壞事，它為進一步進行教學活動（包括解問題、提問題、批判的思考等）提供了機會。要著重引導學生分析討論為什么是錯誤，而不只是如何把它改正過來。如果善于把錯誤作為質詢和探究的出發點，就會使學生得到更大的益處。
四 關于解問題的教學的研究
近些年來，解問題的教學一直是各國數學教育工作者著重研究的一個問題。這次會議著重研究以下兩個問題：1.如何幫助學生理解問題的情境；2.如何教學生學會使用解題的一般策略。
有的代表指出，傳統的教學解問題的方法，往往是由教師給出一個范例，讓學生模仿。教師不僅沒有給學生準備真實的問題情境，也沒有教給學生一般的解題策略。這樣既不能提高學生解問題的能力，也不能提高他們解問題的積極性。
為了幫助學生很好地理解問題的情境，有的代表提出，要引導學生弄清題里有關的事實數據，確定解題的目標以及這些事實數據之間的關系。會上有的代表介紹了他們對影響解題策略的因素所進行的研究。有人認為，問題的易難與其具體、抽象的程度以及有無事實或有無假設有密切關系。一般地說，具體的比抽象的要容易些，有事實的比假設的要容易些。還有人研究認為，一個數學問題，既有數學結構，又有邏輯—語言結構，這兩者都影響著學生的解題策略。此外，學生的解題策略還受著學生生活經驗的影響。
關于如何教學生學會解數學問題的一般策略，有人認為，學生解題時包含著復雜的心智活動
，如聯系、分析、分類、想象、選擇、作計劃、預測、推論、心算、檢驗、評價等。要根據學生解題時心智活動的特點給以指導。有的代表強調，通過自我提問，提高學生的認知理解水平，培養學生自己監督、調節他們認知活動的能力（即所謂超認知能力），是提高學生解題能力的重要途徑。一位代表在小學四年級進行試驗，開始由教師示范，聯系數學問題的情境和具體任務，自問自答。如：“首先我需要做什么？——我必須弄清這道題要我做什么。實際上發生了什么事？那么我知道什么可能對解題有幫助？我以前是否見過這樣的問題？題里的條件是太多了還是太少了？我能把它找出來嗎？我能想出一個類似的或者比較簡單的情境嗎？合理的答案可能是什么？……”學生熟悉這種自問自答的方法以后，開始練習自己設問，自己回答并加以評價。一年以后，大多數學生能自己構建解題思路，顯示出這種方法對提高學生解題能力以及改變學生對數學的態度具有很大的影響。
五 關于一般教學方法的研究
會議對于一般教學方法沒有進行專門討論，但是談到其他問題時，涉及到一些教學的原則問題，值得注意。例如，談到教師的培訓問題時，提出知識不要由教師來傳輸，而要由兒童來構建；強調教師要能促進學生提問以及對數學的應用的探究。有的代表在談到如何評價教師的教學方法時，著重在課堂上是否做到：學生的學多于教師的教，個別教學與集體教學平衡，學生的相互作用，發展學生的合理思維技能與一般的解題技術。
有些代表介紹了對新教學方法的試驗研究。例如，有的代表采用探究法進行教學，鼓勵學生自己發現數學原理。在探究問題時，學生要收集數據，進行推斷。如練習普通分數化小數時，讓學生探究什么樣的分數可以化成有限小數。他認為，認識的好奇心是引起動機的重要因素。動機越強，學習的堅定性越大。他還認為，學具在探索問題時起著重要的作用，可以促使學生自己去發現數學原理。特別是對差生，可以產生較大的效果。有的代表試驗用所謂“有引導和對話的自學法”。指出這種教學方法實際上是講解、做中學、發現和程序教學這四種方法與古希臘的對話（討論）法的結合。強調讓學生自己去學習經過特殊設計的教科書，通過細致計劃好的對話使學生對所學的新課題得到充分的理解。這些活動都是在教師的監督和引導下進行。經過試驗，學生獲得的知識和解題能力都比用傳統的講解法好。但是也指出最困難的問題是編寫和印刷教科書。還有的代表強調采用使學生獨立工作的方法。認為保障學生有獨立工作的條件很重要。教師的指導和鼓勵學生學習應有一定的比例，盡力給學生以充分的時間去思考、實驗和討論。但是對學生的獨立作業的安排要有專門的準備。
六 對高能學生的數學教育
這次會議很重視高能學生的數學教育問題。有些代表指出，傳統的數學教學只注意中等水平的學生。這是自然的，因為這些學生構成了大多數。但是另一方面，人們也已認識到，高能學生對于發展一個國家的技術和文化所具有的重大作用。每個國家都盡可能使高能學生學得多一些、深一些、快一些，以便為他們的未來的活動做更好的準備。但是，各國采取的措施不盡相同。有些代表在會上介紹了本國的經驗。例如，匈牙利在一些學校中設有特殊班，招收數學成績好的學生，每周上數學課近10小時。有的學校創辦“數學下午”，為一些高能學生擴展一些新知識。保加利亞除設有加強數學學習的特殊學校（從一年級開始）外，在普通中小學還分成三個水平：1.必修的普通數學，一般每周4～5課時，教以系統的數學知識和技能，以解決日常生活和實踐中的問題；2.自由選修數學，從六年級起開設，每周2課時，目的在使能力較高并對數學有興趣的學生獲得較高的理論水平，并了解現代數學及其應用；3.選修數學，從四年級起開設每周2課時，目的是在必修的普通數學的基礎上擴展數學知識，或者從數學專門領域獲得一些數學知識和能力，以發展學生的個人創造性。在美國和澳大利亞的一些學校中，建立數學俱樂部，或開設暑期學校。在聯邦德國則設“MATHEMA”課外學習項目，以提高高能學生的數學水平。
數學教育論文:數學教育醞釀改革 把數學的美麗還給學生
數學很好玩。數學很漂亮。在數學家眼中，數學就像一位戀人…… 在數學家大會上，一位位數學大師用洋溢著激情的字眼描繪數學。雖然從呀呀學語之時就學著數：一、二、三、四……但數學真的那么美嗎？對于大多數中國學生來說，他們感受不到數學的魅力。 現在，中小學里愛好數學、成績好、又學得比較輕松的學生不太多。多數學生對學習數學缺乏興趣，花的力氣不少，但成績并不好，數學成了學習的負擔。 著名數學家、中科院數學與系統科學院院長楊樂認為，這其中有教材內容過多過繁的原因；有教師水平不齊整，教得不夠活的原因；更有現行考試模式的影響，因為數學是主科，總歸要考，考試指揮棒的牽制力是很大的。“我們的數學教育必須改革！”北京師范大學數學系一位教授參與制定了新的中小學數學課程標準，他對現在的數學教學很有些不滿：“數學并不枯燥，是我們把它教枯燥了。不能再讓孩子學得那么痛苦，要把數學的美麗還給他們。” 這幾年，我國參加國際數學奧林匹克競賽，獲得的金牌總數常常高居榜首，成為當之無愧的數學“奧賽”及時大國。有人認為，中國的數學“新苗”正在成長，意味著中國的數學研究前景大有希望。但也有人擔心，為競賽而刻意進行的強化訓練，實際上和讓孩子喜愛并且研究數學背道而馳。“現在這類事情在中小學搞，無非是讓學生做些復雜的、偏一些的題，這些解題技巧多半又是“填鴨”式地“灌”給學生，學生沒有消化思考的時間，又忽略了興趣，很難把它真正變成自己的東西，反倒弄成了負擔。”數學家楊樂對此表示擔憂。 不光多數中小學生不愛學數學，不少大學生對數學也沒興趣，甚至連理工科大學生也往往忽略數學學習。只是以后需要用到大量的數學知識時，這些學生才恍然大悟，原來數學如此重要。 前來參加數學大會的著名數學家、菲爾茨獎獲得者丘成桐，在哈佛大學曾碰到一件令他十分驚訝的事情。有24小時，幾個從清華大學來這里念工程學的學生找到丘成桐，求教幾何方面的問題，問如何把圖像運動表示出來。丘成桐感到很奇怪，這不是微分幾何方面的古典問題嗎，原本是在讀本科時就應該掌握的數學知識。他說：“希望即使是學工程的學生也要多花點時間在純數學上，打破門戶之見。” 對于丘成桐的這番話，一位電力系統專業出身的工程師頗有感觸。他最近在編寫一個應用軟件時，就屢屢遇到數學問題的障礙，不得已三番五次地找一位數學博士請教。他感嘆，真是“數”到用時方恨少！ 無論對于傳統的工科、理科，還是信息、經濟、管理等新興學科，甚至于人文學科的學習來說，數學方法都是必要的基礎和工具。楊樂教授說，研究生的培養、高層次人才所特別需要的創新能力的培養，都離不開數學基礎。 北京師范大學劉兼教授透露，目前我國中小學數學教育改革正在逐步推進。記者了解到，新的數學課程標準已經擬定。新標準對目前“繁”、“難”的數學內容適當做了刪減，并要求教材編寫結合學生生活實際，激發學生學習數學的興趣。 而大學的數學教育改革也正引起關注和討論。我國的大學數學教育，一定程度上存在重理論輕實踐的傾向，而且數學課程的設置也不靈活。南開大學數學系定光桂認為，對于非數學專業學生的數學教育，必須以數學的應用和應用數學為主要教學內容。同時，要開設多門供不同專業學生選修的課程。即使對于數學專業的學生，也不要將課程規定得太死，除了必修的數學基礎課外，大量開設一些數學選修課，讓學生們得以獨立自由地發展，發揮他們的創造性。
