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第3章動量與角動量第2章講解了牛頓第二定律，主要是用加速度表示的式(2.3)的形式。該式表示了力和受力物體的加速度的關系，那是一個瞬時關系，即與力作用的同時物體所獲得的加速度和此力的關系。實際上，力對物體的作用總要延續一段或長或短的時間。在很多問題中，在這段時間內，力的變化復雜，難于細究，而我們又往往只關心在這段時間內力的作用的總效果。這時我們將直接利用式(2.2)表示的牛頓第二定律形式，而把它改寫為微分形式并稱為動量定理。本章首先介紹動量定理，接著把這一定理應用于質點系，導出了一條重要的守恒定律——動量守恒定律。然后對于質點系，引入了質心的概念，并說明了外力和質心運動的關系。后面幾節介紹了和動量概念相聯系的描述物體轉動特征的重要物理量——角動量，在牛頓第二定律的基礎上導出了角動量變化率和外力矩的關系——角動量定理，并進一步導出了另一條重要的守恒定律——角動量守恒定律。3.1沖量與動量定理把牛頓第二定律公式(2.2)寫成微分形式，即Fdt=dp(3.1)式中乘積Fdt叫做在dt時間內質點所受合外力的沖量。此式表明在dt時間內質點所受合外力的沖量等于在同一時間內質點的動量的增量。這一表示在一段時間內，外力作用的總效果的關系式叫做動量定理。如果將式(3.1)對t0到t′這段有間積分，則有∫t′t0Fdt=∫p′p0dp=p′-p0(3.2)左側積分表示在t0到t′這段時間內合外力的沖量，以I表示此沖量，即I=∫t′t0Fdt則式(3.2)可寫成I=p′-p0(3.3)式(3.2)或式(3.3)是動量定理的積分形式，它表明質點在t0到t′這段時間內所受的合外力的沖量等于質點在同一時間內的動量的增量。值得注意的是，要產生同樣的動量增量，力大力小都可以: 力大，時間可短些；力小，時間需長些。只要外力的沖量一樣，就產生同樣的動量增量。第3章動量與角動量3.1沖量與動量定理動量定理常用于碰撞過程，碰撞一般泛指物體間相互作用時間很短的過程。在這一過程中，相互作用力往往很大而且隨時間改變。這種力通常叫沖力。例如，球拍反擊乒乓球的力，兩汽車相撞時的相互撞擊的力都是沖力。圖3.1是清華大學汽車碰撞實驗室做汽車撞擊固定壁的實驗照片與相應的沖力的大小隨時間的變化曲線。圖3.1汽車撞擊固定壁實驗中汽車受壁的沖力 (a) 實驗照片； (b) 沖力時間曲線對于短時間Δt內沖力的作用，常常把式(3.2)改寫成Δt=ΔP(3.4)式中是平均沖力，即沖力對時間的平均值。平均沖力只是根據物體動量的變化計算出的平均值，它和實際的沖力的極大值可能有較大的差別，因此它不足以說明碰撞所可能引起的破壞性。例3.1汽車碰撞實驗。在一次碰撞實驗中，一質量為1200kg的汽車垂直沖向一固定壁，碰撞前速率為15.0m/s，碰撞后以1.50m/s的速率退回，碰撞時間為0.120s。試求： (1)汽車受壁的沖量； (2)汽車受壁的平均沖力。解以汽車碰撞前的速度方向為正方向，則碰撞前汽車的速度v=15.0m/s，碰撞后汽車的速度v′=-1.50m/s，而汽車質量m=1200kg。(1) 由動量定理知汽車受壁的沖量為I=p′-p=mv′-mv=1200×(-1.50)-1200×15.0=-1.98×104(N s)(2) 由于碰撞時間Δt=0.120s，所以汽車受壁的平均沖力為=IΔt=-1.98×1040.120=-165 (kN)上兩個結果的負號表明汽車所受壁的沖量和平均沖力的方向都和汽車碰前的速度方向相反。平均沖力的大小為165kN，約為汽車本身重量的14倍，瞬時較大沖力還要比這大得多。例3.2棒擊壘球。一個質量m=140 g的壘球以v=40m/s的速率沿水平方向飛向擊球手，被擊后它以相同速率沿θ=60°的仰角飛出，求壘球受棒的平均打擊力。設球和棒的接觸時間Δt=1.2ms。解本題可用式(3.4)求解。由于該式是矢量式，所以可以用分量式求解，也可直接用矢量關系求解。下面分別給出兩種解法。(1) 用分量式求解。已知v1=v2=v,選如圖3.2所示的坐標系，利用式(3.4)的分量式，由于v1x=-v,v2x=vcosθ，可得壘球受棒的平均圖3.2例3.2解法(1)圖示打擊力的x方向分量為x=ΔpxΔt=mv2x-mv1xΔt=mvcosθ-m(-v)Δt=0.14×40×(cos60° 1)1.2×10-3=7.0×103(N)又由于v1y=0,v2y=vsinθ，可得此平均打擊力的y方向分量為Fy=ΔpyΔt=mv2y-mv1yΔt=mvsinθΔt=0.14×40×0.8661.2×10-3=4.0×103(N)球受棒的平均打擊力的大小為F=F2x F2y=103×7.02 4.02=8.1×103(N)以α表示此力與水平方向的夾角，則tanα=FyFx=4.0×1037.0×103=0.57圖3.3例3.2解法(2)圖示由此得α=30°(2) 直接用矢量公式(3.4)求解。按式(3.4)m?瘙經2,m?瘙經1以及Δt形成如圖3.3中的矢量三角形，其中mv2=mv1=mv。由等腰三角形可知,與水平面的夾角α=θ/2=30°，且Δt=2mvcosα，于是F=2mvcosαΔt=2×0.14×40×cosα1.2×10-3=8.1×103(N)注意，此打擊力約為壘球自重的5900倍!例3.3火車運煤。一輛裝煤車以v=3 m/s的速率從煤斗下面通過(圖3.4)，每秒鐘落入車廂的煤為Δm=500 kg。如果使車廂的速率保持不變，應用多大的牽引力拉車廂?(車廂與鋼軌間的摩擦忽略不計。)解先考慮煤落入車廂后運動狀態的改變。如圖3.4所示，以dm表示在dt時間內落入車廂的煤的質量。它在車廂對它的力f帶動下在dt時間內沿x方向的速率由零增加到與車廂速率v相同，而動量由0增加到dm v。由動量定理式(3.1)得，對dm在x方向，應有圖3.4煤dm落入車廂被帶走fdt=dp=dm v(3.5)對于車廂，在此dt時間內，它受到水平拉力F和煤dm對它的反作用f′的作用。此二力的合力沿x方向，為F-f′。由于車廂速度不變，所以動量也不變，式(3.1)給出(F-f′)dt=0(3.6)由牛頓第三定律f′=f(3.7)聯立解式(3.5),式(3.6)和式(3.7)可得F=dmdt v以dm/dt=500kg/s，v=3m/s代入得F=500×3=1.5×103(N)3.2動量守恒定律在一個問題中，如果我們考慮的對象包括幾個物體，則它們總體上常被稱為一個物體系統或簡稱為系統。系統外的其他物體統稱為外界。系統內各物體間的相互作用力稱為內力，外界物體對系統內任意一物體的作用力稱為外力。例如，把地球與月球看做一個系統，則它們之間的相互作用力稱為內力，而系統外的物體如太陽以及其他行星對地球或月球的引力都是外力。本節討論一個系統的動量變化的規律。3.2動量守恒定律先討論由兩個質點組成的系統。設這兩個質點的質量分別為m1,m2。它們除分別受到相互作用力(內力)f和f′外，還受到系統外其他物體圖3.5兩個質點的系統的作用力(外力)F1,F2,如圖3.5所示。分別對兩質點寫出動量定理式(3.1),得(F1 f)dt=dp1,(F2 f′)dt=dp2將這二式相加，可以得(F1 F2 f f′)dt=dp1 dp2由于系統內力是一對作用力和反作用力，根據牛頓第三定律，得f=-f′或f f′=0，因此上式給出(F1 F2)dt=d(p1 p2)如果系統包含兩個以上，例如i個質點，可仿照上述步驟對各個質點寫出牛頓定律公式，再相加。由于系統的各個內力總是以作用力和反作用力的形式成對出現的，所以它們的矢量總和等于零。因此，一般地又可得到∑iFidt=d∑ipi(3.8)其中∑iFi為系統受的合外力，∑ipi為系統的總動量。式(3.8)表明，系統的總動量隨時間的變化率等于該系統所受的合外力。內力能使系統內各質點的動量發生變化，但它們對系統的總動量沒有影響。(注意： “合外力”和“總動量”都是矢量和！)如果在式(3.5)中，∑iFi=0,立即可以得到d∑ipi=0,或∑ipi=∑imi?瘙經i=常矢量∑iFi=0(3.9)這就是說當一個質點系所受的合外力為零時，這一質點系的總動量就保持不變。這一結論叫做動量守恒定律。一個不受外界影響的系統，常被稱為孤立系統。一個孤立系統在運動過程中，其總動量一定保持不變。這也是動量守恒定律的一種表述形式。應用動量守恒定律分析解決問題時，應該注意以下幾點。(1) 系統動量守恒的條件是合外力為零，即∑iFi=0。但在外力比內力小得多的情況下，外力對質點系的總動量變化影響甚小，這時可以認為近似滿足守恒條件，也就可以近似地應用動量守恒定律。例如兩物體的碰撞過程，由于相互撞擊的內力往往很大，所以此時即使有摩擦力或重力等外力，也常可忽略它們，而認為系統的總動量守恒。又如爆炸過程也屬于內力遠大于外力的過程，也可以認為在此過程中系統的總動量守恒。(2) 動量守恒表示式(3.9)是矢量關系式。在實際問題中，常應用其分量式,即如果系統沿某一方向所受的合外力為零，則該系統沿此方向的總動量的分量守恒。例如，一個物體在空中爆炸后碎裂成幾塊，在忽略空氣阻力的情況下，這些碎塊受到的外力只有豎直向下的重力，因此它們的總動量在水平方向的分量是守恒的。(3) 由于我們是用牛頓定律導出動量守恒定律的，所以它只適用于慣性系。以上我們從牛頓定律出發導出了以式(3.9)表示的動量守恒定律。應該指出，更普遍的動量守恒定律并不依靠牛頓定律。動量概念不僅適用于以速度?瘙經運動的質點或粒子，而且也適用于電磁場，只是對于后者，其動量不再能用m?瘙經這樣的形式表示。考慮包括電磁場在內的系統所發生的過程時，其總動量必須也把電磁場的動量計算在內。不但對可以用作用力和反作用力描述其相互作用的質點系所發生的過程，動量守恒定律成立；而且，大量實驗證明，對其內部的相互作用不能用力的概念描述的系統所發生的過程，如光子和電子的碰撞，光子轉化為電子，電子轉化為光子等過程，只要系統不受外界影響，它們的動量都是守恒的。動量守恒定律實際上是關于自然界的一切物理過程的一條最基本的定律。例3.4沖擊擺。如圖3.6所示，一質量為M的物體被靜止懸掛著，今有一質量為m的子彈沿水平方向以速度?瘙經射中物體并停留在其中。求子彈剛停在物體內時物體的速度。