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第二講 探求——數學需要什么樣的課堂？

一、數學需要講道理的課堂

數學本身就是一個講道理的學科，其本身具有嚴謹的、條理清楚的、具有邏輯結構的知識實體，數學的推理和它的結論是無可爭辯、毋庸置疑的。數學證明的性、確定性也是其道理體現的一個主要方面。鄭毓信教授認為：“教師的特色不應局限于教學方法或模式，也應體現其對教學內容的深刻理解，反映他對學習和教學活動本質的深入思考。”數學課堂要立足以人為本，構建生本課堂，從提高教師自身的專業素養入手，確立“以學生為中心”“以學生為主體”的觀念，以學生的發展為價值追求，把課堂的時間、空間留給學生，滿足不同學生的個性需求，實現人人發展的教育目標。

數學知識的本質呼喚講道理的課堂

英國學者P•歐內斯特(P. Ernest)說過：“數學教學的問題并不在于尋找好的教學方式，而在于明白數學是什么……如果不正視數學知識的本質問題，便解決不了教學上的爭議。”數學知識本質既表現為隱藏在客觀事物背后的數學知識、數學規律，又表現為隱藏在數學知識背后的本質屬性。像其他知識一樣，數學知識是人類創造的產物，是人類不斷創造和發明的廣闊領域，是不會終結的產物。這樣動態的數學觀對數學教育舉足輕重，這就要求數學課堂要讓學生明確知識之理，通過展示數學知識的美感，體現數學的價值，揭示數學知識的本質。

t1.eps例如，教學人教版四年級下冊《角的度量》一課，角的度量其知識本質就是度量，度量是將事物的屬性量化，賦予事物一個“數”，從而可以在同一緯度上比較事物。“角”作為新的度量對象，雖然與長度、面積等有著明顯的不同，但都是指被度量的物體里含有多少個基本度量單位。教學中要溝通學生已有關于度量長度、面積的方法與角的度量之間的聯系，讓學生在聯系中講道理。

課伊始，教師可以出示如下三種圖形：

讓學生說說，怎么度量線段的長度和長方形的面積。然后提供1分米的線段和1平方分米的正方形，讓學生通過操作明晰：度量線段的長度就是看這條線段有幾個1分米，度量長方形的面積就是看這個長方形有幾個1平方分米。接著教師提問：如何度量角呢？學生立足已有度量的經驗，提出要看這個角有幾個角的單位，以此提出先要有角的度量單位才能進行度量。

1°角是度量角的基本單位，在認識1°后，教師提供5°、10°、30°角，讓學生進行估角，并說明是怎么估的，從而明白“估角”就是看這個角里含有幾個1°角或者幾個10°角，這是利用度量的本源去思考如何量角，是量角方法的雛形。同時也讓學生在量角之前就對這個角的度數范圍有一個比較合理的預測，建立角的大小的空間觀念，為后續量角作好鋪墊。

學生發展的需要呼喚講道理的課堂

新課程標準更加重視學生能力的培養和素養的提高，它指出“義務教育的數學教育必須面向所有的學生，為每一個學生的終身發展奠定基礎”。學生學習數學，不僅僅是為了記住一些枯燥的數字和公式，而是為了運用公式去解決實際問題，從而提升學生的數學素養，促進學生和諧地發展。課堂上讓學生講道理，就是讓學生參與數學知識的形成過程，關注數學知識的背景性知識，將問題的來龍去脈或困惑恰當地呈現在數學課堂上，從而培養學生言之有理、落筆有據地講理和推理的思維習慣，培養學生緊扣問題本質解決問題的思維方式，提高學生發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。

例如，教學人教版四年級下冊《四邊形的分類》一課，課伊始，教師出示一個信封，讓學生自由猜測信封里的四邊形可能是什么圖形。當學生猜可能是正方形、長方形、菱形、梯形、平行四邊形時，老師露出信封中圖形的一個角(如下圖)：

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讓學生觀察，并再次猜測信封里可能裝的是什么圖形。學生從盲目地猜測，到認為要給提示才能猜中，思維已經開始走向縝密。當一些孩子提出要知道“有幾組對邊互相平行”這一條件時，讓其闡述道理，說明為什么需要這個提示。可以看出，學生已經初步感知等腰梯形和平行四邊形之間既有共同之處，又有本質區別。看似簡單的猜測，背后卻隱藏著豐富的思考。

當學生根據“兩組對邊互相平行的四邊形是平行四邊形”猜測信封中是平行四邊形時，教師拿出的卻是長方形。此時，學生又陷入了思維沖突中。教師適時拋出一個問題串：“它是平行四邊形嗎？”“為什么說它是特殊的平行四邊形？特殊在哪？”在這一系列問題的引導下，學生通過講理，明晰了為什么長方形是特殊的平行四邊形這一道理。

繼續猜圖游戲時，教師提供的信息是“兩組對邊分別平行且四條邊都相等”，當學生信心十足且激動地搶答是正方形時，教師拿出的卻是菱形，學生都笑了。

我們可以將自己置身其中想想：假設自己作為學生，遇到這樣的情境，有問題串作為思考的導向，將會收獲什么呢？毫無疑問，在擁有了思考探索的空間后，充分經歷了探究、思考、再探究、再思考……一浪接著一浪的思維沖擊！通過這樣的生“疑”追“理”巧妙地認識了菱形、正方形、長方形、平行四邊形之間的關系。學生通過對教師、對他人、對自己、對教材的質疑，冷靜地觀照、審視數學知識，進而使得自己的思維走向深刻。

數學課程的教育觀呼喚講道理的課堂

數學課程標準提到數學教育就是要達到“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”。長期以來，我們習慣以應試教育來左右數學教學，在數學課堂中經常出現不求數學本質的理解，不問知識的來龍去脈，采用精講多練、變式訓練來掌握解題技能，缺乏對數學本質及思想真正的感悟的現象。講道理的課堂摒棄教師“獨白”式的教學方式，提倡尊重、平等交流的“對話”式教育，留給學生更多的課堂時間和思維的空間，較大限度地開啟每一個學生的智慧潛能，為每個學生提供多樣性的彈性發展空間，讓學生從逐步“學會”到自己“會學”，真正成為數學學習的主人。

二、構建講道理的課堂教師該怎么做？

數學是一門講道理的學科，其本身就存在著嚴謹的推理論證。數學教師必須明理，并通過有效的引導讓學生明晰道理，把道理清晰地表達出來，也就是“明數理、知教理、行道理”，才能讓數學課堂更具生命力。

明數理

“明數理”，簡單地說，就是懂得數學。數學是一門研究現實世界中數量關系和空間形式的科學。從狹義來說，是蘊含在數學中的因果、邏輯，如小學數學中的數量關系、圖形關系、隨機關系，包括數學概念、定義、公式、定理、法則、規律等等；從廣義來說，包括數學文化、數學素養、科學方法、理性精神等。具體地說，理解并整體把握小學數學，包括了解數學史、數學課程設計、數學的主線、數學的基本思想等，知道本課教學內容“是什么”“什么樣”，在內容領域和板塊中的位置、意義、作用，與其他內容的從屬和橫向關系(縱橫關系)，對內容進行細化并明晰依照知識的邏輯性、系統性、連貫性的知識序，實現教學內容的新舊聯系、從低到高、螺旋上升，以知識序確定教學序并確定教學目標、教學事件、形式方法、輕重詳略，等等。

對數學教師來說，在教學中，不但要向學生展示既定的數學知識，還必須能夠解釋其中的道理：為什么要認識它？它是怎么產生的？也就是我們所說的數學知識之理，它涉及教師對數學專業知識的深入理解。在數學教育中，有許多話題反映教師數學專業知識對教好數學的重要性，如“教師必須具有所教學科的專業知識”“教師不可能教他所不知道的知識”。

的確，數學知識是教師有效教學所需要的各種技能的依托，小學數學教師對于自己所教數學知識內容的掌握在很大程度上決定了他的教學效果，同樣的數學內容，學生學到什么樣的數學，取決于教師帶進課堂中的對數學的理解。也就是說，數學教學的效果與小學數學教師的數學知識素養有著密切的關系，教師數學知識素養的缺失將會嚴重影響其教學質量。

為此，數學教師應該更深入地把握小學數學教學內容，以便高屋建瓴地指導小學數學教學。對概念、公式、定理等不能滿足于形式上的理解，而要明白其來龍去脈、知識串聯，既要重視其內涵，也要把握其外延；對數量之間或形體之間的邏輯關系要建立整體的認識，聯通各知識之間的關系，正確把握數學知識之間的因果關系。

在一次關于教師專業知識的情況調查中，我們考察教師對加、減、乘、除、分數、周長與面積這幾個概念的理解。可以看到多數教師雖然能得到“求幾個連續加數的和的簡便運算就是乘法”“物體或平面圖形一周的長度就是周長”等“正確的答案”，但是，很少能夠對規則所含的數學意義給予解釋，而且缺乏對知識點之間聯系的認知。由于對數學知識理解的局限性，教師在教學時會傳遞給學生錯誤的理解，比如，課堂上我們經常會聽到教師說“摸一摸長方形的周長”“摸一摸桌子的面積”等語言，從這些語言里，我們可以看出教師不理解周長和面積是一個量，其長短和大小是用度量來體現這一本質屬性。因為不明白知識之理，導致在教學中過多地強調規則運用，強調學生對規則的記憶，讓學生記住的是周長和面積的公式，而不能給予學生深層次的理解。

又如，在對三類不同的應用題(如求一個數是一個數的幾分之一；已知一個數求這個數的幾分之幾；已知一個數的幾分之幾，求這個數)的教學中，教師經常把三個知識點割裂教學，教學過程中強調單一的數學知識點，而沒讓學生把握這三個知識點之間的聯系。其實，這三類應用題既有共性也有不同點，教師在教學中，應該將分數的概念統一到整個數的概念中，引導學生找到分數的位置，溝通分數和已有的認知結構的聯系，在看似不同的數學現象中，建立起統攝性的數學模型，使得學生對數學知識有進一步的深刻理解。

知教理

“知教理”，就是掌握和運用教學方法。教學方法是教師在教學過程中，成功地把教學內容傳授給學生，達到有效教學目標的一系列操作方法、程序和實施途徑。教學方法的選擇是決定教學效果和效率高低的一個重要因素。按教學方法的外部形態及學生認識活動的特點分類，教學方法一般可分為五類：一是以語言傳遞信息為主的教學方法，主要有講授法、談話法、討論法和讀書指導法等；二是以直接感知為主的教學方法，主要有演示法和參觀法；三是以實際訓練為主的教學方法，包括練習法、實驗法和實習作業法；四是以欣賞活動為主的教學方法，即欣賞法；五是以引導探究為主的教學方法，主要是指發現法。任何一種教學方法都不是萬能的，每一種教學方法都有其適用范圍和局限性。對于教學方法，重要的是學會運用，針對不同教學內容，考慮到不同教學方法的優勢和短處，選擇最能發揮其作用，能夠達到教學效果的方法，綜合使用多種教學方法，提高教學方法的效用。最重要的是，要用數學知識所承載的數學思維方法研究問題、發現問題，找到規律進行教學。小學數學教師應該具有深厚的學科功底、對教學方法有透徹的了解，根據學生、教學內容的需要和自己的特點選用能充分發揮自己優勢的教學方法，自覺地實現教學方法的多樣化。

教育是一門科學，也是一門藝術，教育是有規律的，了解知識本質、了解學生之后，我們要遵循教育規律來選擇合適的教學方法。數學教學作為一種師生互動的活動，教師面對的是具有不同發展水平的學生，教學的性質決定了教師不僅自己要理解所教的知識，還需要按照學生的思維特點，以新的方式對學科知識重新組織，采用合理的教學方式進行教學。這就需要教師掌握教學法方面的理論與技巧，然后根據不同的教材和學情，采用不同的教學方式。一個的教師應該能根據教學實際，結合自己的教育教學理念，采用合適的教學方法，以達到的教學效果。

例如，教學《梯形面積》一課，有的教師選用講解、演示等方法進行教學，教師先出示兩個相同的梯形，通過講解并操作演示，讓學生明白兩個相同的梯形可以拼成平行四邊形，接著結合課件演示，讓學生明白平行四邊形的底就是梯形的上底和下底之和，平行四邊形的高就是梯形的高。歸納總結出“梯形的面積=(上底 下底)×高÷2”的計算公式，然后讓學生記住公式，并運用公式進行大量的計算梯形面積的練習。這一教學過程，運用講解演示法，學生計算梯形的面積率非常高，大部分的學生能明白，兩個相同的梯形能拼成一個平行四邊形。這樣的教學方式雖然同樣能得出梯形的面積公式，但是學生缺乏主動探究的欲望，學生的思維被束縛住，缺乏創新。同樣的教學內容，有的教師則選用探究、討論、發現等方法進行教學，先給學生創設恰當的問題情境，激發學生充分利用自己已有的知識經驗，采用平移、旋轉、割補等方法，而不一定只用拼補的辦法，把梯形轉化為已經學過面積計算的平面圖形，這個圖形可以是平行四邊形、三角形、長方形等，在此基礎上通過合作交流，進一步總結出梯形面積的計算公式，并在計算中驗證所總結出的計算公式。用這樣的教學方法，學生能根據自己的認知經驗，主動探究解決問題。因經歷了自主思考、操作、講理的過程，學生對梯形面積的體驗和感悟更為深刻，他們收獲的不僅是一個簡單的公式，積累數學活動經驗、提高解決問題的能力、提升數學思想等方面都有所得。

當然，教學方法并不是固定不變的，而是要隨內容的不同而不同，因情境變化而變化，因教學對象的差異而調整，正所謂“教學有法，教無定法”。

行道理

“行道理”，就是遵循小學數學教學的道理開展小學數學課堂教學。課堂教學是知行合一的途徑，教師是知行合一的主體，行道理就是知行合一的過程。行道理就是在教師明數理、知教理的基礎上，帶領學生學習小學數學。行道理的路線圖是“教學設計—教學實踐—教學反思”。教學設計是課堂教學的基礎，教學實踐是課堂教學的展開，教學反思是優化課堂教學的保障。行道理的核心是針對學生、適合學生進行教學。一要遵循從已知到未知、從感知到理解、從鞏固到運用、從具體到抽象、從易到難、由簡到繁、由近及遠的認知序開展教學；二要分析學生，分層教學，以點帶面，較大限度地實現人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展；三要把老師自己研究知識、研究問題的體會講出來，讓學生感受是如何提出問題、如何理解問題、如何研究問題的，引導學生去理解問題、思考問題，最終讓學生也能夠“想明白、說清楚”。

學生的數學學習是一個復雜的活動過程，除了原有的數學認知結構外，學生現有的思維水平與學習能力，無疑對其數學學習起著直接的作用，影響著數學知識與技能的掌握。小學數學教學面對的是兒童，由于小學生的知識和能力都處于初步發展階段，思維的特點也是以形象思維為主，因此，抽象的數學知識對他們來說，是比較難理解的，這就要求教師在理解數學知識道理的基礎上，還要、充分地了解學生的認知特點、認識規律等教學道理從而把握教學。

例如，在一年級學習《20以內的加減法》時，有學生會采用數手指頭的方法來輔助計算，有的教師認為這個方法是不可取的，覺得該方法容易對學生的計算造成心理上的“手指依賴”，導致對數理分析的疏離，不利于培養學生的數感及抽象能力，應該從數學學習的起始階段就嚴格按照數的組成和關系來開展計算教學。筆者認為，數學學科嚴密的邏輯性和高度的抽象性特點，以及小學生的年齡特征，決定了小學數學的學習比其他學科更需要感性材料的支撐，要充分運用感性材料的直觀形象性去幫助學生理解學習內容。同樣是20以內的加減法，有的學生可以離開具體的事物(手指頭)根據算理進行運算，說明其思維具有較高的抽象水平；可有的學生思維的抽象發展較為緩慢，往往還離不開具體事物，所以要借助于手指進行計算。這里教師應該尊重不同學生的思維發展特點，不能一概而論，否則就會造成學生死記知識而不能正確理解掌握知識。

學生是學習的主人，他們的知識從根本上來講不是教師教會的，而是主動建構的，因此教師在教學中“不能以主觀的分析或者解釋去替代學生真實的思維活動”。在教學中，許多教師在教學中經常會發出這樣的感慨：“這個知識這么簡單，怎么就教不會呢？”“這個題目都講過好幾遍了，怎么還這么多學生不懂呢？”諸如此類的困惑，究其原因，就在于教師常常立足于成人的角色，不自覺地把成人的認知規律當成兒童的認知規律，并沒有站在學生的角度去思考(比如：學生學習這個知識已有認知是什么？新知學習的障礙是什么？學生錯誤的本質是什么？)，而直接從成人的角度對學生的困惑和錯誤進行重復講解。這樣一來，不僅無法解決學生的認知困惑，反而讓學生對知識的認知產生畏難情緒，從而失去了學習的興趣。