在中學(xué)物理中，我們所討論的力學(xué)原理主要是對(duì)質(zhì)點(diǎn)而言的，當(dāng)然我們所研究的物體有它的大
小與形態(tài)，但是只要這個(gè)物體的大小和形狀與所討論的問(wèn)題無(wú)關(guān)緊要時(shí)，我們都可以用質(zhì)點(diǎn)這個(gè)模
型來(lái)表示這個(gè)物體。
但是，質(zhì)點(diǎn)這個(gè)模型在很多問(wèn)題中并不適用，如物體做轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體上各個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律并不
相同，物體上各個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與物體的大小、形狀都有關(guān)，這樣就不能再把這個(gè)物體看做質(zhì)點(diǎn)了，為
了研究這類(lèi)物體的運(yùn)動(dòng)，我們?cè)僖肓硗庖粋€(gè)理想模型―― 剛體。所謂剛體是指形狀確定并
且在外力作用下，它的形狀及大小都不發(fā)生改變的物體。這是一個(gè)理想模型，因?yàn)檎鎸?shí)的物體受
到力的作用時(shí)，它的形狀總是或多或少地發(fā)生改變，但是當(dāng)物體的形變很小時(shí)，我們可以把它近似
看成剛體。
及時(shí)節(jié) 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)
一、剛體的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)
1.剛體的平動(dòng)
剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若剛體上任意兩點(diǎn)的連線(xiàn)始終與初始位置平行，如圖1-1 中AC 連線(xiàn)，則此
剛體的運(yùn)動(dòng)就稱(chēng)為平動(dòng)。
由圖1-1 可知，當(dāng)剛體做平動(dòng)時(shí)，因各個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況與質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)情況一樣，所以此時(shí)可
以把這個(gè)剛體看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)在中學(xué)物理學(xué)中已涉及，在此就不再贅述。因此，描
述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量以及質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的規(guī)律對(duì)剛體的平動(dòng)都是適用的。
2.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)
若剛體內(nèi)的各個(gè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都圍繞同一直線(xiàn)做圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)就稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)。這一直線(xiàn)
稱(chēng)為轉(zhuǎn)軸。若轉(zhuǎn)軸是固定不動(dòng)的，則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)就稱(chēng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。例如，電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子繞其轉(zhuǎn)軸的
運(yùn)動(dòng)。
二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述
圖1-2 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)
1.角坐標(biāo)、角位移
為了描述剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，取一垂直于轉(zhuǎn)軸的平面作為
轉(zhuǎn)動(dòng)平面，如圖1-2 所示，OO′為轉(zhuǎn)軸，Ox 軸是位于轉(zhuǎn)動(dòng)
平面內(nèi)的一條與OO′軸垂直的參考線(xiàn)。我們研究該轉(zhuǎn)
動(dòng)平面上的一點(diǎn)P ，從圓心O 到P 點(diǎn)的連線(xiàn)即P 點(diǎn)的
矢徑r ，它與Ox線(xiàn)的夾角θ 就是角坐標(biāo)，該參量可以描寫(xiě)
剛體的位置。在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，角θ隨時(shí)間變化，設(shè)在Δ t
時(shí)間內(nèi)，P 點(diǎn)移到P′的位置，P 點(diǎn)的矢徑掃過(guò)Δ θ角，也
就是剛體轉(zhuǎn)過(guò)Δ θ角，則Δ θ稱(chēng)為剛體在Δ t 時(shí)間內(nèi)的角
位移。它是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程度的物理量，而且是一個(gè)矢
量。角位移的單位是弧度。
2.角速度
描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量是角速度，用ω 表示。角位移的變化量Δ θ與所經(jīng)過(guò)的時(shí)間Δ t 的比
值，稱(chēng)為這段時(shí)間的平均角速度，用?ω 表示，即
?ω = Δ θ
Δ t
當(dāng)Δ t ?0 時(shí)，平均角速度的極限值稱(chēng)為t 時(shí)刻的瞬時(shí)角速度，簡(jiǎn)稱(chēng)角速度，用ω 表示，即
ω = lim Δ t ?0
Δ θ
Δ t = dθ
dt (1-1)
角速度的單位為弧度/秒(rad/s) ，角速度也是矢量。
圖1-3 螺旋法則
角位移、角速度都是矢量，它們的方向常用右手
螺旋定則表示，如圖1-3 所示。例如，角速度矢量的
表示方法是：在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上取一有向線(xiàn)段，當(dāng)右手四指
與大拇指相垂直時(shí)，讓四個(gè)手指代表剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的方
向，這時(shí)大拇指所指的方向即代表角速度矢量的正
方向，而所取的有向線(xiàn)段長(zhǎng)度即可按一定比例代表
角速度的大小。
3.角加速度
如果剛體在t1 時(shí)刻的角速度為ω1 ，經(jīng)過(guò)Δ t 時(shí)
間后，角速度變?yōu)棣? ，則在Δ t 時(shí)間內(nèi)，剛體角速度的
變化量為Δ ω = ω2 - ω1 ，我們把Δ ω 與這段時(shí)間間隔Δ t 的比值，稱(chēng)為剛體在這段時(shí)間內(nèi)的平均角加速
度，用β
―
表示，即
β
― = Δ ω
Δ t
當(dāng)Δ t ?0 時(shí)，平均角加速度的極限值稱(chēng)為瞬時(shí)角加速度，簡(jiǎn)稱(chēng)角加速度，并用β表示，即
β = lim Δ t ?0
Δ ω
Δ t = dω
dt = d2 θ
dt2 (1-2)
角加速度的單位為弧度/秒2 (rad/s2 ) ，角加速度也是矢量，角加速度的方向與dω 方向一致。
4.角量與線(xiàn)量的關(guān)系
我們通常把描寫(xiě)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的量稱(chēng)為線(xiàn)量，把描寫(xiě)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的量稱(chēng)為角量。
當(dāng)剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上各點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)，所以剛體上某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以用中學(xué)物理學(xué)
學(xué)過(guò)的位移、速度、加速度等來(lái)加以描述，既然角量與線(xiàn)量都可以用來(lái)描述剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，那么線(xiàn)
量與角量之間必然有一定的關(guān)系。
如圖1-2 所示，剛體上某點(diǎn)P 在Δ t 時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角位移為Δ θ，從而到達(dá)P′處，此時(shí)點(diǎn)P 發(fā)生的
位移大小為Δ s ，當(dāng)Δ t 很小時(shí)，弦長(zhǎng)可近似等于弧長(zhǎng)，即
Δ s = r ? Δ θ
或
ds = r ? dθ (1-3)
式中，r 為P 點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。根據(jù)速度的定義，P 點(diǎn)的速度為
v = lim Δ t ?0
Δ s
Δ t = lim Δ t ?0
r ? Δ θ
Δ t = r ? lim Δ t ?0
Δ θ
Δ t
即
v = r ? ω (1-4)
(1-4)式若寫(xiě)成矢量式則為
v = ω r (1-5)
若將(1-4)式兩側(cè)對(duì)時(shí)間t 求導(dǎo)數(shù)，又可得
dv
dt = r dω
dt
上式等號(hào)左側(cè)是質(zhì)點(diǎn)的切向加速度，用at 表示，dω
dt為剛體的角加速度，故有
at = r ? β (1-6)
由于向心加速度an = v2 / r ，即an = rω2 ，所以剛體上任一點(diǎn)的總加速度a= at + an ，其大小為
a= a2
n + a2t
(1-7)
第二節(jié) 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
一、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能
當(dāng)剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，我們可以將剛體看成是由許許多多的質(zhì)量元組成的，假設(shè)這些質(zhì)量元
的質(zhì)量分別為Δ m1 ，Δ m2 ，… ，Δ mn ，這些質(zhì)量元對(duì)應(yīng)于轉(zhuǎn)軸的距離分別為r1 ，r2 ，… ，rn ，各質(zhì)量元繞轉(zhuǎn)
軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度都等于ω ，但各質(zhì)量元的線(xiàn)速度不同，分別為v1 ，v2 ，… ，vn ，剛體的動(dòng)能就是各個(gè)質(zhì)量
元的動(dòng)能之和，即
Ek = 1
2 Δ m1 v21
+ 12
Δ m2 v22
+ … + 12
Δ mn v2
n
= Σ 12
Δ mi v2i = Σ 12
Δ mi r2iω2
= 1
2 Σ Δ mi r2i
ω2 (1-8)
二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
(1-8) 式中的Σ Δ mi r2i
用I 來(lái)表示，稱(chēng)為剛體對(duì)某給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。因此，剛體的動(dòng)能又可
寫(xiě)成
Ek = 12
Iω2 (1-9)
若把(1-9) 式與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能12
mv2 相對(duì)照，(1-9) 式中的ω相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的v ，I 相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量
m ，m是表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)慣性大小的物理量，類(lèi)似地，I則是表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
I 的計(jì)算如下：
I = Σ Δ mi r2i
(1-10)
若剛體質(zhì)量分布是連續(xù)的，則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I 可寫(xiě)成積分的形式，即
I = ∫r2 ? dm = ∫r2 ? ρ? dV (1-11)
式中，dV 表示dm 處的體積元；ρ表示剛體在某體積元dV 處的密度，r 表示體積元到轉(zhuǎn)軸的距離。轉(zhuǎn)
動(dòng)慣量的單位是千克? 米2 (kg ? m2 ) 。
剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅取決于剛體總質(zhì)量的大小，還和剛體的形狀、大小及各部分質(zhì)量的分布有
關(guān)，同一物體由于軸的位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也不同。
如圖1-4 所示，棒長(zhǎng)為l 、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒，其截面面積為S，轉(zhuǎn)軸與棒垂直。
圖1-4 轉(zhuǎn)軸位置不同
當(dāng)轉(zhuǎn)軸位于棒中心處時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為
I = ∫x2 ? dm = ∫x2 ? ρ? S ? dx = ∫
l
2-
l2
x2 ? m
S ? l ? S ? dx = 1
12 ml2
當(dāng)轉(zhuǎn)軸位于棒的端點(diǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為
I = ∫x2 ? dm = ∫x2 ? ρ? S ? dx = ∫l
0 x2 ? m
S ? l ? S ? dx = 1
3 ml2
對(duì)于幾何形狀比較簡(jiǎn)單，密度分布均勻或有規(guī)律的物體，可以用數(shù)學(xué)方法求出物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，
否則需用試驗(yàn)方法測(cè)定。表1-1 給出了幾種常見(jiàn)物體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以供參考。
例1-1 如圖1-5 所示，試求一質(zhì)量為m 、半徑為R 的
均勻圓盤(pán)圍繞過(guò)其圓心且垂直于圓面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)
慣量。
解 取半徑為r 、寬度為dr 的細(xì)圓環(huán)為質(zhì)量元dm ，設(shè)
圓盤(pán)的面密度即單位面積的質(zhì)量為σ，則σ= m
πR2 ，那么質(zhì)量
元dm應(yīng)為
dm = σ? 2π r ? dr
所以
I = ∫r2 ? dm = ∫R
0 r2 ? σ? 2π r ? dr
= 2πσ∫R
0 r3 ? dr = 1
2 mR2
即此圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為
1
2 mR2 。
三、質(zhì)心坐標(biāo)的確定
若把剛體看成是由質(zhì)點(diǎn)系組成的，那么對(duì)這些質(zhì)點(diǎn)可以寫(xiě)出牛頓第二定律，即
mi ai = fi + Fi (1-12)
式中，mi 表示第i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量；ai 是它的加速度；Fi 是它所受的外力；fi 是其他質(zhì)點(diǎn)對(duì)它的作用力
(內(nèi)力) 。顯然這類(lèi)方程的數(shù)目應(yīng)該與質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目相等，由于方程的數(shù)目非常大，解方程找出質(zhì)點(diǎn)的
運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是非常困難的。
但是，試驗(yàn)證明，在剛體上存在一特殊點(diǎn)，該點(diǎn)的加速度aC 等于剛體上所受的外力的矢量和F
與剛體的質(zhì)量m 的比值，即
aC = F
m (1-13)
也就是說(shuō)，可以認(rèn)為剛體的全部質(zhì)量和所受的一切外力都集中在這一點(diǎn)上，并且可以按質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)
律求出它的加速度，這樣一個(gè)特殊點(diǎn)稱(chēng)為剛體的質(zhì)量中心或簡(jiǎn)稱(chēng)質(zhì)心。
圖1-6
下面我們講解如何確定質(zhì)心的位置，首先討論由兩
個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)系，設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1
和m2 ，在兩質(zhì)點(diǎn)的連線(xiàn)上作一坐標(biāo)軸即Ox 軸，如圖1-6
所示。設(shè)m1 的坐標(biāo)為x1 ，m2 的坐標(biāo)為x2 ，假設(shè)C 點(diǎn)為
質(zhì)心，則C點(diǎn)的坐標(biāo)xC 應(yīng)滿(mǎn)足下式：
m1 xC - x1 = m2 x2 - xC
即
xC = m1 x1 + m2 x2
m1 + m2
對(duì)于由三個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，可以先就其中兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)按上述方法確定出質(zhì)心，把該質(zhì)心看成是一
個(gè)新的質(zhì)點(diǎn)，然后用同樣的方法把此新的質(zhì)點(diǎn)與第三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心找出來(lái)，確定的這個(gè)質(zhì)心才
是這三個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心。據(jù)上述道理，對(duì)于多個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)，質(zhì)心的位置由下
列三個(gè)公式確定：
xC = Σ mi xi
Σ mi
(1-14)
yC = Σ mi yi
Σ mi
(1-15)
zC = Σ mi zi
Σ mi
(1-16)
四、平行軸定理與垂直軸定理
在計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，經(jīng)常用到平行軸定理及垂直軸定理。
1.平行軸定理
圖1-7 平行軸定理
同一剛體對(duì)于不同的軸有不同的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，設(shè)
有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸，其中Cz 軸通過(guò)剛體的質(zhì)心，C 點(diǎn)為
剛體的質(zhì)心；另一與它平行的軸是Oz′軸，如圖1-7
所示。取坐標(biāo)系Cxy z 及Ox′y′z′ ，且使Cy 軸與Oy′
軸重合，Cz 軸與Oz′軸之間的垂直距離為d ；質(zhì)量元
Δ mi 到Cz 軸及Oz′軸的距離分別為ri 及r′i ；Δ mi 在
Cxy z 坐標(biāo)系及Ox′ y′ z′坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為
xi ，yi ，zi 及x′i ，y′i ，z′i 。按照轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義，
則剛體對(duì)Cz 軸及對(duì)Oz′軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為
IC z = Σ Δ mi r2i
= Σ Δ mi x2i
+ y2i IO z′ = Σ Δ mi r′i
2 = Σ Δ mi x′i
2 + y′i
2
Δ mi 在兩坐標(biāo)系中的坐標(biāo)有如下關(guān)系：
x′i = xi
y′i = yi - d
z′i = zi
將上述關(guān)系代入IOz′的表達(dá)式中可得
IO z′ = Σ Δ mi x2i
+ yi - d 2
= Σ Δ mi x2i
+ y2i
+ d2 Σ Δ mi - 2 d Σ Δ mi yi
式中， Σ Δ mi yi 根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)確定的(1-15) 式可得
Σ Δ mi yi = yC ? Σ Δ mi
因yC 為剛體質(zhì)心的坐標(biāo)，令剛體質(zhì)心在坐標(biāo)系Cxy z 中的坐標(biāo)為(0 ，0 ，0) 即與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，故
yC = 0 ，因而有Σ Δ mi yi = 0 ，又因?yàn)镮C z = Σ Δ mi x2i
+ y2i
，于是
IO z′ = IC z + md2 (1-17)
(1-17) 式表明，剛體對(duì)于某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)于通過(guò)其質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。這就是平行軸定理。
圖1-8 垂直軸定理
2.垂直軸定理
設(shè)有一個(gè)厚度均勻的薄板，取坐標(biāo)系Oxy z ，Oz 軸垂
直于薄板，Ox 軸及Oy 軸都位于薄板內(nèi)，Ox 軸、Oy 軸、Oz
軸都交于薄板內(nèi)一點(diǎn)O ，如圖1-8 所示。則薄板對(duì)Oz 軸的
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為
IO z = Σ Δ mi x2i
+ y2i
= Σ Δ mi x2i
+ Σ Δ mi y2i
= IO x + IOy (1-18)
(1-18)式表明：薄板對(duì)于垂直于板面的軸Oz 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
