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及時部分數學學科知識

要成為一名合格的數學教師，首先必須具備系統的數學學科知識，能理解數學教材的內容和結構。因此，本教材的及時部分詳細講述要成為一名的初中數學教師所應具備的數學基礎知識，幫助考生建立完善的知識結構，系統地把握數學專業知識。

本部分共分為三個模塊：大學數學專業基礎課程、高中數學學科知識和初中數學學科知識。其中大學數學專業基礎課程包括數學分析、高等代數、空間解析幾何，概率論與數理統計等內容；高中數學學科知識包括九章，分別講解了集合、邏輯與算法初步，函數，不等式與數列，立體幾何，解析幾何，向量與復數，推理證明與排列組合，統計與概率，數學史等多方面的知識；初中數學學科知識包括四章：數與代數，圖形與幾何，統計與概率，綜合與實踐。

在歷年考試中，本部分內容是考查的重點，其中大學數學專業基礎課程是考查的重中之重，常以選擇題、簡答題、解答題等形式來考查。考生在學習該部分知識的時候，要注意多加練習，學以致用。

1.掌握數列極限與函數極限的定義。

2.求極限的方法，會判斷函數間斷點。

3.導數與微分的應用。

4.求解定積分與不定積分。

5.能夠運用微積分基本定理求解問題。

1.本章知識在歷年考試中大多以選擇題和解答題的形式出現。

2.在歷年考試中，數列極限與函數極限、函數間斷點的判斷、一元函數導數與微分、定積分與不定積分是考查的重點，考生在復習這部分知識的時候，要注意多加練習，在掌握理論的基礎上靈活運用。

及時節極限

一、實數的完備性

(一)實數的完備性

1.確界

確界：上確界與下確界統稱為確界。1)上確界：設S為R中的一個數集。若數η滿足：對一切x∈S，都有x≤η即η是S的上界；對任何?琢<η，存在x0∈S，使得x0>?琢，即η又是S的最小上界，則稱數η為數集S的上確界，記作η=supS。2)下確界：設S為R中的一個數集。若數?孜滿足：對一切x∈S，都有x≥?孜，即?孜是S的下界；對任何?茁>?孜，存在x0∈S，使得x0

2.單調數列

單調數列：若數列an的各項滿足關系式an≤an+1，則an為遞增數列；若數列an的各項滿足關系式an≥an+1，則稱an為遞減數列，遞增數列和遞減數列統稱為單調數列。

3.區間套

區間套：設閉區間列an，bn具有如下性質：an，bn?勱an+1，bn+1，n=1，2，…；(bn-an)=0，則an，bn為閉區間套，或簡稱區間套。

4.聚點

聚點：設S為數軸上的點集，?孜為定點(它可以屬于S，也可以不屬于S)。若?孜的任何鄰域內都含有S中無窮多個點，則稱?孜為點集S的一個聚點。

5.開覆蓋

開覆蓋：S為數軸上的點集，H為開區間的集合，即H的每一個元素是形如(?琢，?茁)的開區間。若S中任何一點都含在H中至少一個開區間內，則稱H為S的一個開覆蓋，或稱H覆蓋S。若H中開區間的個數是無限(有限)的，則稱H為S的一個無限開覆蓋(有限開覆蓋)。

(二)關于實數完備性的六個基本定理

1.確界原理

確界原理：設S為非空數集。若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界。

2.單調有界定理

單調有界定理：在實數系中，有界的單調數列必有極限。

3.區間套定理

區間套定理：若an，bn是一個區間套，則在實數系中存在的一點?孜，使得?孜∈an，bn，n=1，2，…，即an≤?孜≤bn，n=1，2，…

4.有限覆蓋定理

海涅-博雷爾(Heine-Borel)有限覆蓋定理：設H為閉區間a，b的任一(無限)開覆蓋，則從H中可選出有限個開區間來覆蓋a，b。

5.聚點定理

魏爾斯特拉斯(Weierstrass)聚點定理：實軸上的任一有界無限點集S至少有一個聚點。

6.柯西收斂準則

柯西(Cauchy)收斂準則：數列an收斂的充要條件是：對任意給定ε>0，存在N>0，使得當n，m>N時，有an-am<ε成立。

二、極限

(一)極限的定義

定義1：xn=A：?坌?著>0，?堝正整數N，當n>N時，有xn-A

若xn存在極限(有限數)，又稱xn收斂，否則稱xn發散。

定義2：f(x)=A：?坌?著>0，?堝正數X，當x>X時，有f(x)-A

類似可定義：f(x)=A，f(x)=A。

定義3：f(x)=A：?坌?著>0，?堝正數δ，當0

類似可定義f(x)當x→x0時右極限與左極限：

f(x0+0)=f(x)=A，f(x0-0)=f(x)=A。

(二)極限的基本性質與兩個重要極限

1.數列極限的基本性質

性質1：(極限的不等式性質)設xn=a，yn=b，若a>b，則?堝N，當n>N時，xn>yn；若n>N時，xn≥yn，則a≥b。

性質2：(收斂數列的有界性)設xn收斂，則xn有界(即?堝常數M>0，xn≤M，n=1，2，…)。

2.函數極限的基本性質

性質1：(極限的不等式性質)設f(x)=A，g(x)=B，

若A>B，則?堝δ>0，當0g(x)；

若f(x)≥g(x)(0

[推論](極限的局部保號性)設f(x)=A，若A>0?圯?堝δ>0，當00；若f(x)≥0(0

性質2：(函數極限的局部有界性)設f(x)=A，則f(x)在x0的某空心鄰域U0(x0，δ)=x|00，M>0，使得0

3.兩個重要極限

=1，(1+)x=e((1+x)=e，=1)

(三)求極限的方法

求極限的方法很多，以下結合例題介紹幾種常用的、簡單的求極限的方法。

1.利用變量替換法與兩個重要極限

[例題1]求w=x2(3-3)。

[解析]先改寫成

w=·3(3-1)x(x+1)。

作變量替換，令t=3-1，則x→∞時t→0且x(x+1)=，于是

w=·3··ln3=ln3。

[例題2]求w=(+2)x。

[解析]這是1∞型極限，改寫成w=2(1+2)x·22=2e。

2.利用等價無窮小因子替換

若x→a時，無窮小?琢(x)~?琢(x)，β(x)~β(x)，(即=1，=1)，則=。(等式兩邊其中之一極限存在或為∞，則另一邊也是且相等)。

3.利用洛必達法則

[例題3]求w=。

[解析]先作恒等變形

w=，然后用等價無窮小因子替換：

x→0時，sin3x~x3，ln(1+)~~x2-sin2x，

于是w==·=2·。

用洛必達法則得

w=2=·=。

4.分別求左右極限的函數極限

[例題4]求下列極限f(x)：f(x)=arctan。

[解析]注意e=+∞，arctan=；e=0，arctan=-。則f(x)=·arctan=1·=，f(x)=·arctan=(-1)·(-)=。因此，f(x)=。

5.利用夾逼法

用夾逼定理求極限xn，就是要將數列xn放大與縮小成：zn≤xn≤yn，要想成功，必須是極限yn與zn會求且相等。

第二節函數連續性

一、連續性概念

1.若f(x)=f(x0)，稱f(x)在x0連續。

2.若f(x)=f(x0)(f(x)=f(x0))，稱f(x)在x=x0右(左)連續。

(單雙側連續性的關系)f(x)在x0連續?圳f(x)在x0既左連續又右連續。

3.若f(x)在(a，b)內任一點均連續，稱f(x)在(a，b)內連續。

4.若f(x)在(a，b)連續，在x=a右連續，在x=b左連續，稱f(x)在［a，b］上連續。