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專題一數學分析

1.數列極限、函數極限的含義和運算；2.函數連續性的概念性質和判斷方法，函數的一致連續；3.導數的概念及應用，微分的概念；4.微分中值定理；5.積分的定義，定積分和不定積分的計算；6.函數列的一致收斂的定義及判定。

數列極限、函數極限的計算；函數連續性的判定，函數連續性的性質；微分中值定理。

函數極限和函數連續的綜合考查，微分中值定理。

1.函數f(x)=1+x++的圖象與x軸交點的個數是()。(2012年下半年真題)

A.0B.1

C.2D.3

[答案]B。解析：∵f′(x)=0+1+x+x2=(x+)2+>0，∴函數f(x)單調遞增。又f(0)=1，f(-2)=-，∴函數f(x)的圖象與x軸有且只有一個交點。故選B。

2.若f(x)為(-l，l)內的可導奇函數，則f′(x)()。(2012年下半年真題)

A.是(-l，l)內的偶函數B.是(-l，l)內的奇函數

C.是(-l，l)內的非奇非偶函數D.可能是奇函數，也可能是偶函數

[答案]A。解析：因為f(-x)=-f(x)，所以f′(-x)==

===f′(x)

因此，f′(x)是偶函數。

3.設｛an｝為數列，對于"存在正數M，對任意正整數n，有an≤M"的否定(即數列｛an｝無界)是()。(2012年下半年真題)

A.存在正數M，存在正整數n，使得an>M

B.對任意正數M，存在正整數n，使得an>M

C.存在正數M，對任意正整數n，有an>M

D.對任意正數M，以及任意正整數n，有an>M

[答案]B。解析：對任意正數M，存在正整數n，使得an>M，則稱數列｛an｝無界。

4.極限xe-1的值是()。(2013年下半年真題)

A.－1B.0

C.1D.正無窮

[答案]C。解析：xe-1===e=1，故選C。

5.定積分dx的值是()。(2013年下半年真題)

A.πB.π

C.πD.π

[答案]A。解析：運用定積分換元法。∵dx=dx，

∴令x-3=5sint-≤t≤0，則t=arcsin。==5=5cost，dx=5costdt，

∴dx=dx=52cos2tdt=t+=，故選A。

6.曲線y=x3＋x＋1在點(1，3)處的切線方程為()。(2014年上半年真題)

A.y=2x＋1B.y=4x－1

C.y=4x＋2D.y=3x

[答案]B。解析：先求出y=x3+x+1在點(1，3)處切線的斜率為4，再根據過(1，3)，得到切線方程為y=4x-1。

7.積分dx的值是()。(2014年上半年真題)

A.1B.

C.D.

[答案]B。解析：由定積分的幾何意義很容易得到。

8.若函數f(x)在［a，b］上連續，在(a，b)內可導，且x∈(a，b)時，f′(x)>0，又f(a)<0，則()。(2014年下半年真題)

A.f(x)在［a，b］上單調遞增，且f(b)>0

B.f(x)在［a，b］上單調遞減，且f(b)<0

C.f(x)在［a，b］上單調遞減，但f(b)的正負無法確定

D.f(x)在［a，b］上單調遞增，但f(b)的正負無法確定

[答案]D。解析：因為f(x)在(a，b)內連續可導，且f′(x)>0，所以f(x)在[a，b]上單調遞增，但f(b)的正負無法確定。

9.函數列｛fn(x)｝與函數f(x)都在閉區間［a，b］有定義，則在［a，b］上｛fn(x)｝一致收斂于f(x)的充要條件是()。(2014年下半年真題)

A.?坌?著>0，?坌x∈［a，b］，?堝正整數N，使得當n>N時，有fn(x)-f(x)

B.?坌?著>0，?堝x0∈［a，b］，?堝正整數N，使得當n>N時，有fn(x0)-f(x0)

C.?堝正整數N，?坌?著>0，?堝x0∈［a，b］，使得當n>N時，有fn(x0)-f(x0)

D.?坌?著>0，?堝正整數N，使得當n>N時，?坌x∈［a，b］，有fn(x)-f(x)

[答案]D。解析：由一致收斂的定義得出。

10.與命題"y=f(x)在x0連續"不等價的命題是()。(2015年上半年真題)

A.對任意數列｛xn｝，xn→x0，有f(xn)=f(x0)

B.?坌?著>0，?堝?啄>0，使得?坌x-x0

C.存在數列｛xn｝，xn→x0，有f(xn)=f(x0)

D.對任意數列｛xn｝，xn→x0，?坌?著>0，?堝N，?坌n>N有f(xn)-f(x0)

[答案]C。解析：設函數f(x)=1，x為有理數0，其他，xn=；則有xn→，f(xn)=f()=1，但是f(x)處處不連續。

11.三次函數y=ax3＋bx2＋cx＋d的導函數圖象如下圖：

則此三次函數的圖象是()。(2015年上半年真題)

A.B.

C.D.

[答案]B。解析：若f(x)在某個區間I內有導數，則f′(x)≥0，(x∈I)?圳f(x)在I內為增函數；f′(x)≤0，(x∈I)?圳f(x)在I內為減函數。結合圖中導函數的函數值從左到右依次大于0、小于0、大于0，因此原函數圖象從左到右變化趨勢依次是單調遞增、單調遞減、單調遞增。因此選B。

12.已知數列｛an｝與數列｛bn｝，n=1，2，3，…則下列結論不正確的是()。(2015年下半年真題)

A.若對任意的正整數n，有an≤bn，an=a，bn=b，且b<0，則a<0

B.若an=a，bn=b，且存在正整數N，使得當n>N時，an≥bn則a≥b

C.若an=a，bn=b，且a

D.若對任意的整數n，有an≥bn，an=a，bn=b，且b>0，則a>0

[答案]C。解析：取an=，bn=1-，an=0，bn=1，0<1，而a1=1>b1=0，a2=b2=，因此C的結論不正確。

13.函數級數xn的收斂區間為()。(2015年下半年真題)

A.(－1，1)B.(1，1］C.［－1，1)D.［－1，1］

[答案]A。解析：由已知得級數的收斂半徑為r===1，又當x=1時級數1n發散，當x=-1時級數(-1)n發散，故選A。

14.極限(1-)的值是()。(2016年上半年真題)

A.0B.1C.eD.

[答案]B。解析：(1-)=e=e=e0=1。故選B。