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第1章

這個(gè)墓穴埋葬著丟番圖

在很多個(gè)世紀(jì)以前的古亞歷山大，一位老人埋葬了自己的兒子。這位心碎的老人為了轉(zhuǎn)移自己的悲傷，開始整理大量的代數(shù)問題，并將這些問題及其解法匯編成書，取名《算術(shù)》(Arithmetica)。這些就是人們對(duì)亞歷山大的丟番圖幾乎所有的了解，而這些了解絕大多數(shù)來自其好友在他去世后不久所寫的一個(gè)謎題：

行人啊，請(qǐng)稍駐足，這里埋葬著丟番圖。上帝賦予他一生的六分之一，享受童年的幸福；再過十二分之一，兩頰長胡；又過了七分之一，燃起結(jié)婚的蠟燭。愛子的降生盼了五年之久，可憐那遲來的兒郞啊，只活到父親歲數(shù)的一半，便進(jìn)入冰冷的墳?zāi)埂１瘋挥型ㄟ^數(shù)學(xué)來消除，四年后，他自己也走完了人生旅途。

這篇墓志銘對(duì)丟番圖兒子的死亡說得不是很清楚。其中提到，他只活到了"父親歲數(shù)的一半"，但這是指兒子死時(shí)父親年齡的一半，還是指他父親壽命的一半？不論怎樣理解，都可以解答。但如果是后一種理解"只活到他父親壽命的一半"，我們得出的歲數(shù)會(huì)是一個(gè)漂亮而又簡潔的整數(shù)。

我們假設(shè)丟番圖的壽命為x。丟番圖生命中每個(gè)時(shí)期的年數(shù)要么是他壽命的幾分之幾(例如，x除以6是他的童年時(shí)光)，要么是一個(gè)整數(shù)(例如，從他結(jié)婚到兒子出生有5年的時(shí)光)。丟番圖生命中所有時(shí)期的年份之和為x，所以這個(gè)謎題可以用下面這個(gè)簡單的代數(shù)式來表示：

所有分母的最小公倍數(shù)是84，將等號(hào)兩邊同時(shí)乘以84得到：

分別整理帶有x的項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，得到：

即：

方程的解是：

所以，丟番圖的童年時(shí)光是14年，7年后他長大成人。又過了12年，在33歲的時(shí)候，他結(jié)了婚，5年后有了兒子。兒子死于42歲，丟番圖當(dāng)時(shí)80歲，4年后丟番圖去世。

事實(shí)上，有一個(gè)更快捷的方法來解這個(gè)謎題：如果深入探索出題人的內(nèi)心想法，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)他并不想用分?jǐn)?shù)來增加麻煩。丟番圖壽命的"十二分之一"和"七分之一"必然是整數(shù)，所以他的壽命年數(shù)一定可以被7和12整除(自然也會(huì)被2和6整除)。只需將12乘以7就能得到84。這個(gè)看起來也像是合適的高齡歲數(shù)，所以它極有可能是對(duì)的。

丟番圖去世時(shí)也許是84歲，但是對(duì)于歷史來說，更重要的問題是找到具體時(shí)間。人們?cè)?jīng)猜測，丟番圖的時(shí)代是在公元前150年到公元280年之間，那是一個(gè)令人向往的時(shí)期。這樣的話，丟番圖就活在歐幾里得(活躍在約公元前295年)和埃拉托色尼(約公元前276—前195年)等早期亞歷山大數(shù)學(xué)家們之后，這也說明他與亞歷山大的海倫(活躍在公元62年)處于同一時(shí)期。海倫的著作涉及了力學(xué)、氣體力學(xué)以及自動(dòng)控制，他似乎還發(fā)明了一種原始蒸汽機(jī)。丟番圖也許還認(rèn)識(shí)那位憑著作《天文學(xué)大成》而被世人銘記的亞歷山大天文學(xué)家托勒密(約公元100—170)。那本書包含了世界上及時(shí)個(gè)三角函數(shù)表，并且建立了直到十六七世紀(jì)哥白尼革命時(shí)才被推翻的描述天體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)。

不幸的是，丟番圖也許從未見過這些亞歷山大的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家們。過去一百多年來，古典學(xué)者們之間的共識(shí)是，丟番圖大約活躍在公元250年，他現(xiàn)存的主要著作《算術(shù)》很可能也追溯到那個(gè)時(shí)期。這樣的話，丟番圖的出生時(shí)間大概是在托勒密去世時(shí)間的前后。曾經(jīng)編輯了的希臘版《算術(shù)》(1893~1895年出版)的保羅?塔納里注意到，這本書寫著獻(xiàn)給"尊敬的狄奧尼修"。雖然這是一個(gè)常用名，但塔納里猜測，這個(gè)狄奧尼修就是那個(gè)曾在公元232~247年擔(dān)任亞歷山大傳道學(xué)校校長，以及之后在公元248~265年擔(dān)任亞歷山大主教的狄奧尼修。因此，丟番圖可能是個(gè)基督徒。如果是這樣，下面這一事實(shí)就有點(diǎn)諷刺意味了：對(duì)《算術(shù)》的一個(gè)早期但遺失了的評(píng)注是由塞翁的女兒希帕蒂亞(約公元370—415)所寫的，她是亞歷山大一位偉大的數(shù)學(xué)家，后來被一幫反對(duì)她"異教徒"哲學(xué)思想的基督教暴徒殺害。

古希臘數(shù)學(xué)家在幾何學(xué)和天文學(xué)領(lǐng)域一直是最強(qiáng)的。丟番圖在種族上是希臘人，但與眾不同的是，他用"數(shù)字的科學(xué)"，即我們所知的代數(shù)，來緩解兒子去世的悲痛。他似乎是代數(shù)上很多創(chuàng)新的源頭，包括他在問題中使用的符號(hào)和縮寫，這標(biāo)志著數(shù)學(xué)問題從文字描述到現(xiàn)代代數(shù)表示法的轉(zhuǎn)變。

《算術(shù)》的6本書(原來是13本)中羅列的問題一道比一道難，大部分都難于求解丟番圖年齡的問題。丟番圖的問題常常含有多個(gè)未知量。他的一些問題是不定的，也就是說這些問題通常有多個(gè)解。《算術(shù)》中只有一個(gè)問題不是抽象的，也就是說其他問題都是數(shù)字化、不指代現(xiàn)實(shí)事物的。

丟番圖提及的另一個(gè)抽象元素是冪。那個(gè)時(shí)候，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)熟悉了平方和立方。平方用來計(jì)算一個(gè)平面圖形的面積，立方用來計(jì)算一個(gè)實(shí)體的體積。但是丟番圖將高次方引入了他的問題：4次方(他稱為"平方?平方")、5次方(他稱為"平方?立方")和6次方(他稱為"立方?立方")。丟番圖知道，這些冪與現(xiàn)實(shí)沒有關(guān)聯(lián)性，并且他也不在乎這種數(shù)學(xué)的實(shí)用性。這是純粹的娛樂性數(shù)學(xué)，僅僅用來強(qiáng)化思維，沒有別的目的。

這里列舉第4本書中的及時(shí)個(gè)問題。 丟番圖先是概括地闡述了：

將一個(gè)已知數(shù)拆分成為兩個(gè)立方體的體積，并且這兩個(gè)立方體的邊之和等于另一個(gè)已知數(shù)。

接著給出了例子：

已知數(shù)為370，邊長之和是10。

將這個(gè)問題用圖表示后可見，他需要處理兩個(gè)不同邊長的立方體。現(xiàn)代代數(shù)學(xué)家可以將這兩個(gè)立方體的邊標(biāo)記為x和y：

這兩條邊加起來為10。這兩個(gè)立方體的體積之和( 和 )是370。我們現(xiàn)在寫下兩個(gè)等式：

由及時(shí)個(gè)等式得出，y等于 ，將其代入第二個(gè)等式：

展開 ，我們希望立方項(xiàng)最終可以消失：

很幸運(yùn)，立方項(xiàng)消失了，經(jīng)過整理后可以得到：

等式左邊的3個(gè)數(shù)有一個(gè)公因數(shù)，所以可以同時(shí)除以30：

現(xiàn)在，這個(gè)問題基本解決了。你有兩個(gè)選擇。如果記得二次方程的求根公式就可以直接使用它；或者，如果你曾經(jīng)練習(xí)過求解類似的方程，就可以一直盯著它思索，直到它自己神奇地分解成

因此兩個(gè)邊的長度分別為7和3。的確，這兩個(gè)邊加起來等于10，它們的立方(343和27)和等于370。

丟番圖并不像你我這樣解決這個(gè)問題，他確實(shí)不會(huì)。盡管丟番圖的問題經(jīng)常涉及多個(gè)未知數(shù)，但是他的記號(hào)只允許他表達(dá)一個(gè)未知數(shù)。他用了一個(gè)巧妙的方法彌補(bǔ)了這一點(diǎn)。他沒有將兩個(gè)立方體的邊長標(biāo)記為x和y，而是標(biāo)記為(5+x)和。這兩個(gè)邊長可以用一個(gè)未知數(shù)x表示，并且加起來確實(shí)等于10。接下來，他就可以將這兩條邊進(jìn)行立方運(yùn)算，相加后等于370：

這個(gè)式子看起來比我們的糟，但是如果展開這些立方，一些項(xiàng)便會(huì)迅速消去，只留下：

合并同類項(xiàng)，方程兩邊再同除以30，進(jìn)一步化簡為：

即x=2。因?yàn)閮蓷l邊是(5+x)和 ，所以這兩條邊是7和3。

丟番圖用來解決這個(gè)問題的方法比現(xiàn)在學(xué)生用的方法輕松，他神奇并正確地將兩個(gè)邊長用一個(gè)未知數(shù)表示。這個(gè)方法會(huì)適用于下一個(gè)問題嗎？也許可以，也許不可以。建立解決代數(shù)方程的通用方法確實(shí)不是丟番圖所要考慮的。正如一位數(shù)學(xué)家論述的："每一個(gè)問題都需要一個(gè)十分具體的方法，這個(gè)方法通常連最類似的問題都不適用。這使得現(xiàn)代數(shù)學(xué)家即使在研究了100道丟番圖問題的解答后，還是很難找到解決第101道題的方法。"

當(dāng)然，丟番圖在展示這個(gè)立方之和為370、邊長之和為10的問題時(shí)，顯然并不是隨意選取某些數(shù)字，他知道這些假設(shè)條件將會(huì)導(dǎo)出一個(gè)整數(shù)解。實(shí)際上，丟番圖方程就是指只允許整數(shù)解的代數(shù)方程。丟番圖方程可以有很多未知量，這些未知量可以帶有整數(shù)冪，但是它的解(如果有)總是整數(shù)。盡管丟番圖經(jīng)常使用減法來命題，但是他的解從不涉及負(fù)數(shù)。"對(duì)于一個(gè)沒有用任何正整數(shù)相減就得到的負(fù)整數(shù)本身，丟番圖顯然沒有任何概念。" 任何一道問題也不會(huì)包含有0的解，古希臘人不將0考慮在內(nèi)。

現(xiàn)代讀者們，特別是那些已經(jīng)默認(rèn)了丟番圖問題只有整數(shù)解的人，在遇到丟番圖問題中的有理數(shù)時(shí)也許會(huì)有點(diǎn)吃驚。有理數(shù)之所以這樣命名，不是因?yàn)樗鼈冊(cè)谀撤N程度上符合邏輯，而是因?yàn)樗鼈兛梢员硎緸閮蓚€(gè)整數(shù)的比。例如：

就是一個(gè)有理數(shù)。

在《算術(shù)》中，有理數(shù)只出現(xiàn)在涉及現(xiàn)實(shí)物體的問題中，特別是那些一直被大家津津樂道的問題：飲料和德拉克馬(古希臘貨幣)。雖然從這個(gè)問題的描述里看不出來，但是有理數(shù)在這個(gè)解中是必需的：

一個(gè)人買了若干份酒，有些單價(jià)是8德拉克馬，有些是5德拉克馬。他為這些酒支付的德拉克馬是個(gè)平方數(shù)，如果這個(gè)數(shù)再加上60，結(jié)果還是一個(gè)平方數(shù)，該平方數(shù)的根是這些酒的份數(shù)。求兩類酒他各買了多少。

這里的"平方數(shù)"是指一個(gè)數(shù)與它自身的積。例如，25是一個(gè)平方數(shù)，因?yàn)樗扔?乘以5。

在進(jìn)行了一整頁的計(jì)算后， 它揭示了單價(jià)5德拉馬克的數(shù)量是一個(gè)有理數(shù)：

單價(jià)8德拉馬克的數(shù)量也是一個(gè)有理數(shù)：

我們檢驗(yàn)一下這個(gè)結(jié)果。(檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果要比推導(dǎo)它容易得多。)如果你用5德拉馬克乘以79/12，然后加上8德拉馬克乘以59/12的積，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)人總共支付了德拉馬克。丟番圖說這個(gè)人支付了"平方數(shù)的錢"。支付的錢數(shù)必須是某個(gè)數(shù)的平方。令人好奇的是，丟番圖認(rèn)為是個(gè)平方數(shù)，因?yàn)樗梢员硎緸椋?/p>

分母和分子都是平方數(shù)：分別是17和2的平方。因此， 是(即)的平方。丟番圖進(jìn)一步說："如果這個(gè)數(shù)再加上60，結(jié)果還是一個(gè)平方數(shù)，該平方數(shù)的根是整個(gè)酒的數(shù)量。"這里的"整個(gè)"不是指整數(shù)。丟番圖(或者說是《算術(shù)》英文版的譯者托馬斯?哈斯爵士)的意思是指度量的總份數(shù)。60加是，也就是有理數(shù)：

丟番圖再一次認(rèn)為這個(gè)數(shù)是平方數(shù)，因?yàn)樗姆肿雍头帜付际瞧椒綌?shù)：分別是23和2的平方。因此，總的度量數(shù)是23/2(即)，這同樣可以通過將79/12和59/12相加得到。

《算術(shù)》中最著名的問題也許要算第2本書的第8個(gè)問題：將給出的平方數(shù)分解為兩個(gè)平方數(shù)的和，也就是說，求x、y、z，使它們滿足：

這個(gè)問題的幾何解釋是畢達(dá)哥拉斯定理所描述的直角三角形三條邊之間的關(guān)系。

這個(gè)問題有許多整數(shù)解，例如x、y、z分別等于3、4、5(兩個(gè)平方數(shù)9和16的和等于25)。這個(gè)簡單的結(jié)果顯然不是丟番圖所希望的。他設(shè)定了一個(gè)"給出的平方數(shù)"(也就是)等于16，于是其他兩邊分別等于144/25和256/25。對(duì)于丟番圖來說，這些數(shù)當(dāng)然都是平方數(shù)，其中及時(shí)個(gè)數(shù)是12/5的平方，第二個(gè)數(shù)是16/5的平方，并且它們的和是4的平方：

丟番圖允許有理數(shù)解并不重要，因?yàn)檫@個(gè)解等價(jià)于一個(gè)整數(shù)解。簡單地將等式兩邊同乘以 (即25)，即可得到：

即144加256等于400。事實(shí)上，這是同一組解，它們的不同僅在于度量邊的方式不同。丟番圖的問題闡述中，斜邊是4。這可能是4英尺。現(xiàn)在用一個(gè)單位長度不同的尺子去測量，比如單位長度等于五分之一英尺。用這個(gè)尺子測量，這條斜邊就等于20，其他兩條邊分別為12和16。

整數(shù)是在人們開始計(jì)數(shù)之時(shí)出現(xiàn)的，有理數(shù)也許是在人們開始測量時(shí)出現(xiàn)的。如果一根胡蘿卜的長度等于3根手指的寬度，另一根胡蘿卜的長度等于4根手指的寬度，這時(shí)及時(shí)根胡蘿卜的長度就是第二根的。

有理數(shù)有時(shí)也稱為可通約數(shù)字，因?yàn)殚L度被表示成有理數(shù)的兩個(gè)物體總可以重新度量為整數(shù)長度，你只需要將新的度量單位變得足夠地小。

丟番圖的《算術(shù)》是用希臘語寫的，至少有部分文稿被翻譯成了阿拉伯文。當(dāng)它開始在歐洲數(shù)學(xué)界產(chǎn)生影響的時(shí)候，在1575年首次被翻譯成拉丁語，之后在1621年有了更好的版本。費(fèi)馬(1601—1665)曾擁有一本1621年的拉丁語版《算術(shù)》，并在其空白處寫滿了筆記。1670年，費(fèi)馬的兒子公布了這些筆記以及拉丁文版的《算術(shù)》。在這道問題旁有這樣一段筆記，費(fèi)馬寫道：

另一方面，將一個(gè)立方數(shù)分解為2個(gè)立方數(shù)，或者將一個(gè)4次方數(shù)分解為兩個(gè)4次方數(shù)，亦或?qū)⒊椒街獾娜魏纬朔椒纸鉃閮蓚€(gè)有同冪的乘方，這些都是不可能的。對(duì)此，我已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)非常漂亮的證明，但是這兒的空白之處不夠?qū)懴滤?/p>

費(fèi)馬宣稱，例如：

是沒有整數(shù)解的，并且冪為4、5、6及之后的類似方程都沒有解。這并不明顯。等式：

非常接近于

而且它有許多整數(shù)解，例如x、y、z分別等于6、8、9。等式

同樣相似，也有許多整數(shù)解，例如9、10、12。為什么這兩個(gè)相似的等式有解，但是

沒解呢？

丟番圖在《算術(shù)》中介紹的問題都有解，但是許多丟番圖方程，例如費(fèi)馬描述的方程，看起來并沒有解。對(duì)于數(shù)學(xué)家來說，確定一個(gè)丟番圖方程是否有整數(shù)解比求解特定的丟番圖方程更加有趣。

費(fèi)馬沒有寫出的證明就是大家熟知的費(fèi)馬定理(有時(shí)也稱費(fèi)馬大定理)。多年來，人們普遍相信，不管費(fèi)馬當(dāng)時(shí)想到了怎樣的證明，這個(gè)證明也許都是錯(cuò)的。英國數(shù)學(xué)家安德魯?懷爾斯(1953— )從10歲開始就對(duì)這個(gè)問題產(chǎn)生了興趣，到了1995年，費(fèi)馬定理才最終被他證明。(人們很早就證明了，對(duì)于一些特殊情況，例如指數(shù)為3時(shí)，方程是無解的。)

很顯然，證明某些丟番圖方程沒有解要比找到一個(gè)解(如果有)更具挑戰(zhàn)性。如果你知道某個(gè)特定的丟番圖方程存在解，可以簡單地驗(yàn)證所有的可能性。由于允許的解只能是整數(shù)，因而你可以首先嘗試1，然后是2、3及之后的數(shù)。如果你不想做這些繁重的工作，可以寫一個(gè)計(jì)算機(jī)程序測試所有的可能性，程序遲早會(huì)幫你找到答案的。

但是，如果并不知道是否存在解，那么這個(gè)用計(jì)算機(jī)蠻力解決的方案就不合適了。你可以不斷嘗試，但怎樣知道何時(shí)該放棄呢？你怎么知道下一步將要測試的一組數(shù)字不是所要搜尋的那組數(shù)字呢？

麻煩來自這些可惡的數(shù)字：它們有無窮多個(gè)。