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第12章 電容器和電介質前面兩章我們討論了真空中以及導體存在時的電場。實際上，電場中也存在電介質，即絕緣體。本章將討論電介質和電場的相互影響。為了講解的方便，先介紹一種用途廣泛的電學元件——電容器。然后說明電場對電介質的影響——電極化以及電介質極化后對電場的影響，為此引入電位移矢量及高斯定律。介紹電容器的能量并導出有電介質存在時的電場能量密度公式。12.1電容器及其電容靠近的兩個導體帶電時會通過它們的電場相互發生影響。這在實際的電子線路中是需要考慮的，也常利用這種現象為特定目的形成特殊分布的電場，電容器就是一例。圖12.1平行板電容器帶電和電場分布情況電容器的最簡單而且最基本的形式是平行板電容器。它是用兩塊平行放置的相互絕緣的金屬板構成的(圖12.1)，本節討論板間為真空的情況。平行板電容器帶電時，它的兩個金屬板的相對的兩個表面(這是一個電容器的有效表面)上總是同時分別帶上等量異號的電荷 Q和-Q，這時兩板間有一定的電壓U=φ -φ-。一個電容器所帶的電量Q總與其電壓U成正比，比值Q/U叫電容器的電容。以C表示電容器的電容，就有C=QU(12.1)電容器的電容決定于電容器本身的結構，即兩導體的形狀、尺寸以及兩導體間電介質的種類(見12.3節)等，而與它所帶的電量無關。在國際單位制中，電容的單位名稱是法［拉］，符號為F，1F=1C/V實際上1F是非常大的，常用的單位是μF或pF等較小的單位，1μF=10-6F1pF=10-12F從式(12.1)可以看出，在電壓相同的條件下，電容C越大的電容器，所儲存的電量越多。這說明電容是反映電容器儲存電荷本領大小的物理量。實際上除了儲存電量外，電容器在電工和電子線路中起著很多作用。交流電路中電流和電壓的控制，發射機中振蕩電流的產生，接收機中的調諧，整流電路中的濾波，電子線路中的時間延遲等都要用到電容器。簡單電容器的電容易于計算出來，下面舉幾個例子。對如圖12.1所示的平行板電容器，以S表示兩平行金屬板相對著的表面積，以d表示兩板之間的距離，仍設兩板間為真空。為了求它的電容，我們假設它帶上電量Q(即兩板上相對的兩個表面分別帶上 Q和-Q的電荷)。忽略邊緣效應(即邊緣處電場的不均勻情況)，可以認為它的兩板間的電場是均勻電場，電場強度為第12章電容器和電介質12.1電容器及其電容E=σε0=Qε0S兩板間的電壓就是U=Ed=Qdε0S將此電壓代入電容的定義式(12.1)就可得出平行板電容器的電容為C=ε0Sd(12.2)圓柱形電容器由兩個同軸的金屬簿壁圓筒組成。如圖12.2所示，設筒的長度為L，兩筒的半徑分別為R1和R2，兩筒之間仍設為真空。為了求出這種電容器的電容，我們也假設它帶有電量Q(即外筒的內表面和內筒的外表面分別帶有電量-Q和 Q)。忽略兩端的邊緣效應，可以求出，在兩圓筒間距離軸線為r的一點的電場強度為E=Q2πε0rL,場強的方向垂直于軸線而沿徑向，由此可以求出兩圓筒間的電壓為U=∫E dr=∫R2R1Q2πε0rLdr=Q2πε0LlnR2R1將此電壓代入電容的定義式(12.1)，就可得圓柱形電容器的電容為C=2πε0Lln(R2/R1)(12.3)球形電容器是由兩個同心的導體球殼組成。如果兩球殼間為真空(圖12.3)，則可用與上面類似的方法求出球形電容器的電容為圖12.2圓柱形電容器圖12.3球形電容器C=4πε0R1R2R2-R1(12.4)式中R1和R2分別表示內球殼外表面和外球殼內表面的半徑。式(12.2)、式(12.3)和式(12.4)的結果都表明電容的確只決定于電容器的結構。實際的電工和電子裝置中任何兩個彼此隔離的導體之間都有電容，例如兩條輸電線之間，電子線路中兩段靠近的導線之間都有電容。這種電容實際上反映了兩部分導體之間通過電場的相互影響，有時叫做“雜散電容”或“分布電容”。在有些情況下(如高頻率的變化電流)，這種雜散電容對電路的性質產生明顯的影響。對一個孤立導體，可以認為它和無限遠處的另一導體組成一個電容器。這樣一個電容器的電容就叫做這個孤立導體的電容。例如對一個在空氣中的半徑為R的孤立的導體球，就可以認為它和一個半徑為無限大的同心導體球組成一個電容器。這樣，利用式(12.4)，使R2→∞，將R1改寫為R，又因為空氣可近似地當真空處理，所以這個導體球的電容就是C=4πε0R(12.5)衡量一個實際的電容器的性能有兩個主要的指標，一個是它的電容的大小，另一個是它的耐(電)壓能力。使用電容器時，所加的電壓不能超過規定的耐壓值，否則在電介質中就會產生過大的場強，而使它有被擊穿而失效的危險(見12.3節)。12.2電容器的聯接12.2電容器的聯接在實際電路中當遇到單獨一個電容器的電容或耐壓能力不能滿足要求時，就把幾個電容器聯接起來使用。電容器聯接的基本方式有并聯和串聯兩種。圖12.4電容器聯接(a) 三個電容器并聯； (b) 三個電容器串聯并聯電容器組如圖12.4(a)所示。這時各電容器的電壓相等，即總電壓U，而總電量Q為各電容器所帶的電量之和。以C=Q/U表示電容器組的總電容或等效電容，則可證明，對并聯電容器組，Cpar=∑Ci(12.6)串聯電容器組如圖12.5(b)所示。這時各電容器所帶電量相等，也就是電容器組的總電量Q，總電壓U等于各個電容器的電壓之和。仍以C=Q/U表示總電容，則可以證明，對于串聯電容器組1Cser=∑1Ci(12.7)電容器的并聯和串聯比較如下。并聯時，總電容增大了，但因每個電容器都直接連到電壓源上，所以電容器組的耐壓能力受到耐壓能力低的那個電容器的限制。串聯時，總電容比每個電容器都減小了，但是，由于總電壓分配到各個電容器上，所以可以提高電容器組的耐壓能力。下面給出式(12.6)和式(12.7)的證明。對圖12.4(a)表示的三個電容器并聯情況，由于它們的一個板連在一起，另一個板也連在一起，連在一起的板的電勢相等，所以各電容器具有相同的電壓，即U1=U2=U3=U，即U為電容器組的電壓。由于各電容器的電量都是由電源供給的，所以電容器的總電量為Q=Q1 Q2 Q3。根據式(12.1)，電容器組的總電容為C=QU=Q1U1 Q2U2 Q3U3又根據式(12.1)，后面各項分別等于各電容器的電容，所以由上式可得C=C1 C2 C3。把此結果推廣到任意多個電容器的并聯，就得到式(12.6)。對圖12.4(b)表示的三個電容器串聯的情況，各電容器的一個板依次單獨與下一個電容器的一個板相連接，電源只向最外面的兩板供給電量 Q和-Q，其他各板所帶電量都是靜電感應產生的，所以Q1=Q2=Q3=Q即為電容器組的總電量。電容器組的總電壓顯然等于各電容器的電壓之和，即U=U1 U2 U3。根據式(12.1)，以C表示電容器的總電容，則其倒數1C=UQ=U1Q1 U2Q2 U3Q3又根據式(12.1)，后面各項分別等于各電容器電容的倒數。所以由上式可得1C=1C1 1C2 1C3,把這一結果推廣到任意多個電容器的串聯，就得到式(12.7)。例12.1電容器的混聯。三個電容器C1=20μF,C2=40μF,C3=60μF,聯接如圖12.5，求這一組合的總電容。如果在A、B間加電壓U=220V,則各電容器上的電壓和電量各是多少？圖12.5混聯電容器組

解這三個電容器既不是單純的串聯，也不是單純的并聯，而是混聯。它是C2和C3串聯后又和C1并聯，C2和C3串聯的總電容用式(12.7)計算為C23=C2C3C2 C3=40×6040 60=24(μF)再和C1并聯，用式(12.6)計算為C=C1 C23=20 24=44(μF)此即此電容器組合的總電容。由圖12.5可知，C1的電壓即AB間的電壓，為U1=U=220V。由式(12.1)得C1的電量為Q1=C1U1=20×10-6×220=4.4×10-3CC23上的總電壓為U,由于C2和C3串聯，所以C2和C3的電量為Q2=Q3=Q=C23U=24×10-6×220=5.28×10-3C由式(12.1)得C2上的電壓為U2=Q2C2=5.28×10-340×10-6=132V而C3上的電壓為U3=U-U2=220-132=88V12.3電介質對電場的影響12.3電介質對電場的影響實際的電容器的兩板間總充滿著某種電介質(如油、云母、瓷質等)，電介質對電容器內的電場有什么影響呢？這可以通過下述實驗觀察出來。圖12.6電介質對電場的影響圖12.6(a)畫出了由兩個平行放置的金屬板構成的電容器，兩板分別帶有等量異號電荷 Q和-Q。板間是空氣，可以非常近似地當成真空處理。兩板分別連到靜電計的直桿和外殼上，這樣就可以由直桿上指針偏轉的大小測出兩帶電板之間的電壓來。設此時的電壓為U0，如果保持兩板距離和板上的電荷都不改變，而在板間充滿電介質(圖12.6(b))，或把兩板插入絕緣液體如油中，則可由靜電計的偏轉減小發現兩板間的電壓變小了。以U表示插入電介質后兩板間的電壓，實驗證明，它與U0的關系可以寫成U=U0/εr(12.8)式中εr為一個大于1的數，它的大小隨電介質的種類和狀態(如溫度)的不同而不同，是電介質的一種特性常數，叫做電介質的相對介電常量(或相對電容率)。幾種電介質的相對介電常量列在表12.1中。表12.1幾種電介質的相對介電常量電介質相對介電常量εr真空1氦(20℃,1atm①)1.000064空氣(20℃,1atm)1.00055石蠟2變壓器油(20℃)2.24聚乙烯2.3尼龍3.5云母4～7紙約為5瓷6～8玻璃5～10水(20℃,1atm)80鈦酸鋇②103～104① 1atm=101325Pa。② 鈦酸鋇的εr很大，而且隨外加電場的強弱變化，并具有和“鐵磁性”類似的“鐵電性”，因而叫做“鐵電體”(見15.5節)。根據電容的定義式C=Q/U和上述實驗結果(即Q未變而電壓U減小為U0/εr)可知，當電容器兩板間為電介質充滿時，其電容將增大為板間為真空時的εr倍，即C=εrC0(12.9)其中C和C0分別表示電容器兩板間充滿相對介電常量為εr的電介質時和兩板間為真空時的電容。在上述實驗中，電介質插入后兩板間的電壓減小，說明由于電介質的插入使板間的電場減弱了。由于U=Ed,U0=E0d，所以E=E0/εr(12.10)即電場強度減小到板間為真空時的1/εr。為什么會有這個結果呢?我們可以用電介質受電場的影響而發生的變化來說明，而這又涉及電介質的微觀結構。下節我們就來說明這一點。12.4電介質的極化12.4電介質的極化電介質中每個分子都是一個復雜的帶電系統，有正電荷，有負電荷，它們分布在一個線度為10-10m的數量級的體積內，而不是集中在一點。但是，在考慮這些電荷離分子較遠處所產生的電場時，或是考慮一個分子受外電場的作用時，都可以認為其中的正電荷集中于一點，這一點叫正電荷的“重心”。而負電荷也集中于另一點，這一點叫負電荷的“重心”。對于中性分子，由于其正電荷和負電荷的電量相等，所以一個分子就可以看成是一個由正、負點電荷相隔一定距離所組成的電偶極子。在討論電場中的電介質的行為時，可以認為電介質是由大量的這種微小的電偶極子所組成的。以q表示一個分子中的正電荷或負電荷的電量的數值，以l表示從負電荷“重心”指到正電荷“重心”的矢量距離，則這個分子的電矩應是p=ql按照電介質的分子內部的電結構的不同，可以把電介質分子分為兩大類：極性分子和非極性分子。有一類分子，如HCl,H2O,CO等，在正常情況下，它們內部的電荷分布就是不對稱的，因而其正、負電荷的重心不重合。這種分子具有固有電矩(圖12.7(a))，它們統稱為極性分子。幾種極性分子的固有電矩列于表12.2中。圖12.7在外電場中的電介質分子表12.2幾種極性分子的固有電矩電介質電矩/(C m)HCl3.4×10-30NH34.8×10-30CO0.9×10-30H2O6.1×10-30另一類分子，如He,H2,N2,O2，CO2等，在正常情況下，它們內部的電荷分布具有對稱性，因而正、負電荷的重心重合，這樣的分子就沒有固有電矩，這種分子叫非極性分子。但如果把這種分子置于外電場中，則由于外電場的作用，兩種電荷的重心會分開一段微小距離，因而使分子具有了電矩(圖12.7(b))。這種電矩叫感生電矩。在實際可以得到的電場中，感生電矩比極性分子的固有電矩小得多，約為后者的10-5。很明顯，感生電矩的方向總與外加電場的方向相同。當把一塊均勻的電介質放到靜電場中時，它的分子將受到電場的作用而發生變化，但也會達到一個平衡狀態。如果電介質是由非極性分子組成，這些分子都將沿電場方向產生感生電矩，如圖12.8(a)所示。外電場越強，感生電矩越大。如果電介質是由極性分子組成，這些分子的固有電矩將受到外電場的力矩作用而沿著外電場方向取向，如圖12.8(b)所示。由于分子的無規則熱運動總是存在的，這種取向不可能整齊。外電場越強，固有電矩排列越整齊。圖12.8在外電場中的電介質雖然兩種電介質受外電場的影響所發生的變化的微觀機制不同，但其宏觀總效果是一樣的。在電介質內部的宏觀微小的區域內，正負電荷的電量仍相等，因而仍表現為中性。但是，在電介質的表面上卻出現了只有正電荷或只有負電荷的電荷層，如圖12.8所示。這種出現在電介質表面的電荷叫面束縛電荷(或面極化電荷)，因為它不像導體中的自由電荷那樣能用傳導的方法引走。在外電場的作用下，電介質表面出現束縛電荷的現象，叫做電介質的極化。一般地，外電場越強，電介質表面出現的束縛電荷越多。當外加電場不太強時，它只是引起電介質的極化，不會破壞電介質的絕緣性能。(實際的各種電介質中總有數目不等的少量自由電荷，所以總有微弱的導電能力。)如果外加電場很強，則電介質的分子中的電子發生電離而變成可以自由移動的電荷。由于大量的這種自由電荷的產生，電介質的絕緣性能就會遭到明顯的破壞而變成導體。這種現象叫電介質的擊穿。一種電介質材料所能承受的不被擊穿的較大電場強度，叫做這種電介質的介電強度或擊穿場強。表12.3給出了幾種電介質的介電強度的數值(由于實驗條件及材料成分的不確定，這些數值只是大致的)。12.1節中提到的電容器的耐(電)壓能力，就是由電容器兩板間的電介質的介電強度決定的。一旦兩板間的電壓超過一定限度，其電場將擊穿所用的電介質，兩板不再相互絕緣，電容器也就失效了。由于電介質的電極化，當兩板間充滿電介質的電容器帶電時，其間電介質的兩個表面將出現與相鄰極板符號相反的電荷。這樣，電容器兩板間的電場比起板間為真空時就減弱了。表12.3幾種電介質的介電強度電介質介電強度/(kV/mm)空氣(1atm)3玻璃10～25瓷6～20礦物油15紙(油浸過的)15膠木20石蠟30聚乙烯50云母80～200鈦酸鋇3例12.2充滿電介質的電容器。一平行板電容器板間充滿相對介電常量為εr的電介質。求當它帶電量為Q時，電介質兩表面的面束縛電荷是多少？解板間電介質在電荷 Q和-Q的電場作用下，電極化產生的面束縛電荷 Q′和-Q′如圖12.9所示。以σ和σ′分別表示極板上和電介質表面的面電荷密度，則σ=Q/S,σ′=Q′/S,S為極板面積。兩極板間為真空時，板間電場強度為E0=σ/ε0，有電介質時，板間電場應是極板上電荷和面束縛電荷的場強的矢量和，面束縛電荷的電場為E′=σ′/ε0。由于E0和E′方向相反，所以合場強為E=E0-E′=σ-σ′ε0。再考慮到實驗給出的式(12.10)，即E=E0/εr，可得σ-σ′ε0=σε0εr由此可得σ′=εr-1εrσ從而有Q′=εr-1εrQ圖12.9有電介質的電容器電荷分布圖12.10例12.3用圖

例12.3雙層電介質。如圖12.10所示，一平行板電容器的極板面積為S，板間由兩層相對介電常量分別為εr1和εr2的電介質充滿，二者厚度都是板間距離d的一半。求此電容器的電容。解由于兩電介質的分界面與板間電場強度垂直，所以該面為一等勢面。因此可以設想兩電介質在此面上以一薄金屬板隔開，這樣，圖示電容器就可以看作是兩個電容器串聯組成。由式(12.2)和式(12.9)知，兩個電容器的電容分別是C1=ε0Sd/2εr1=2ε0εr1Sd,C2=ε0Sd/2εr2=2ε0εr2Sd由電容器串聯公式(12.7)可得圖12.10所示電容器的電容為C=C1C2C1 C2=2ε0εr1εr2Sd(εr1 εr2)12.5D矢量及其高斯定律

12.5D矢量及其高斯定律在12.3節中講過，對于圖12.6所示的那種電介質充滿電場的情況，實驗指出E=E0/εr。將此式寫成ε0εrE=ε0E0再將兩側對任意封閉面S積分，可得∮Sε0εrE dS=ε0∮SE0 dS=ε0q0,inε0=q0,in(12.11)式中第二個等號應用了高斯定律式(10.22)，其中與E0對應的q0是產生E0的自由電荷(即不是由于電介質極化產生的束縛電荷)。由于自由電荷，如電容器充電時極板上帶的電荷，可以由人們“主動地”安置或移走，上式就具有了實際上的重要性。常常定義一個D矢量和E及εr點點對應，即有D≡ε0εrE≡εE(12.12)式中ε=ε0εr叫電介質的介電常量(或電容率)，D稱為電位移矢量。利用此定義，式(12.11)可以簡明地改寫成∮SD dS=q0,in(12.13)此式的意義是： 在有電介質的電場中，通過任意封閉面的電位移通量等于該封閉面包圍的自由電荷的代數和。由于式(12.13)和式(10.22)形式相同，所以它就叫做D的高斯定律。式(12.13)雖然是就圖12.6的特殊情況導出的，但其實對于各向同性線性介質，該式是普遍成立的。圖12.11浸在大油箱中的帶電導體球的電場

對于浸在一個大油箱(油的相對介電常量為εr)中的，帶有電荷(即自由電荷)q的金屬球(圖12.11)，可以利用式(12.13)求出D=q4πr2er(12.14)再由式(12.12)，可得E=q4πε0εrr2er(12.15)這一方法使我們不必考慮電介質的電極化情況而能較便捷地求出電場的分布。12.6電容器的能量12.6電容器的能量電容器帶電時具有能量可以從下述實驗看出。將一個電容器C、一個直流電源E和一個燈泡B連成如圖12.12(a)的電路，先將開關K倒向a邊，當再將開關倒向b邊時，燈泡會發出一次強的閃光。有的照相機上附裝的閃光燈就是利用了這樣的裝置。圖12.12電容器充放電電路圖(a)和電容器放電過程(b)可以這樣來分析這個實驗現象。開關倒向a邊時，電容器兩板和電源相連，使電容器兩板帶上電荷。這個過程叫電容器的充電。當開關倒向b邊時，電容器兩板上的正負電荷又會通過有燈泡的電路中和。這一過程叫電容器的放電。燈泡發光是電流通過它的顯示，燈泡發光所消耗的能量是從哪里來的呢?是從電容器釋放出來的，而電容器的能量則是它充電時由電源供給的。現在我們來計算電容器帶有電量Q，相應的電壓為U時所具有的能量，這個能量可以根據電容器在放電過程中電場力對電荷做的功來計算。設在放電過程中某時刻電容器兩極板所帶的電量為q。以C表示電容，則這時兩板間的電壓為u=q/C。以-dq表示在此電壓下電容器由于放電而減小的微小電量(由于放電過程中q是減小的，所以q的增量dq本身是負值)，也就是說，有-dq的正電荷在電場力作用下沿導線從正極板經過燈泡與負極板等量的負電荷dq中和，如圖12.12(b)所示。在這一微小過程中電場力做的功為dA=(-dq)u=-qCdq從原有電量Q到中和的整個放電過程中，電場力做的總功為A=∫dA=-∫0QqCdq=12Q2C這也就是電容器原來帶有電量Q時所具有的能量。用W表示電容器的能量，并利用Q=CU的關系，可以得到電容器的能量公式為W=12Q2C=12CU2=12QU(12.16)12.7電介質中電場的能量12.7電介質中電場的能量電容器的能量同樣可以認為是儲存在電容器內的電場之中，并用下面的分析把這個能量和電場強度E聯系起來。仍以平行板電容器為例，設板的面積為S，板間距離為d，板間充滿相對介電常量為εr的電介質。此電容器的電容由式(12.2)和式(12.9)給出，即C=ε0εrSd將此式代入式(12.16)可得W=12Q2C=12Q2dε0εrS=ε0εr2Qε0εrS2Sd由于電容器的兩板間的電場為E=[SX(]Q[]ε0εrS[SX)]所以可得