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33時域瞬態響應分析時域分析是重要的分析方法之一。本章要求學生了解系統在外加作用激勵下，根據所描述系統的數學模型，求出系統的輸出量隨時間變化的規律，并由此確定系統的性能，了解系統的時間響應及其組成； 掌握脈沖響應函數等概念，掌握一階、二階系統的典型時間響應和高階系統的時間響應以及主導極點的概念，尤其應熟練掌握一階及二階系統的階躍響應和脈沖響應的有關內容。31圖3.1所示的阻容網絡中，ui(t)=［1(t)-1(t-30)］(V)。當t=4s時，輸出uo(t)約為多少?當t=30s時，輸出uo(t)又約為多少?解： Uo(s)Ui(s)=1sCR 1sC=1RCs 1=11×106×4×10-6s 1=14s 1uo(4)≈0.632(V)，uo(30)≈1(V)32某系統傳遞函數為Φ(s)=s 1s2 5s 6，試求其單位脈沖響應函數。解： Xo(s)Xi(s)=s 1s2 5s 6=-1s 2 2s 3其單位脈沖響應函數為xδ(t)=(-e-2t 2e-3t) 1(t)33某網絡如圖3.2所示，當t≤0-時，開關與觸點1接觸，當t≥0 時，開關與觸點2圖3.1圖3.2接觸。試求出輸出響應表達式，并畫出輸出響應曲線。解： Uo(s)Ui(s)=R 1CsR R 1Cs=RCs 12RCs 1=s 12s 1ui(t)=ui0 ui1=1 (-2) 1(t)(V)Uo1(s)=s 12s 1Ui1(s)=s 12s 1 -2s=1s 12-2s3時域瞬態響應分析控制工程基礎(第4版)習題解則uo1(t)=(e-t2-2) 1(t)(V)uo(t)=uo0 uo1=1 (e-t2-2) 1(t)(V)其輸出響應曲線如圖3.3所示。圖3.3圖3.434圖3.4所示的系統中，若忽略小的時間常數，可認為dydt=0.5ΔB(s-1)。其中，ΔB為閥芯位移，單位為cm，令a=b(ΔB在堵死油路時為零)。(1) 試畫出系統函數方塊圖，并求Y(s)X(s)； (2) 當x(t)=［0.5 1(t) 0.5 1(t-4s)-1(t-40s)］(cm)時，試求t=0s、4s、8s、40s、400s時的y(t)值，ΔB(∞)為多少?(3) 試畫出x(t)和y(t)的波形。解： (1) 依題意可畫出如圖3.5所示的系統函數方塊圖，則圖3.5Y(s)X(s)=12×0.5s1 0.5s×12=14s 1(2) 該一階慣性環節的時間常數為T=4(s)當x(t)=［0.5 1(t) 0.5 1(t-4)-1(t-40)］(cm)時，y(0)=0(cm)y(4)≈0.5×0.632=0.316(cm)y(8)≈0.5×0.865 0.5×0.632=0.749(cm)y(40)≈1(cm)y(400)≈0(cm)ΔB(∞)=0(cm)(3) x(t)和y(t)的波形如圖3.6(a)、(b)所示。圖3.635設單位反饋系統的開環傳遞函數為G(s)=4s(s 5)，試求該系統的單位階躍響應和單位脈沖響應。解： 系統閉環傳遞函數為Xo(s)Xi(s)=4s(s 5)1 4s(s 5)=4s2 5s 4=4(s 1)(s 4)(1) 當xi(t)=1(t)時，Xi(s)=1sXo(s)=Xo(s)Xi(s)Xi(s)=4(s 1)(s 4)1s=1s-43s 1 13s 4則xo(t)=1(t)-43e-t 1(t) 13e-4t 1(t)(2) 當xi(t)=δ(t)時，Xi(s)=1Xo(s)=Xo(s)Xi(s)Xi(s)=4(s 1)(s 4)×1=43s 1-43s 4則xo(t)=43(e-t-e-4t) 1(t)36試求圖3.7所示系統的閉環傳遞函數，并求出閉環阻尼比為0.5時所對應的K值。圖3.7解： Xo(s)Xi(s)=Ks(0.1s 1)1 Ks(0.1s 1)=10Ks2 10s 10K則ωn=10K2ζωn=2ζ10K=10解2×0.510K=10，得閉環阻尼比為0.5時所對應的K=10。37設單位反饋系統的開環傳遞函數為G(s)=1s(s 1)，試求系統的上升時間、峰值時間、較大超調量和調整時間。當G(s)=Ks(s 1)時，試分析放大倍數K對單位階躍輸入產生的輸出動態過程特性的影響。解： (1) Xo(s)Xi(s)=1s(s 1)1 1s(s 1)=12s2 2×0.5×1s 12得ωn=1(rad/s)則ζ=0.5ωd=ωn1-ζ2=11-0.52=32(rad/s)θ=arccosζ=arccos0.5=π3(rad)所以tr=π-θωd=π-π332≈2.418(s)tp=πωd=π32≈3.628(s)Mp=e-ζπ1-ζ2=e-0.5π1-0.52≈16.3%ts≈3ωnζ=31×0.5=6(s)(進入5%誤差帶)(2) Xo(s)Xi(s)=Ks(s 1)1 Ks(s 1)=(K)2s2 2×12KKs (K)2得ωn=K(rad/s)ζ=12K則ωd=ωn1-ζ2=K1-12K2=4K-12(rad/s)θ=arccosζ=arccos12K(rad)則(Ⅰ) 當ζ=12K=1，即K=14時，系統為臨界阻尼，系統不產生振蕩。(Ⅱ) 當ζ=12K>1，即K<14時，系統為過阻尼，系統亦不產生振蕩。(Ⅲ) 當ζ=12K=0，即K=∞時，系統為零阻尼，系統產生等幅振蕩。(Ⅳ) 當0<ζ<1，即142rad/s； (2) 0≤ζ≤0.707，ωn≤2rad/s； (3) 0≤ζ≤0.5，2rad/s≤ωn≤4rad/s；(4) 0.5≤ζ≤0.707，ωn≤2rad/s。解： (1) 所求區域為圖3.10(a)中陰影部分。圖3.10(2) 所求區域為圖3.10(b)中陰影部分。(3) 所求區域為圖3.10(c)中陰影部分。(4) 所求區域為圖3.10(d)中陰影部分。313設一系統如圖3.11(a)所示。圖3.11(1) 當控制器Gc(s)=1時，求單位階躍輸入時系統的響應，設初始條件為零，討論L和J對響應的影響。 (2) 設Gc(s)=1 Tds,J=1000，L=10，為使系統為臨界阻尼，求Td值。(3) 現在要求得到一個沒有過調的響應，輸入函數形式如圖3.11(b)所示。設Gc(s)=1，L和J參數同前，求K和t1。解： (1) Xo(s)Xi(s)=LJs21 LJs2=LJs2 LJ則Xo(s)=LJs2 LJ1s=1s-ss2 LJ2對上式進行拉氏反變換，得xo(t)=1(t)-cosLJt 1(t)由此可知，其單位階躍響應為等幅振蕩，當L增大、J減小時，角頻率ω增大。(2) Xo(s)Xi(s)=(1 Tds)LJs21 (1 Tds)LJs2=Tds 1JL2s2 Tds 1為使系統為臨界阻尼，需使ζ=1，即Td=2JL=2100010=20(3) 由(1)知Xo(s)Xi(s)=LJ2s2 LJ2當xi(t)=1(t)時xo(t)=1-cosLJt 1(t)所以t1=πωn1-ξ2=πLJ=π101000=10π另有K1-cosLJt (1-K)1-cosLJ(t-t1)=1將t=t1=10π，L=10，J=1000代入上式，得K1-cos101000×10π (1-K)1-cos101000×0=1解之，得K=0.5314圖3.12所示為宇宙飛船姿態控制系統方塊圖。假設系統中控制器的時間常數T=3s，圖3.12力矩與慣量比KJ=29rad/s2，試求系統阻尼比。

解： Xo(s)Xi(s)=K(Ts 1)1Js21 K(Ts 1)1Js2=KJ(Ts 1)s2 2×T2KJKJs KJ2則ζ=T2KJ=3229=22≈0.707315設一伺服電動機的傳遞函數為Ω(s)U(s)=KTs 1。假定電動機以恒定速度ω0轉動，當電動機的控制電壓u0突然降到0時，試求其速度響應方程式。解： 電動機的控制電壓如圖3.13所示。圖3.13Ω2(s)=KTs 1U2(s)=KTs 1-U0s=KU0s 1T-KU0s則ω2(t)=KU0(e-tT-1) 1(t)又有ω1(t)=ω0=KU0所以ω(t)=ω1(t) ω2(t)=ω0e-t/T 1(t)316對于圖3.14所示的系統，如果將階躍輸入θi作用于該系統，試確定表示角度位置θo的方程式。假設該系統為欠阻尼系統，初始狀態為靜止。解： 依題意，有K［θi(t)-θo(t)］-D θ o(t)=Jθ o(t)得θo(s)θi(s)=KJs2 Ds K=KJ2s2 2×D21KJKJs KJ2則ωn=KJ，ζ=D2KJ所以,當θi(t)=a 1(t)時θo(t)=a1-e-ζωnt1-ζ2sin(ωn1-ζ2t arccosζ) 1(t)=a1-e-D2Jt1-D24KJsin4KJ-D22Jt arccosD2KJ 1(t)圖3.14圖3.15317某系統如圖3.15所示，試求單位階躍響應的較大超調量Mp、上升時間tr和調整