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CHAPTER1

第1章

0的故事

——無即是有

◎課前對(duì)話

老師：1，2，3的羅馬計(jì)數(shù)法是I，II，III。學(xué)生：加法很簡(jiǎn)單嘛。I II，只要將3個(gè)I并排寫就行了。老師：不過II III可不是IIIII，而是V喔！學(xué)生：啊，是這樣啊！老師：沒錯(cuò)，如果數(shù)目變大，那數(shù)起來可就費(fèi)勁啦！

本章學(xué)習(xí)內(nèi)容

本章將學(xué)習(xí)有關(guān)“0”的內(nèi)容。

首先，介紹一下我們?nèi)祟愂褂玫?0進(jìn)制和計(jì)算機(jī)使用的2進(jìn)制，再講解按位計(jì)數(shù)法，一起來思考0所起的作用。乍一看，0僅僅是表示“什么都沒有”的意思，而實(shí)際上它具有創(chuàng)建模式、簡(jiǎn)化并總結(jié)規(guī)則的重要作用。

小學(xué)一年級(jí)的回憶

以下是小學(xué)一年級(jí)時(shí)發(fā)生的事，我依然記憶猶新。“下面請(qǐng)打開本子，寫一下‘十二’。”老師說道。于是，我翻開嶄新的本子，緊握住削尖了的鉛筆，寫下了這樣大大的數(shù)字。

老師走到我跟前，看到我的本子，面帶微笑親切地說：“寫得不對(duì)喔。應(yīng)該寫成12喔。”

當(dāng)時(shí)我是聽到老師說“十二”，才寫下了10和2。不過那樣是不對(duì)的。眾所周知，現(xiàn)在我們把“十二”寫作12。

而在羅馬數(shù)字中，“十二”寫作XII。X表示10，I表示1。II則表示兩個(gè)并排的1，即2。也就是說，XII是由X和II組成的。

如同“十二”可以寫作12和XII，數(shù)字有著各種各樣的計(jì)數(shù)法。12是阿拉伯?dāng)?shù)字的計(jì)數(shù)法，而XII是羅馬數(shù)字的計(jì)數(shù)法。無論采用哪種計(jì)數(shù)法，所表達(dá)的“數(shù)字本身”并無二致。下面我們就來介紹幾種計(jì)數(shù)法。

10進(jìn)制計(jì)數(shù)法

下面介紹10進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

什么是10進(jìn)制計(jì)數(shù)法

我們平時(shí)使用的是10進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

使用的數(shù)字有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10種a。

數(shù)位有一定的意義，從右往左分別表示個(gè)位、十位、百位、千位……

以上規(guī)則在小學(xué)數(shù)學(xué)中都學(xué)到過，日常生活中也一直在用，是眾所周知的常識(shí)。在此權(quán)當(dāng)復(fù)習(xí)，后面我們將通過實(shí)例來了解一下10進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

分解2503

首先，我們以2503這個(gè)數(shù)為例。2503表示的是由2、5、0、3這4個(gè)數(shù)字組成的一個(gè)稱作2503的數(shù)。

這樣并排的數(shù)字，因數(shù)位不同而意義相異。

2表示“1000的個(gè)數(shù)”。

5表示“100的個(gè)數(shù)”。

0表示“10的個(gè)數(shù)”。

3表示“1的個(gè)數(shù)”。

a 這里的“種”指的是數(shù)字的種類，用來說明10進(jìn)制和2進(jìn)制中數(shù)字復(fù)雜程度的差異。如2561中包含四種數(shù)字，而1010中只包含兩種數(shù)字。——譯者注

綜上所述，2503這個(gè)數(shù)是2個(gè)1000、5個(gè)100、0個(gè)10和3個(gè)1累加的結(jié)果。用數(shù)字和語言來冗長(zhǎng)地說明有些無趣，下面就用圖示來表現(xiàn)。

2×1000 5×100 0×10 3×1

如圖，將數(shù)字的字體大小加以區(qū)別，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字2、5、0、3的意義便顯而易見了。1000是10×10×10，即10(310的3次方)，(10的2次方)

100是10×10，即102。因此，也可以寫成如下形式(請(qǐng)注意箭頭所示部分)。

2×103

5×102

0×10 3×1

再則，10是101(10的1次方)，1是100(10的0次方)，所以還可以寫成如下形式。

2×103 5×102 0×101

3×100

千位、百位、十位、個(gè)位，分別可稱作103的位、102的位、101的位、100的位。10進(jìn)制計(jì)數(shù)法的數(shù)位全都是10n的形式。這個(gè)10稱作10進(jìn)制計(jì)數(shù)法的基數(shù)或底。基數(shù)10右上角的數(shù)字——指數(shù)，是3、2、1、0這樣有規(guī)律地順次排列的，這點(diǎn)請(qǐng)記住。

3210

2×103 5×102 0×101 3×100

2進(jìn)制計(jì)數(shù)法

下面講解2進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

什么是2進(jìn)制計(jì)數(shù)法

計(jì)算機(jī)在處理數(shù)據(jù)時(shí)使用的是2進(jìn)制計(jì)數(shù)法。從10進(jìn)制計(jì)數(shù)法類推，便可很快掌握它的規(guī)則。

??使用的數(shù)字只有0、1，共2種。

??從右往左分別表示1位、2位、4位、8位……

用2進(jìn)制計(jì)數(shù)法來數(shù)數(shù)，首先是0，然后是1，接下去……不是2，而是在1上面進(jìn)位變成10，繼而是11，100，101……

表1-1展示了0到99的數(shù)的10進(jìn)制計(jì)數(shù)法和2進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

0到99的數(shù)的10進(jìn)制計(jì)數(shù)法和2進(jìn)制計(jì)數(shù)法

分解1100

在此，我們以2進(jìn)制表示的1100(2進(jìn)制數(shù)的1100)為例來探其究竟。

和10進(jìn)制計(jì)數(shù)法一樣，并排的數(shù)字，各個(gè)數(shù)位都有不同的意義。從左往右依次為：

1表示“8的個(gè)數(shù)”。

1表示“4的個(gè)數(shù)”。

0表示“2的個(gè)數(shù)”。

0表示“1的個(gè)數(shù)”。

也就是說，2進(jìn)制的1100是1個(gè)8、1個(gè)4、0個(gè)2和0個(gè)1累加的結(jié)果。這里出現(xiàn)的8、4、2、1，分別表示23、22、21、20。即2進(jìn)制計(jì)數(shù)法的1100，表示如下意思。

3210

1×23 1×22 0×21 0×20

如此計(jì)算就能將2進(jìn)制計(jì)數(shù)法的1100轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

31×22 0×21 0×20

1×2 1×8 1×4 0×2 0×18 4 0 012

由此可以得出，2進(jìn)制的1100若用10進(jìn)制計(jì)數(shù)法來表示，則為12。

基數(shù)轉(zhuǎn)換

接下來我們?cè)囍鴮?0進(jìn)制的12轉(zhuǎn)換為2進(jìn)制。這需要將12反復(fù)地除以2(12除以2，商為6；6再除以2，商為3；3再除以2……)，并觀察余數(shù)為“1”還是“0”。余數(shù)為0則表示“除完了”。隨后再將每步所得的余數(shù)的列(1和0的列)逆向排列，由此就得到2進(jìn)制表示了。

用2進(jìn)制表示12

同樣地，我們?cè)噷?0進(jìn)制的2503轉(zhuǎn)換為2進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

我們從圖1-2可以知道2503用2進(jìn)制表示為100111000111。各個(gè)數(shù)位的權(quán)重如下：

1×211 0×210 0×29 1×28 1×27 1×26 0×25 0×24 0×23 1×22 1×21 1×20

在10進(jìn)制中，基數(shù)為10，各個(gè)數(shù)位是以10n的形式表現(xiàn)的。而2進(jìn)制中，基數(shù)為2，各個(gè)數(shù)位是以2n的形式表現(xiàn)的。從10進(jìn)制計(jì)數(shù)法轉(zhuǎn)換為2進(jìn)制計(jì)數(shù)法，稱作10進(jìn)制至2進(jìn)制的基數(shù)轉(zhuǎn)換。

計(jì)算機(jī)中為什么采用2進(jìn)制計(jì)數(shù)法

計(jì)算機(jī)中一般采用2進(jìn)制計(jì)數(shù)法，我們來思考一下原因。計(jì)算機(jī)在表示數(shù)的時(shí)候，會(huì)使用以下兩種狀態(tài)。

開關(guān)切斷狀態(tài)

開關(guān)連通狀態(tài)

雖說是開關(guān)，但實(shí)際上并不需要機(jī)械部件，你可以想象成是由電路形成的“電子開關(guān)”。總之，它能夠形成兩種狀態(tài)。這兩種狀態(tài)，分別對(duì)應(yīng)0和1這兩個(gè)數(shù)字。

… 0

… 1

1個(gè)開關(guān)可以用0或1來表示，如果有許多開關(guān)，就可以表示為許多個(gè)0或1。你可以

想象這里排列著許多開關(guān)，各個(gè)開關(guān)分別表示2進(jìn)制中的各個(gè)數(shù)位。這樣一來，只要增加

開關(guān)的個(gè)數(shù)，不管是多大的數(shù)字都能表示出來。

當(dāng)然，做成能夠表示0～9這10種狀態(tài)的開關(guān)，進(jìn)而讓計(jì)算機(jī)采用10進(jìn)制計(jì)數(shù)法，

這在理論上也是可能的。但是，與0和1的開關(guān)相比，必定有更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。另外，請(qǐng)比較一下圖1-3和圖1-4所示的加法表。2進(jìn)制的表比10進(jìn)制的表簡(jiǎn)單得多吧。

若要做成1位加法的電路，采用2進(jìn)制要比10進(jìn)制更為簡(jiǎn)便。

不過，比起10進(jìn)制，2進(jìn)制的位數(shù)會(huì)增加許多，這是它的缺點(diǎn)。例如，在10進(jìn)制中

2503只有4位，而在2進(jìn)制中要表達(dá)同樣的數(shù)則需要100111000111共12位數(shù)字。這點(diǎn)從

表1-2中也顯而易見。

人們覺得10進(jìn)制比2進(jìn)制更容易處理，是因?yàn)?0進(jìn)制計(jì)數(shù)法的位數(shù)少，計(jì)算起來不

容易發(fā)生錯(cuò)誤。此外，比起2進(jìn)制，采用10進(jìn)制能夠簡(jiǎn)單地通過直覺判斷出數(shù)值的大小。

人的兩手加起來共有10個(gè)指頭，這也是10進(jìn)制更容易理解的原因之一。

10進(jìn)制的加法表

2進(jìn)制的加法表

不過，因?yàn)橛?jì)算機(jī)的計(jì)算速度非常快，位數(shù)再多也沒有關(guān)系。而且計(jì)算機(jī)不會(huì)像人類那樣發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤，不需要靠直覺把握數(shù)字的大小。對(duì)于計(jì)算機(jī)來說，處理的數(shù)字種類少、計(jì)算規(guī)則簡(jiǎn)單就好不過了。

讓我們來總結(jié)一下。

10進(jìn)制計(jì)數(shù)法中，位數(shù)少，但是數(shù)字的種類多。

→對(duì)人類來說，這種比較易用。

2進(jìn)制計(jì)數(shù)法中，數(shù)字的種類少，但是位數(shù)多。

→對(duì)計(jì)算機(jī)來說，這種比較易用。

鑒于上述原因，計(jì)算機(jī)采用了2進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

人類使用10進(jìn)制計(jì)數(shù)法，而計(jì)算機(jī)使用2進(jìn)制計(jì)數(shù)法，因此計(jì)算機(jī)在執(zhí)行人類發(fā)出的任務(wù)時(shí)，會(huì)進(jìn)行10進(jìn)制和2進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換。計(jì)算機(jī)先將10進(jìn)制轉(zhuǎn)換為2進(jìn)制，用2進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算，再將所得的2進(jìn)制計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制。

人類使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算的情形

轉(zhuǎn)換為2進(jìn)制

轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制

10101 10011

使用2進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算

101000

按位計(jì)數(shù)法

下面來介紹按位計(jì)數(shù)法。

什么是按位計(jì)數(shù)法

我們學(xué)習(xí)了10進(jìn)制和2進(jìn)制兩種計(jì)數(shù)法，這些方法一般稱作按位計(jì)數(shù)法。除了10進(jìn)制和2進(jìn)制以外，還有許多種類的按位計(jì)數(shù)法。在編程中，也常常使用8進(jìn)制和16進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

●8進(jìn)制計(jì)數(shù)法

8進(jìn)制計(jì)數(shù)法的特征如下：

使用的數(shù)字有0、1、2、3、4、5、6、7共8種。

80的位、81的位、82的位、83的位……(基數(shù)是8)

21 19

40

●16進(jìn)制計(jì)數(shù)法

16進(jìn)制計(jì)數(shù)法的特征如下：

使用的數(shù)字有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F共16種。

160的位、161的位、162的位、163的位……(基數(shù)是16)

在16進(jìn)制計(jì)數(shù)法中，使用A、B、C、D、E、F(有時(shí)也使用小寫字母a、b、c、d、e、

f)來表示10以上的數(shù)字。

●N進(jìn)制計(jì)數(shù)法

一般來說，N進(jìn)制計(jì)數(shù)法的特征如下：

使用的數(shù)字有0，1，2，3，…，N-1，共N種。

N0的位、N1的位、N2的位、N3的位……(基數(shù)是N)

例如，N進(jìn)制計(jì)數(shù)法中，4位數(shù)a3a2a1a0為

a3×N3 a2×N2 a1×N1 a0×N0(a3、a2、a1、a0是0～N-1中的數(shù)字。)

不使用按位計(jì)數(shù)法的羅馬數(shù)字

按位計(jì)數(shù)法在生活中最為常見，因此人們往往認(rèn)為這種方法是理所當(dāng)然的。實(shí)際上，

在我們身邊也有不使用按位計(jì)數(shù)法的例子。例如，羅馬計(jì)數(shù)法。羅馬數(shù)字至今還常常出現(xiàn)在鐘表表盤上。

使用羅馬數(shù)字的鐘表表盤

還有，在電影放映的演職員名單中，也會(huì)出現(xiàn)表示年號(hào)的MCMXCVIII等字母。這也是羅馬數(shù)字。羅馬計(jì)數(shù)法的特征如下：

數(shù)位沒有意義，只表示數(shù)字本身

使用I(1)、V(5)、X(10)、L(50)、C(100)、D(500)、M(1000)來記數(shù)

將并排的數(shù)字加起來，就是所表示的數(shù)。

例如，3個(gè)并排的I(III)表示3，并排的V和I(VI)表示6，VIII表示8。羅馬數(shù)字的加法很簡(jiǎn)單，只要將羅馬數(shù)字并排寫就可以得到它們的和。比如，要計(jì)算1 2，只要將表示1的I和表示2的II并排寫作III就行了。但是，數(shù)字多了可就不太簡(jiǎn)單了。

例如，計(jì)算3 3并不是把III和III并排寫作IIIIII，而是將5單獨(dú)拿出來寫作V，所以6就應(yīng)該寫作VI。CXXIII(123)和LXXVIII(78)的加法，也不能僅僅并排寫作CXXIIILXXVIII，而必須將IIIII轉(zhuǎn)換為V，VV轉(zhuǎn)換為X，XXXXX轉(zhuǎn)換為L(zhǎng)，再將LL轉(zhuǎn)換為C，如此整理得到CCI(201)。在“整理”羅馬數(shù)字的過程中，必須進(jìn)行與按位計(jì)數(shù)法的進(jìn)位相仿的計(jì)算。

羅馬計(jì)數(shù)法中還有“減法規(guī)則”。例如IV，在V的左側(cè)寫I，表示5-1，即4(在鐘表表盤上，由于歷史原因也有將4寫作IIII的)。讓我們?cè)囍鴮⒘_馬數(shù)字的MCMXCVIII用10進(jìn)制來表示。

MCMXCVIII=(M) (CM) (XC) (V) (III)=(1000) (1000-100) (1000-10) (5) (3)=1998

可以發(fā)現(xiàn)，MCMXCVIII表示的就是1998。羅馬數(shù)字真是費(fèi)勁啊！

指數(shù)法則

10的0次方是什么

在10進(jìn)制的說明中，我們講過“1是100(10的0次方)”，即100=1。

也許有些讀者會(huì)產(chǎn)生以下疑問吧。

102是“2個(gè)10相乘”，那么100不就是“0個(gè)10相乘”嗎？這樣的話，不應(yīng)該是1，而是0吧？

這個(gè)問題的核心在哪里呢？我們來深入思考一下。問題在于“10n是n個(gè)10相乘”這部分。在說“n個(gè)10相乘”時(shí)，我們自然而然會(huì)把n想作1，2，3…。因此，在說“0個(gè)10相乘”時(shí)，卻不知道應(yīng)該如何正確理解它的意義。

那么，暫且拋卻“n個(gè)10相乘”這樣的定義方式吧。我們從目前掌握的知識(shí)來類推，看看如何定義100比較妥當(dāng)。

眾所周知，103是1000，102是100，101是10。

將這些等式放在一起，尋找它們的規(guī)律。

103=1000102=100101=10100=?

1??101??101??10

每當(dāng)10右上角的數(shù)字(指數(shù))減1，數(shù)就變?yōu)樵鹊?0分之1。因此，100就是1。綜上所述，在定義10n(n包括0)的值時(shí)可以遵循以下規(guī)則：

指數(shù)每減1，數(shù)字就變?yōu)樵瓉淼?0分之1。

10-1是什么

不要將思維止步于100之處。對(duì)于10-1(10的-1次方)，讓我們同樣套用這一規(guī)則(指數(shù)每減1，數(shù)字就變?yōu)樵瓉淼?0分之1)。

100˙11

10_1˙

10110_2˙

100110_3˙1000

…

1??101??101??10

規(guī)則的擴(kuò)展

首先讓我們做一個(gè)小結(jié)。我們學(xué)習(xí)了10n計(jì)數(shù)法的相關(guān)內(nèi)容。起初，我們把n為1，2，3…時(shí)，即101，102，103…想作“1個(gè)10相乘”、“2個(gè)10相

乘”、“3個(gè)10相乘”……然后，我們拋卻了“n個(gè)10相乘”的思維，尋找到了一個(gè)擴(kuò)展規(guī)則：對(duì)于10n，n每減1，就變成原來的10分之1。

當(dāng)n為0時(shí)，若套用“10n為n個(gè)10相乘”的規(guī)則，著實(shí)比較費(fèi)解。于是我們轉(zhuǎn)而求助于“n每減1，就變成原來的10分之1”的規(guī)則”，定義出100是1(因?yàn)?01的10分之1就是1)。

同樣地，10-1，10-2，10-3…的值(即n為-1，-2，-3…時(shí))，也適用于這個(gè)擴(kuò)展規(guī)則。

如此，對(duì)于所有的整數(shù)n(…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…)，都能定義10n的值。對(duì)于10-3來說，“-3個(gè)10相乘”的思維并不直觀。但倘若套用擴(kuò)展規(guī)則，即使n是負(fù)數(shù)，也能“定義出”10的n次方的值。

對(duì)20進(jìn)行思考

讓我們用思考100的方法，也思考一下20的值吧。

25˙32

24

˙16

23

˙8

22

˙4

21

˙2

20

˙?

由此可知，對(duì)于2n來說，n每減1，數(shù)值就變成原來的2分之1。21的2分之1是20，那么20=1。在這里我想強(qiáng)調(diào)的是，不要將20的值作為一種知識(shí)去記憶，我們更需要考慮的是，如

何對(duì)20進(jìn)行適當(dāng)?shù)亩x，以期讓規(guī)則變得更簡(jiǎn)單。這不是記憶力的問題，而是想象力的問題。請(qǐng)記住這種思維方式：以簡(jiǎn)化規(guī)則為目標(biāo)去定義值。

1??21??21??21??21??2

2-1是什么

讓我們參照10-1的規(guī)則來思考2-1。20除以2，得到的是2-1，即2-1=12。

“2的-1次方”在直覺上較難理解。鑒于規(guī)則的簡(jiǎn)單化和一致性，2的-1次方可以定

義為2-1=21。同理，2-2=212，2-3=213。

綜上所述，可以總結(jié)出如下等式：

10 5=1×10×10×10×10×1010 4=1×10×10×10×1010 3=1×10×10×1010 2=1×10×1010 1=1×10100=110-1=1÷1010-2=1÷10÷1010-3=1÷10÷10÷1010-4=1÷10÷10÷10÷1010-5=1÷10÷10÷10÷10÷10

2 5=1×2×2×2×2×22 4=1×2×2×2×22 3=1×2×2×22 2=1×2×22 1=1×2

20

=12-1=1÷22-2=1÷2÷22-3=1÷2÷2÷22-4=1÷2÷2÷2÷22-5=1÷2÷2÷2÷2÷2

看了上面的等式之后，你應(yīng)該就更能體會(huì)100和20為什么都等于1了吧。

到這里，我們給之前所說的“規(guī)則”取名為“指數(shù)法則”。指數(shù)法則的表達(dá)式為

=Na b

Na×Nb

即“N的a次方乘以N的b次方，等于N的a b次方”法則(但N≠0)。有關(guān)指數(shù)

法則的內(nèi)容，在第7章也會(huì)談到。

0所起的作用

0的作用：占位

這節(jié)我們來討論0的作用。例如，用10進(jìn)制表示的2503，它當(dāng)中的0起到了什么作用呢？2503的0，表示十位“沒有”。雖說“沒有”，但這個(gè)0卻不能省略。因?yàn)槿绻÷粤?，寫成253，那就變成另一個(gè)數(shù)了。

在按位計(jì)數(shù)法中，數(shù)位具有很重要的意義。即使十位的數(shù)“沒有”，也不能不寫數(shù)字。這時(shí)就輪到0出場(chǎng)了，即0的作用就是占位。換言之，0占著一個(gè)位置以保障數(shù)位高于它的數(shù)字不會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)位。

正因?yàn)橛辛吮硎?ldquo;沒有”的0，數(shù)值才能正確地表現(xiàn)出來。可以說在按位計(jì)數(shù)法中0是不可或缺的。

0的作用：統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，簡(jiǎn)化規(guī)則

在按位計(jì)數(shù)法的講解中，我們提到了“0次方”，還將1特意表示成100。使用0，能夠?qū)次挥?jì)數(shù)法的各個(gè)數(shù)位所對(duì)應(yīng)的大小統(tǒng)一表示成

10n

否則，就必須特別處理“1”這個(gè)數(shù)字。0在這里起到了標(biāo)準(zhǔn)化的作用。

如果從高到低各個(gè)數(shù)位的數(shù)字依次為an，an-1，an-